Интервал (математика)

Сложение x + a на числовой прямой. Все числа больше x и меньше x + a попадают в этот открытый интервал.

В математике ( действительный ) интервал — это набор всех действительных чисел, лежащих между двумя фиксированными конечными точками без «пробелов». Каждая конечная точка представляет собой либо действительное число, либо положительную или отрицательную бесконечность , что указывает на то, что интервал простирается без границ . Интервал не может содержать ни одну конечную точку, ни одну конечную точку или обе конечные точки.

Например, набор действительных чисел, состоящий из $0$ , $1$ и всех чисел между ними, представляет собой интервал, обозначаемый $[0, 1]$ и называемый единичным интервалом ; множество всех положительных действительных чисел представляет собой интервал, обозначаемый $(0, \infty)$ ; множество всех действительных чисел представляет собой интервал, обозначаемый $(-\infty, \infty)$ ; и любое отдельное действительное число $a$ является интервалом, обозначаемым $[a, a]$ .

Интервалы повсеместно используются в математическом анализе . Например, они неявно встречаются в эпсилон-дельта-определении непрерывности ; теорема о промежуточном значении утверждает, что образ интервала непрерывной функцией есть интервал; интегралы от действительных функций определяются на интервале; и т. д.

Интервальная арифметика заключается в вычислениях с интервалами вместо действительных чисел для обеспечения гарантированной вложенности результата числового вычисления даже при наличии неопределенностей входных данных и ошибок округления .

Интервалы также определяются на произвольном полностью упорядоченном множестве, таком как целые или рациональные числа . Обозначение целочисленных интервалов рассматривается в специальном разделе ниже .

Определения и терминология

Интервал подмножество — это действительных чисел , содержащее все действительные числа, лежащие между любыми двумя числами этого подмножества.

интервала Конечные точки — это его верхняя и нижняя границы , если они существуют как действительные числа. ^[1] Если нижняя грань не существует, часто говорят, что соответствующая конечная точка равна $-\infty .$ Аналогично, если верхняя грань не существует, говорят, что соответствующая конечная точка равна $+\infty .$

Интервалы полностью определяются их конечными точками и тем, принадлежит ли каждая конечная точка интервалу. Это следствие свойства наименьшей верхней границы действительных чисел. Эта характеристика используется для задания интервалов с помощью интервальное обозначение , которое описано ниже.

Ан Открытый интервал не включает в себя конечную точку и указывается в скобках. ^[2] Например, $(0,1)=\{x\mid 0<x<1\}$ — это интервал всех действительных чисел больше $0$ и меньше $1$ . (Этот интервал также можно обозначить $]0, 1[$ , см. ниже). Открытый интервал $(0, +\infty)$ состоит из действительных чисел, больших $0$ , т. е. положительных действительных чисел. Таким образом, открытые интервалы являются одной из форм

{\begin{aligned}(a,b)&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},\\(-\infty ,b)&=\{x\in \mathbb {R} \mid x<b\},\\(a,+\infty )&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\},\\(-\infty ,+\infty )&=\mathbb {R} ,\end{aligned}}

где $a$ и $b$ действительные числа такие, что $a\leq b.$ Когда $a=b$ в первом случае результирующий интервал представляет собой пустое множество $(a,a)=\varnothing ,$ который является вырожденным интервалом (см. ниже). Открытые интервалы — это те интервалы, которые представляют собой открытые множества для обычной топологии действительных чисел.

А Закрытый интервал — это интервал, включающий все свои концы и обозначаемый квадратными скобками. ^[2] Например, $[0, 1]$ означает больше или равно $0$ и меньше или равно $1$ . Замкнутые интервалы имеют одну из следующих форм, в которой $a$ и $b$ — действительные числа такие, что $a\leq b\colon$

[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}

Замкнутые интервалы — это интервалы, которые представляют собой замкнутые множества для обычной топологии действительных чисел. Пустой набор и $\mathbb {R}$ являются единственными интервалами, которые одновременно открыты и закрыты.

А полуоткрытый интервал имеет два конца и включает только один из них. Говорят, что он открыт слева или открыт справа в зависимости от того, находится ли исключенная конечная точка слева или справа. Эти интервалы обозначаются смешанными обозначениями открытых и закрытых интервалов. ^[3] Например, $(0, 1]$ означает больше $0$ и меньше или равно $1$ , а $[0, 1)$ означает больше или равно $0$ и меньше $1$ . Полуоткрытые интервалы имеют вид

{\begin{aligned}\left(a,b\right]&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\},\\\left[a,b\right)&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\},\\\left[a,+\infty \right)&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\},\\\left(-\infty ,b\right]&=\{x\in \mathbb {R} \mid x\leq b\}.\end{aligned}}

Каждый закрытый интервал представляет собой замкнутое множество действительной прямой , но интервал, являющийся замкнутым множеством, не обязательно должен быть замкнутым интервалом. Например, интервалы $(-\infty ,b]$ и $[a,+\infty )$ также являются замкнутыми множествами в действительной прямой. Интервалы $(a,b]$ и $[a,b)$ не являются ни открытым, ни закрытым множеством. Если разрешить, чтобы конечная точка на закрытой стороне была бесконечностью (например, $(0,+\infty] )$ , результатом не будет интервал, поскольку он даже не является подмножеством действительных чисел. Вместо этого результат можно увидеть как интервал в расширенной действительной линии , который встречается в теории меры , например, .

Таким образом, набор действительных чисел является интервалом тогда и только тогда, когда это открытый интервал, закрытый интервал или полуоткрытый интервал. ^[4]^[5]

А вырожденный интервал — это любой набор, состоящий из одного действительного числа (т. е. интервал формы $[a, a]$ ). ^[6] Некоторые авторы включают в это определение пустое множество. Действительный интервал, который не является ни пустым, ни вырожденным, называется собственным и имеет бесконечное число элементов.

Интервал называется ограниченным слева или справа , если существует некоторое действительное число, которое соответственно меньше или больше всех его элементов. Интервал называется ограниченным , если он ограничен как слева, так и справа; и в противном случае говорят, что он неограничен . Интервалы, ограниченные только с одного конца, называются полуограниченными . Пустое множество ограничено, а множество всех действительных чисел — единственный интервал, неограниченный на обоих концах. Ограниченные интервалы также широко известны как конечные интервалы .

Ограниченные интервалы — это ограниченные множества в том смысле, что их диаметр (который равен абсолютной разности между конечными точками) конечен. Диаметр можно назвать длиной , шириной , мерой , диапазоном или размером интервала. Размер неограниченных интервалов обычно определяется как $+\infty$ , а размер пустого интервала может быть определен как $0$ (или оставлен неопределенным).

Центр ( ( середина ограниченного интервала с концами $a$ и $b$ равен $) a + b)/2$ , а его радиус — полудлина $| а - б |/2$ . Эти понятия не определены для пустых или неограниченных интервалов.

Говорят, что интервал открыт слева тогда и только тогда, когда он не содержит минимума (элемент, который меньше всех других элементов); открыть вправо, если он не содержит максимума ; и открыть, если он не содержит ни того, ни другого. Интервал $[0, 1) = {x | 0 \leq x < 1}$ , например, закрыто слева и открыто справа. Пустое множество и множество всех действительных чисел являются как открытыми, так и закрытыми интервалами, тогда как множество неотрицательных действительных чисел представляет собой закрытый интервал, открытый справа, но не открытый слева. Открытые интервалы представляют собой открытые множества реальной линии в ее стандартной топологии и образуют основу открытых множеств.

Интервал называется замкнутым слева, если он имеет минимальный элемент или неограничен слева, и замкнутым справа, если он имеет максимум или неограничен справа; он просто закрыт , если он закрыт одновременно слева и справа. Итак, замкнутые интервалы совпадают с замкнутыми множествами в этой топологии.

Внутренняя часть интервала $I$ — это самый большой открытый интервал, содержащийся в $I$ ; это также набор точек в $I,$ не являются конечными точками $I.$ которые Замыкание содержащий I $I$ это наименьший закрытый интервал, $;$ — которое также является множеством, $которое я$ дополнил конечными концами.

Для любого набора $X$ действительных чисел интервал интервала или интервал интервала X $—$ это уникальный интервал, содержащий $X$ , и не содержит должным образом какой-либо другой интервал, который также $X.$ содержит

Интервал $I$ является подинтервалом интервала $J$ если $I$ является подмножеством J $,$ . Интервал $I$ является собственным подинтервалом J $,$ если $I$ является подмножеством J $собственным$ .

Однако существует противоречивая терминология для терминов «сегмент» и «интервал» , которые используются в литературе двумя принципиально противоположными способами, что приводит к двусмысленности при использовании этих терминов. Энциклопедия математики ^[7] определяет интервал (без квалификатора), чтобы исключить обе конечные точки (т. е. открытый интервал), и сегмент Рудина , включающий обе конечные точки (т. е. закрытый интервал), тогда как Принципы математического анализа ^[8] вызывает наборы формы [ a , b ] интервалов и наборы формы ( a , b ) сегментов повсюду. Эти термины, как правило, появляются в старых работах; в современных текстах все чаще отдается предпочтение термину «интервал» (определяемому словами «открытый» , «закрытый » или «полуоткрытый» ), независимо от того, включены ли конечные точки.

Обозначения интервалов

Интервал чисел между $a$ и $b$ , включая $a$ и $b$ , часто обозначается $[a, b]$ . Эти два числа называются конечными точками интервала. В странах, где числа записываются через десятичную запятую , точку с запятой во избежание двусмысленности в качестве разделителя можно использовать .

Включение или исключение конечных точек

Чтобы указать, что одну из конечных точек следует исключить из набора, соответствующую квадратную скобку можно либо заменить круглой скобкой, либо перевернуть. Оба обозначения описаны в международном стандарте ISO 31-11 . Таким образом, в обозначениях построителя множеств ,

{\begin{aligned}(a,b)={\mathopen {]}}a,b{\mathclose {[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},\\[5mu][a,b)={\mathopen {[}}a,b{\mathclose {[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\},\\[5mu](a,b]={\mathopen {]}}a,b{\mathclose {]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\},\\[5mu][a,b]={\mathopen {[}}a,b{\mathclose {]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}.\end{aligned}}

Каждый интервал $(a, a)$ , $[a, a)$ и $(a, a]$ представляет пустое множество , тогда как $[a, a]$ обозначает одноэлементное множество ${a}$ . Когда $a > b$ , обычно принимаются все четыре обозначения для представления пустого множества.

Оба обозначения могут пересекаться с другими видами использования круглых и квадратных скобок в математике. Например, обозначение $(a, b)$ часто используется для обозначения упорядоченной пары в теории множеств, координат точки линейной или вектора в аналитической геометрии и алгебре или (иногда) комплексного числа в алгебре . Именно поэтому Бурбаки ввел обозначения $] a, b [$ для обозначения открытого интервала. ^[9] Обозначение $[a, b]$ тоже иногда используется для упорядоченных пар, особенно в информатике .

Некоторые авторы, такие как Ив Тилле, используют $] a, b [$ для обозначения дополнения интервала $(a, b)$ ; а именно, набор всех действительных чисел, которые либо меньше или равны $a$ , либо больше или равны $b$ .

Бесконечные конечные точки

В некоторых контекстах интервал может быть определен как подмножество расширенных действительных чисел , набор всех действительных чисел, дополненных $-\infty$ и $+\infty$ .

В этой интерпретации обозначения $[-\infty, b]$ , $(-\infty, b]$ , $[a, +\infty]$ и $[a, +\infty)$ осмысленны и различны. В частности, $(-\infty, +\infty)$ обозначает множество всех обычных действительных чисел, а $[-\infty, +\infty]$ обозначает расширенные действительные числа.

Даже в контексте обычных реалов можно использовать бесконечную конечную точку, чтобы указать, что в этом направлении нет границы. Например, $(0, +\infty)$ — это набор положительных действительных чисел , также записываемый как $\mathbb {R} _{+}.$ Контекст влияет на некоторые из приведенных выше определений и терминологии. Например, интервал $(-\infty, +\infty)$ = $\mathbb {R}$ замкнуто в сфере обычных реалов, но не в сфере расширенных реалов.

Целочисленные интервалы

Когда $a$ и $b$ являются целыми числами , обозначения ⟦ a, b ⟧ или $[a .. b]$ или ${a .. b}$ или просто $a .. b$ иногда используются для обозначения интервала всех целых чисел между $a$ и $b.$ включено. Обозначение $[a..b программирования] некоторых$ используется в языках ; в Паскале , например, он используется для формального определения типа поддиапазона, чаще всего используется для указания нижней и верхней границ индексов массива допустимых .

Другой способ интерпретации целочисленных интервалов — это наборы, определенные перечислением , с использованием записи с многоточием .

Целочисленный интервал, имеющий конечную нижнюю или верхнюю конечную точку, всегда включает эту конечную точку. Следовательно, исключение конечных точек можно явно обозначить, написав $a .. b - 1$ , $a + 1 .. b$ или $a + 1 .. b - 1$ . Обозначения в альтернативных скобках, такие как $[a .. b)$ или $[a .. b [,$ редко используются для целочисленных интервалов. ^{[ нужна ссылка ]}

Характеристики

Интервалы — это в точности связные подмножества $\mathbb {R} .$ Отсюда следует, что образ интервала любой непрерывной функцией из $\mathbb {R}$ к $\mathbb {R}$ тоже интервал. Это одна из формулировок теоремы о промежуточном значении .

Интервалы также являются выпуклыми подмножествами $\mathbb {R} .$ Интервал, включающий подмножество $X\subseteq \mathbb {R}$ также является выпуклой оболочкой $X.$

Замыкание . интервала представляет собой объединение интервала и множества его конечных точек и, следовательно, также является интервалом (Последнее также следует из того, что замыкание каждого связного подмножества топологического пространства является связным подмножеством.) Другими словами, мы имеем ^[10]

\operatorname {cl} (a,b)=\operatorname {cl} (a,b]=\operatorname {cl} [a,b)=\operatorname {cl} [a,b]=[a,b],

\operatorname {cl} (a,+\infty )=\operatorname {cl} [a,+\infty )=[a,+\infty ),

\operatorname {cl} (-\infty ,a)=\operatorname {cl} (-\infty ,a]=(-\infty ,a],

\operatorname {cl} (-\infty ,+\infty )=(-\infty ,\infty ).

Пересечение любого набора интервалов всегда является интервалом. Объединение двух интервалов является интервалом тогда и только тогда, когда они имеют непустое пересечение или открытый конец одного интервала является замкнутым концом другого, например $(a,b)\cup [b,c]=(a,c].$

Если $\mathbb {R}$ рассматривается как метрическое пространство , его открытые шары — это открытые ограниченные интервалы $(c + r, c - r)$ , а его закрытые шары — это закрытые ограниченные интервалы $[c + r, c — r]$ . В частности, метрическая и порядковая топологии в реальной линии совпадают, что является стандартной топологией реальной линии.

Любой элемент $x$ интервала $I$ определяет разбиение $I$ на три непересекающихся интервала $I$ ₁ , $I$ ₂ , $I$ ₃ : соответственно элементы $I$ , меньшие $x$ , представляют собой одиночный элемент. $[x,x]=\{x\},$ и элементы, которые больше $x$ . Части $I$ ₁ и $I$ ₃ непусты (и имеют непустую внутреннюю часть), тогда и только тогда, когда $x$ находится внутри $I$ . Это интервальная версия принципа трихотомии .

Диадические интервалы

Диадический интервал — это ограниченный действительный интервал, конечные точки которого ${\tfrac {j}{2^{n}}}$ и ${\tfrac {j+1}{2^{n}}},$ где $j$ и $n$ являются целыми числами. В зависимости от контекста любая конечная точка может быть включена или не включена в интервал.

Диадические интервалы обладают следующими свойствами:

Длина двоичного интервала всегда равна целой степени двойки.
Каждый двоичный интервал содержится ровно в одном двоичном интервале двойной длины.
Каждый диадический интервал состоит из двух диадических интервалов половинной длины.
Если два открытых диадических интервала перекрываются, то один из них является подмножеством другого.

Следовательно, диадические интервалы имеют структуру, отражающую структуру бесконечного двоичного дерева .

Диадические интервалы актуальны для нескольких областей численного анализа, включая адаптивное уточнение сетки , многосеточные методы и вейвлет-анализ . Другой способ представления такой структуры — p-адический анализ (при $p = 2$ ). ^[11]

Обобщения

Шары

Открытый конечный интервал $(a,b)$ представляет собой одномерный открытый шар с центром в точке ${\tfrac {1}{2}}(a+b)$ и радиус ${\tfrac {1}{2}}(b-a).$ Замкнутый конечный интервал $[a,b]$ — соответствующий замкнутый шар, а две конечные точки интервала $\{a,b\}$ образуют 0-мерную сферу . Обобщено до $n$ В многомерном евклидовом пространстве шаром называется множество точек, расстояние от центра которых меньше радиуса. В двумерном случае шар называется диском .

Если полупространство рассматривается как своего рода вырожденный шар (без четко определенного центра или радиуса), полупространство можно рассматривать как аналог полуограниченного интервала с его граничной плоскостью в качестве (вырожденной) сферы. соответствующий конечной конечной точке.

Многомерные интервалы

Конечный интервал — это (внутренность) одномерного гиперпрямоугольника . Обобщено к реальному координатному пространству $\mathbb {R} ^{n},$ гиперпрямоугольник ориентированный по оси, (или прямоугольник), произведением является декартовым $n$ конечные интервалы. Для $n=2$ это прямоугольник ; для $n=3$ это прямоугольный кубоид (его еще называют « коробкой »).

Учитывая сочетание открытых, закрытых и бесконечных конечных точек, декартово произведение любого $n$ интервалы, $I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}$ иногда называют $n$ -мерный интервал . ^{[ нужна ссылка ]}

Аспект интервала такого $I$ является результатом замены любого невырожденного интервального коэффициента $I_{k}$ вырожденным интервалом, состоящим из конечной точки $I_{k}.$ Лица $I$ включать в себя $I$ себя и все лица своих граней. Углы $I$ это грани, состоящие из одной точки $\mathbb {R} ^{n}.$ ^{[ нужна ссылка ]}

Выпуклые многогранники

Любой конечный интервал может быть построен как пересечение полуограниченных интервалов (при этом пустое пересечение означает всю действительную линию), а пересечение любого количества полуограниченных интервалов является (возможно, пустым) интервалом. Обобщено до $n$ -мерное аффинное пространство , пересечение полупространств (произвольной ориентации) является (внутренностью) выпуклым многогранником или, в двумерном случае, выпуклым многоугольником .

Домены

Открытый интервал — это связное открытое множество действительных чисел. Обобщая топологические пространства в целом, непустое связное открытое множество называется областью .

Сложные интервалы

Интервалы комплексных чисел можно определить как области комплексной плоскости , прямоугольные или круглые . ^[12]

Интервалы в частично упорядоченных наборах и предварительно упорядоченных наборах

Определения

Понятие интервалов может быть определено в произвольных частично упорядоченных множествах или, в более общем смысле, в произвольных предварительно упорядоченных множествах . Для предзаказанного набора $(X,\lesssim )$ и два элемента $a,b\in X,$ аналогичным образом определяются интервалы ^[13]^{: 11, Определение 11}

(a,b)=\{x\in X\mid a<x<b\},

[a,b]=\{x\in X\mid a\lesssim x\lesssim b\},

(a,b]=\{x\in X\mid a<x\lesssim b\},

[a,b)=\{x\in X\mid a\lesssim x<b\},

(a,\infty )=\{x\in X\mid a<x\},

[a,\infty )=\{x\in X\mid a\lesssim x\},

(-\infty ,b)=\{x\in X\mid x<b\},

(-\infty ,b]=\{x\in X\mid x\lesssim b\},

(-\infty ,\infty )=X,

где $x<y$ означает $x\lesssim y\not \lesssim x.$ На самом деле интервалы с одной конечной точкой или без нее — это то же самое, что интервалы с двумя конечными точками в большем предварительно упорядоченном наборе.

{\bar {X}}=X\sqcup \{-\infty ,\infty \}

-\infty <x<\infty \qquad (\forall x\in X)

определяется путем добавления новых наименьших и наибольших элементов (даже если они были), которые являются подмножествами $X.$ В случае $X=\mathbb {R}$ можно взять ${\bar {\mathbb {R} }}$ быть расширенной действительной линией .

Выпуклые множества и выпуклые компоненты в теории порядка

Подмножество $A\subseteq X$ из предзаказанного набора $(X,\lesssim )$ является (порядково)выпуклым, если для любого $x,y\in A$ и каждый $x\lesssim z\lesssim y$ у нас есть $z\in A.$ В отличие от реальной линии, выпуклое множество предупорядоченного множества не обязательно должно быть интервалом. Например, в полностью упорядоченном множестве $(\mathbb {Q} ,\leq )$ рациональных чисел , множество

\mathbb {Q} =\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\}

выпукло, но не является интервалом $\mathbb {Q} ,$ так как нет квадратного корня из двух $\mathbb {Q} .$

Позволять $(X,\lesssim )$ быть заранее заказанным набором и пусть $Y\subseteq X.$ Выпуклые множества $X$ содержится в $Y$ образуют частично упорядоченное множество при включении. Максимальный элемент этого ЧУМ называется выпуклой компонентой $Y.$ ^[14]^{: Определение 5.1}^[15]^: 727 По лемме Цорна любое выпуклое множество $X$ содержится в $Y$ содержится в некоторой выпуклой компоненте $Y,$ но такие компоненты не обязательно должны быть уникальными. В полностью упорядоченном множестве такая компонента всегда уникальна. То есть выпуклые компоненты подмножества полностью упорядоченного множества образуют разбиение .

Характеристики

Далее следует обобщение характеристик действительных интервалов. Для непустого подмножества $I$ линейного континуума $(L,\leq ),$ следующие условия эквивалентны. ^[16]^{: 153, Теорема 24.1.}

Набор $I$ является интервалом.
Набор $I$ является порядково-выпуклой.
Набор $I$ является связным подмножеством, когда $L$ наделен порядковой топологией .

Для подмножества $S$ решетки $L,$ следующие условия эквивалентны.

Набор $S$ является подрешеткой и (порядково)выпуклым множеством.
Есть идеал $I\subseteq L$ и фильтр $F\subseteq L$ такой, что $S=I\cap F.$

Приложения

В общей топологии

Каждое тихоновское пространство вкладывается в пространство произведений замкнутых единичных интервалов. $[0,1].$ имеющее базу мощности Фактически, каждое тихоновское пространство , $\kappa$ встраивается в продукт $[0,1]^{\kappa }$ из $\kappa$ копии интервалов. ^[17]^{: с. 83, Теорема 2.3.23}

Понятия выпуклых множеств и выпуклых компонент используются для доказательства того, что любое полностью упорядоченное множество, наделенное порядковой топологией, . совершенно нормально ^[15] или, более того, монотонно нормально . ^[14]

Топологическая алгебра

Интервалы могут быть связаны с точками плоскости, и, следовательно, области интервалов могут быть связаны с областями плоскости. Обычно интервал в математике соответствует упорядоченной паре $(x, y),$ взятой из прямого произведения $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ действительных чисел с самим собой, где часто предполагается, что $y > x$ . Для целей математической структуры это ограничение отбрасывается, ^[18] и «перевернутые интервалы», где $y - x <0$ разрешены . Тогда совокупность всех интервалов $[x, y]$ можно отождествить с топологическим кольцом, образованным прямой суммой $\mathbb {R}$ сам с собой, где сложение и умножение определяются покомпонентно.

Алгебра прямой суммы $(\mathbb {R} \oplus \mathbb {R} ,+,\times )$ имеет два идеала : { [ x ,0] : x ∈ R } и { [0, y ] : y ∈ R }. Единичным элементом этой алгебры является сокращенный интервал $[1, 1]$ . Если интервал $[x, y]$ не принадлежит ни одному из идеалов, то он имеет мультипликативную обратную $[1/ x, 1/ y]$ . наделенная обычной топологией Алгебра интервалов, , образует топологическое кольцо . Группа единиц этого кольца состоит из четырех квадрантов, определяемых осями, в данном случае идеалами. Единичным компонентом этой группы является квадрант I.

Каждый интервал можно рассматривать как симметричный интервал вокруг его середины . В реконфигурации, опубликованной в 1956 году М. Вармусом, ось «сбалансированных интервалов» $[x, - x]$ используется вместе с осью интервалов $[x, x]$ , которые сводятся к точке. Вместо прямой суммы $R\oplus R,$ кольцо интервалов было идентифицировано ^[19] с гиперболическими числами М. Вармуса и Д. Х. Лемера посредством идентификации

z={\tfrac {1}{2}}(x+y)+{\tfrac {1}{2}}(x-y)j,

где $j^{2}=1.$

Это линейное отображение плоскости, которое представляет собой кольцевой изоморфизм , придает плоскости мультипликативную структуру, имеющую некоторые аналогии с обычной комплексной арифметикой, такой как полярное разложение .

См. также

Ссылки

^ Берцекас, Дмитрий П. (1998). Оптимизация сети: непрерывные и дискретные методы . Афина Сайентифик. п. 409. ИСБН 1-886529-02-7 .
^ Jump up to: ^а ^б Стрихарц, Роберт С. (2000). Путь анализа . Издательство Джонс и Бартлетт. п. 86. ИСБН 0-7637-1497-6 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Интервал» . mathworld.wolfram.com . Проверено 23 августа 2020 г.
^ «Интервал и отрезок» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
^ Тао, Теренс (2016). Анализ И. Тексты и чтения по математике. Том. 37 (3-е изд.). Сингапур: Спрингер. п. 212. дои : 10.1007/978-981-10-1789-6 . ISBN 978-981-10-1789-6 . ISSN 2366-8725 . LCCN 2016940817 . См. определение 9.1.1.
^ Крамер, Харальд (1999). Математические методы статистики . Издательство Принстонского университета. п. 11. ISBN 0691005478 .
^ «Интервал и отрезок — Математическая энциклопедия» . энциклопедияofmath.org . Архивировано из оригинала 26 декабря 2014 г. Проверено 12 ноября 2016 г.
^ Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 31 . ISBN 0-07-054235-Х .
^ «Почему американские и французские обозначения для открытых интервалов ( x , y ) различаются по сравнению с ] x , y [?» . hsm.stackexchange.com . Проверено 28 апреля 2018 г.
^ Люди (2016) , с. 214, см. лемму 9.1.12.
^ Козырев, Сергей (2002). «Вейвлет-теория как $p$ -адический спектральный анализ» . Известия РАН. Сер. Мат. 66 (2): 149–158. arXiv : math-ph/0012019 . Бибкод : 2002ИзМат..66..367К . дои : 10.1070/IM2002v066n02ABEH000381 . S2CID 16796699 . Проверено 5 апреля 2012 г.
^ Комплексная интервальная арифметика и ее приложения , Миодраг Петкович, Лиляна Петкович, Wiley-VCH, 1998, ISBN 978-3-527-40134-5
^ Винд, Карл (2003). Независимость, аддитивность, неопределенность . Исследования по экономической теории. Том. 14. Берлин: Шпрингер. дои : 10.1007/978-3-540-24757-9 . ISBN 978-3-540-41683-8 . Збл 1080.91001 .
^ Jump up to: ^а ^б Хит, RW; Лютцер, Дэвид Дж.; Зенор, Польша (1973). «Монотонно нормальные пространства» . Труды Американского математического общества . 178 : 481–493. дои : 10.2307/1996713 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1996713 . МР 0372826 . Збл 0269.54009 .
^ Jump up to: ^а ^б Стин, Линн А. (1970). «Прямое доказательство того, что линейно упорядоченное пространство является наследственно нормальным по совокупности» . Труды Американского математического общества . 24 (4): 727–728. дои : 10.2307/2037311 . ISSN 0002-9939 . JSTOR 2037311 . МР 0257985 . Збл 0189.53103 .
^ Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Прентис Холл. ISBN 978-0-13-181629-9 . МР 0464128 . Збл 0951.54001 .
^ Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Ряд сигм в чистой математике. Том. 6 (Переработанное и дополненное изд.). Берлин: Хелдерманн Верлаг. ISBN 3-88538-006-4 . МР 1039321 . Збл 0684.54001 .
^ Кай Мэдсен (1979) Обзор «Интервального анализа в расширенном интервальном пространстве» Эдгара Каучера ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} из математических обзоров
^ Д. Х. Лемер (1956) Обзор «Исчисления приближений» ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} из математических обзоров

Библиография

Т. Сунага, «Теория интервальной алгебры и ее применение к численному анализу». Архивировано 9 марта 2012 г. в Wayback Machine , В: Мемуары Исследовательской ассоциации прикладной геометрии (RAAG), Ggujutsu Bunken Fukuy-kai. Токио, Япония, 1958 г., Том. 2, стр. 29–46 (547–564); перепечатано в Японском журнале промышленной и прикладной математики, 2009 г., Vol. 26, № 2–3, стр. 126–143.

Внешние ссылки

«Осознанный интервал» Брайана Хейса: статья American Scientist представляет собой введение.
Веб-сайт интервальных вычислений. Архивировано 2 марта 2006 г. на Wayback Machine.
Исследовательские центры интервальных вычислений. Архивировано 3 февраля 2007 г. в Wayback Machine.
Интервальная нотация Джорджа Бека, Демонстрационный проект Wolfram .
Вайсштейн, Эрик В. «Интервал» . Математический мир .

[bertsekas-1] Берцекас, Дмитрий П. (1998). Оптимизация сети: непрерывные и дискретные методы . Афина Сайентифик. п. 409. ИСБН 1-886529-02-7 .

[strichartz-2] Jump up to: ^а ^б Стрихарц, Роберт С. (2000). Путь анализа . Издательство Джонс и Бартлетт. п. 86. ИСБН 0-7637-1497-6 .

[:2-3] Вайсштейн, Эрик В. «Интервал» . mathworld.wolfram.com . Проверено 23 августа 2020 г.

[eom-4] «Интервал и отрезок» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[tao-5] Тао, Теренс (2016). Анализ И. Тексты и чтения по математике. Том. 37 (3-е изд.). Сингапур: Спрингер. п. 212. дои : 10.1007/978-981-10-1789-6 . ISBN 978-981-10-1789-6 . ISSN 2366-8725 . LCCN 2016940817 . См. определение 9.1.1.

[cramer-6] Крамер, Харальд (1999). Математические методы статистики . Издательство Принстонского университета. п. 11. ISBN 0691005478 .

[7] «Интервал и отрезок — Математическая энциклопедия» . энциклопедияofmath.org . Архивировано из оригинала 26 декабря 2014 г. Проверено 12 ноября 2016 г.

[8] Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 31 . ISBN 0-07-054235-Х .

[9] «Почему американские и французские обозначения для открытых интервалов ( x , y ) различаются по сравнению с ] x , y [?» . hsm.stackexchange.com . Проверено 28 апреля 2018 г.

[FOOTNOTETao2016214See_Lemma_9.1.12-10] Люди (2016) , с. 214, см. лемму 9.1.12.

[11] Козырев, Сергей (2002). «Вейвлет-теория как $p$ -адический спектральный анализ» . Известия РАН. Сер. Мат. 66 (2): 149–158. arXiv : math-ph/0012019 . Бибкод : 2002ИзМат..66..367К . дои : 10.1070/IM2002v066n02ABEH000381 . S2CID 16796699 . Проверено 5 апреля 2012 г.

[12] Комплексная интервальная арифметика и ее приложения , Миодраг Петкович, Лиляна Петкович, Wiley-VCH, 1998, ISBN 978-3-527-40134-5

[Vind-13] Винд, Карл (2003). Независимость, аддитивность, неопределенность . Исследования по экономической теории. Том. 14. Берлин: Шпрингер. дои : 10.1007/978-3-540-24757-9 . ISBN 978-3-540-41683-8 . Збл 1080.91001 .

[Heath-14] Jump up to: ^а ^б Хит, RW; Лютцер, Дэвид Дж.; Зенор, Польша (1973). «Монотонно нормальные пространства» . Труды Американского математического общества . 178 : 481–493. дои : 10.2307/1996713 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1996713 . МР 0372826 . Збл 0269.54009 .

[Steen-15] Jump up to: ^а ^б Стин, Линн А. (1970). «Прямое доказательство того, что линейно упорядоченное пространство является наследственно нормальным по совокупности» . Труды Американского математического общества . 24 (4): 727–728. дои : 10.2307/2037311 . ISSN 0002-9939 . JSTOR 2037311 . МР 0257985 . Збл 0189.53103 .

[Munkres-16] Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Прентис Холл. ISBN 978-0-13-181629-9 . МР 0464128 . Збл 0951.54001 .

[Engelking-17] Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Ряд сигм в чистой математике. Том. 6 (Переработанное и дополненное изд.). Берлин: Хелдерманн Верлаг. ISBN 3-88538-006-4 . МР 1039321 . Збл 0684.54001 .

[18] Кай Мэдсен (1979) Обзор «Интервального анализа в расширенном интервальном пространстве» Эдгара Каучера ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} из математических обзоров

[19] Д. Х. Лемер (1956) Обзор «Исчисления приближений» ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} из математических обзоров

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]