Универсальный набор

Чтобы узнать о других значениях, см. Универсальный набор (значения) .

В теории множеств универсальное множество — это множество, содержащее все объекты, включая самого себя. В теории множеств в ее обычном виде можно доказать разными способами, что универсального множества не существует. Однако некоторые нестандартные варианты теории множеств включают универсальное множество.

Причины несуществования

Многие теории множеств не допускают существования универсального множества. Существует несколько различных аргументов в пользу его несуществования, основанных на разном выборе аксиом теории множеств.

Парадокс Рассела

Основная статья: парадокс Рассела

Парадокс Рассела касается невозможности создания множества множеств, членами которого являются все множества, не содержащие себя. Если бы такое множество могло существовать, оно не могло бы ни содержать себя (поскольку все его члены не содержат самих себя), ни избежать содержания самого себя (потому что, если бы оно существовало, оно должно было бы быть включено в качестве одного из его членов). Этот парадокс препятствует существованию универсального множества в теориях множеств, которые включают либо об аксиому Цермело ограниченном понимании , либо аксиому регулярности и аксиому спаривания .

Регулярность и спаривание

В теории множеств Цермело–Френкеля аксиома регулярности и аксиома спаривания не позволяют любому множеству содержать себя. Для любого набора $A$, набор $\{A\}$ (построенный с помощью спаривания) обязательно содержит элемент, не пересекающийся с $\{A\}$, по регулярности. Поскольку его единственным элементом является $A$, должно быть так, что $A$ не пересекается с $\{A\}$, и поэтому $A$ не содержит себя. Поскольку универсальное множество обязательно будет содержать само себя, согласно этим аксиомам оно не может существовать.

Понимание

Парадокс Рассела препятствует существованию универсального множества в теориях множеств, которые включают Цермело аксиому об ограниченном понимании .Эта аксиома гласит, что для любой формулы $\varphi (x)$ и любой набор $A$, существует набор $$\{x\in A\mid \varphi (x)\}$$который содержит именно те элементы $x$ из $A$ которые удовлетворяют $\varphi$.

Если бы эту аксиому можно было применить к универсальному множеству $A$, с $\varphi (x)$ определяется как предикат $x\notin x$,это констатировало бы существование парадоксального множества Рассела, давая противоречие.Именно это противоречие привело к тому, что аксиома понимания была сформулирована в ее ограниченной форме, где она утверждает существование подмножества данного набора, а не существование набора всех множеств, удовлетворяющих данной формуле.

Когда аксиома ограниченного понимания применяется к произвольному множеству $A$, с предикатом $\varphi (x)\equiv x\notin x$, он создает подмножество элементов $A$ которые не содержат себя. Он не может быть членом $A$, потому что если бы это было так, то оно было бы включено как член самого себя по своему определению, что противоречит тому факту, что оно не может содержать себя. Таким образом, можно построить свидетельство неуниверсальности $A$даже в тех версиях теории множеств, которые позволяют множествам содержать самих себя. Это действительно справедливо даже для предикативного понимания и сверхинтуиционистской логики .

Теорема Кантора

Основная статья: теорема Кантора

Другая трудность, связанная с идеей универсального набора, касается набора мощности множества всех множеств. Поскольку этот набор мощности представляет собой набор множеств, он обязательно будет подмножеством множества всех множеств, при условии, что оба существуют. Однако это противоречит теореме Кантора о том, что набор степеней любого набора (бесконечного или нет) всегда имеет строго более высокую мощность , чем сам набор.

Теории универсальности

Трудностей, связанных с универсальным множеством, можно избежать, либо используя вариант теории множеств, в котором аксиома понимания каким-либо образом ограничена, либо используя универсальный объект, который не считается множеством.

Ограниченное понимание

Существуют теории множеств, которые, как известно, непротиворечивы (если обычная теория множеств непротиворечива), в которых универсальное множество V действительно существует (и $V\in V$ это правда). Цермело В этих теориях аксиома понимания вообще не выполняется, а аксиома понимания наивной теории множеств ограничена другим образом. Теория множеств, содержащая универсальное множество, обязательно является недостаточно обоснованной теорией множеств .Наиболее широко изученной теорией множеств с универсальным множеством является « Уилларда Ван Ормана Куайна » Новые основы . Алонсо Чёрч и Арнольд Обершельп также опубликовали работы по таким теориям множеств. Черч предположил, что его теорию можно расширить в соответствии с теорией Куайна: но для Обершельпа это невозможно, поскольку в нем одноэлементная функция доказуемо является множеством, что немедленно приводит к парадоксу в «Новых основаниях».

Другим примером является теория позитивных множеств , где аксиома понимания ограничивается выполнением только положительных формул (формул, которые не содержат отрицаний). Такие теории множеств мотивированы понятиями замыкания в топологии.

Универсальные объекты, не являющиеся множествами

Основная статья: Вселенная (математика)

Идея универсального множества кажется интуитивно желательной в теории множеств Цермело-Френкеля , особенно потому, что большинство версий этой теории допускают использование кванторов для всех множеств (см. Квантор универсальности ). Один из способов позволить объекту вести себя аналогично универсальному набору, не создавая при этом парадоксов, — это описать V и подобные большие коллекции как правильные классы, а не как множества. Парадокс Рассела неприменим в этих теориях, поскольку аксиома понимания работает с множествами, а не с классами.

Категорию множеств также можно рассматривать как универсальный объект, который, опять же, сам по себе не является множеством. Он содержит все наборы в качестве элементов, а также включает стрелки для всех функций от одного набора к другому. Опять же, оно не содержит самого себя, поскольку само по себе не является множеством.

См. также

• Вселенная (математика)
• Вселенная Гротендика
• Область дискурса
• Теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя - расширение ZFC, допускающее класс всех множеств.

Ссылки

• Цензер, Дуглас; Ларсон, Джин; Портер, Кристофер; Заплетал, Йиндрич (2020). Теория множеств и основы математики: введение в математическую логику . Всемирная научная. п. 2. дои : 10.1142/11324 . ISBN  978-981-12-0192-9 . S2CID   208131473 .
• Черч, Алонсо (1974). «Теория множеств с универсальным множеством». Материалы симпозиума Тарского: международный симпозиум, проведенный в Калифорнийском университете в Беркли 23–30 июня 1971 года в честь Альфреда Тарского по случаю его семидесятилетия . Труды симпозиумов по чистой математике. Том. 25. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 297–308. МР   0369069 .
• Форстер, Т.Э. (1995). Теория множеств с универсальным множеством: исследование нетипизированной Вселенной . Оксфордские руководства по логике. Том. 31. Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-851477-8 .
• Форстер, Томас (2001). «Теория множеств Чёрча с универсальным множеством» . В Андерсоне, К. Энтони; Зеленый, Майкл (ред.). Логика, смысл и вычисления: очерки памяти Алонсо Чёрча . Синтезирующая библиотека. Том. 305. Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. стр. 109–138. МР   2067968 .
• Холмс, М. Рэндалл (1998). Элементарная теория множеств с универсальным множеством . Доклады Центра Логики. Полет. 10. Католический университет Лувена, факультет философии, Лувен-ла-Нев. ISBN  2-87209-488-1 . МР   1759289 .
• Ирвин, Эндрю Дэвид; Дойч, Гарри (весна 2021 г.). «Парадокс Рассела» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• Обершелп, Арнольд (1973). Теория множеств над классами . Dissertationes Mathematicae (Математические диссертации). Том 106. Институт математики Польской академии наук. МР   0319758 .
• Уиллард Ван Орман Куайн (1937) «Новые основы математической логики», American Mathematical Monthly 44, стр. 70–80.
• Шеридан, Флэш (2016). «Вариант теории множеств Чёрча с универсальным множеством, в котором одноэлементная функция является множеством» (PDF) . Логика и анализ . 59 (233): 81–131. JSTOR   26767819 . МР   3524800 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Универсальный набор» . Математический мир .
• Библиография: Теория множеств с универсальным множеством , разработанная Т. Э. Форстером и поддерживаемая Рэндаллом Холмсом.