Алгебра октониона

В математике алгебра октонионов или алгебра Кэли над полем F — это композиционная алгебра над F, размерность 8 над F. имеющая Другими словами, это 8-мерная единичная неассоциативная алгебра A над F с невырожденной квадратичной формой N (называемой нормированной формой ) такая, что

$N(xy)=N(x)N(y)$

для всех x и y в A .

Самый известный пример алгебры октонионов — классические октонионы , которые представляют собой алгебру октонионов над R , полем действительных чисел . Сплит -октонионы также образуют алгебру октонионов над R . С точностью до R -алгебр изоморфизма это единственные алгебры октонионов над вещественными числами. Алгебра биооктонионов это алгебра октонионов над комплексными числами C. —

Алгебра октонионов для N является телом когда форма N анизотропна тогда и только тогда , . Алгебра расщепленных октонионов для которой квадратичная форма N изотропна — это алгебра , (т. е. существует ненулевой вектор x с N ( x ) = 0). С точностью до изоморфизма F существует единственная расщепляемая алгебра октонионов -алгебр над любым полем F . Когда F или алгебраически замкнуто конечное поле , это единственные алгебры октонионов F. над

Алгебры октонионов всегда неассоциативны. Однако они являются альтернативными алгебрами , причем альтернативность является более слабой формой ассоциативности. Более того, тождества Муфанга справедливы в любой алгебре октонионов. Отсюда следует, что обратимые элементы в любой алгебре октонионов образуют петлю Муфанга , как и элементы единичной нормы.

Конструкция общих алгебр октонионов над произвольным полем k была описана Леонардом Диксоном в его книге «Алгебры и их теория чисел» (1927) (стр. 264) и повторена Максом Цорном . Произведение зависит от выбора γ из k . Учитывая q и Q из алгебры кватернионов над k , октонион записывается q + Qe . Другой октонион может быть записан как r + R e. Тогда, когда * обозначает сопряжение в алгебре кватернионов, их произведение равно

$(q+Qe)(r+Re)=(qr+\gamma R^{*}Q)+(Rq+Qr^{*})e.$

Описание Цорном на немецком языке этой конструкции Кэли-Диксона способствовало постоянному использованию этого эпонима для описания конструкции композиционных алгебр .

Кол Фьюри предположил, что алгебры октонионов могут быть использованы в попытке согласовать компоненты стандартной модели .

Классификация

Это теорема Адольфа Гурвица о том, что классы F - изоморфизма нормальной формы находятся во взаимно однозначном соответствии с классами изоморфизма октонионных F -алгебр. Более того, возможные нормальные формы — это в точности 3-формы Пфистера над F .

Поскольку любые две октонионные F -алгебры становятся изоморфными над алгебраическим замыканием F когомологий , можно применить идеи неабелевых Галуа . В частности, используя тот факт, что автоморфизмов расщепляемых октонионов является расщепляемой алгебраической группой G ₂ , можно увидеть соответствие классов изоморфизма октонионных F -алгебр с классами изоморфизма G ₂ -торсоров группа над F . Эти классы изоморфизма образуют неабелевое множество когомологий Галуа. $H^{1}(F,G_{2})$.

Ссылки

• Гарибальди, Скип ; Меркурьев, Александр ; Серр, Жан-Пьер (2003). Когомологические инварианты в когомологиях Галуа . Серия университетских лекций. Том. 28. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  0-8218-3287-5 . Збл   1159.12311 .
• Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том. 67. Американское математическое общество . ISBN  0-8218-1095-2 . МР   2104929 . Збл   1068.11023 .
• Окубо, Сусуму (1995). Введение в октонион и другие неассоциативные алгебры в физике . Серия лекций Мемориала Монтролла по математической физике. Том. 2. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . п. 22. ISBN  0-521-47215-6 . Артикул   0841.17001 .
• Шафер, Ричард Д. (1995) [1966]. Введение в неассоциативные алгебры . Дуврские публикации . ISBN  0-486-68813-5 . №   0145.25601 .
• Жевлаков К.А.; Слинько А.М.; Шестаков, ИП; Ширшов, А.И. (1982) [1978]. Кольца, которые почти ассоциативны . Академическая пресса . ISBN  0-12-779850-1 . МР   0518614 . Збл   0487.17001 .
• Серр, JP (2002). Когомологии Галуа . Монографии Спрингера по математике. Перевод с французского Патрика Иона. Берлин: Springer-Verlag . ISBN  3-540-42192-0 . Збл   1004.12003 .
• Спрингер, штат Калифорния ; Вельдкамп, ФД (2000). Октонионы, жордановые алгебры и исключительные группы . Спрингер-Верлаг. ISBN  3-540-66337-1 .

Внешние ссылки

• «Алгебра Кэли – Диксона» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]