Положительная теория множеств

В математической логике положительная теория множеств — это название класса альтернативных теорий множеств , в которых аксиома понимания выполняется, по крайней мере, для положительных формул. $\phi$ (наименьший класс формул, содержащий формулы атомарного членства и формулы равенства и замкнутый при конъюнкции, дизъюнкции, экзистенциальной и всеобщей квантификации).

Обычно мотивация этих теорий топологическая: множества — это классы, замкнутые в определенной топологии . Условия замыкания для различных конструкций, допускаемых при построении позитивных формул, легко мотивированы (и можно дополнительно оправдать использование кванторов универсальности, ограниченных множествами, для получения обобщенного позитивного понимания ): обоснование квантора существования, по-видимому, требует, чтобы топология была компактной. .

Аксиомы

Теория множеств $\mathrm {GPK} _{\infty }^{+}$ Оливье Эссера состоит из следующих аксиом: ^[1]

Экстенсиональность

$\forall x\forall y(\forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y)\to x=y)$

Позитивное понимание

$\exists x\forall y(y\in x\leftrightarrow \phi (y))$

где $\phi$ это положительная формула . Положительная формула использует только логические константы $\{\top ,\bot ,\land ,\lor ,\forall ,\exists ,=,\in \}$ но не $\{\to ,\neg \}$ .

Закрытие

$\exists x\forall y(y\in x\leftrightarrow \forall z(\forall w(\phi (w)\rightarrow w\in z)\rightarrow y\in z))$

где $\phi$ это формула. То есть для каждой формулы $\phi$ , пересечение всех множеств, содержащих все $x$ такой, что $\phi (x)$ существует. Это называется закрытием $\{x\mid \phi (x)\}$ и записывается любым из различных способов представления топологических замыканий. Это можно выразить более кратко, если разрешен язык классов (любое условие для множеств, определяющих класс, как в NBG ): для любого класса C существует набор, который является пересечением всех множеств, которые содержат C в качестве подкласса. Это разумный принцип, если множества понимать как закрытые классы в топологии.

Бесконечность

фон Неймана Порядковый номер $\omega$ существует. Это не аксиома бесконечности в обычном смысле этого слова; если Бесконечность не удерживается, то закрытие $\omega$ существует и имеет себя как единственный дополнительный член (он, конечно, бесконечен); смысл этой аксиомы в том, что $\omega$ не содержит никаких дополнительных элементов вообще, что повышает силу теории от силы арифметики второго порядка до силы теории множеств Морса – Келли с собственным ординалом класса - слабо компактным кардиналом .

Интересные объекты

Универсальное множество является собственным множеством в этой теории.
Множествами этой теории являются совокупности множеств, замкнутых относительно некоторой топологии на классах.
Теория может интерпретировать ZFC (ограничиваясь классом обоснованных множеств, который сам по себе не является множеством). Фактически он интерпретирует более сильную теорию ( теорию множеств Морса – Келли, в которой собственный ординал класса является слабо компактным кардиналом ).

См. также

Новые Куайна основы

Ссылки

^ Холмс, М. Рэндалл (21 сентября 2021 г.). «Альтернативные аксиоматические теории множеств» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .

Эссер, Оливье (1999), «О непротиворечивости позитивной теории», Mathematical Logic Quarterly , 45 (1): 105–116, doi : 10.1002/malq.19990450110 , MR 1669902

[1] Холмс, М. Рэндалл (21 сентября 2021 г.). «Альтернативные аксиоматические теории множеств» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .

[1]