Основная теорема алгебраической K -теории

В алгебре основная теорема алгебраической K -теории описывает эффекты изменения кольца - K групп из кольца R в кольцо R. $R[t]$ или $R[t,t^{-1}]$ . Теорема была впервые доказана Хайманом Бассом для $K_{0},K_{1}$ и позже был распространен на высшие К -группы Дэниелом Квилленом .

Описание

Позволять $G_{i}(R)$ — алгебраическая K-теория категории конечно порожденных модулей над нётеровым кольцом R ; явно, мы можем взять $G_{i}(R)=\pi _{i}(B^{+}{\text{f-gen-Mod}}_{R})$ , где $B^{+}=\Omega BQ$ задается Q-конструкцией Квиллена . Если R — регулярное кольцо (т. е. имеет конечную глобальную размерность ), то $G_{i}(R)=K_{i}(R),$ i -я K-группа R . ^[1] Это непосредственное следствие теоремы о разрешении , которая сравнивает K-теории двух разных категорий (с отношением включения).

Для нётерова кольца R фундаментальная теорема гласит: ^[2]

(я) $G_{i}(R[t])=G_{i}(R),\,i\geq 0$ .
(ii) $G_{i}(R[t,t^{-1}])=G_{i}(R)\oplus G_{i-1}(R),\,i\geq 0,\,G_{-1}(R)=0$ .

Доказательство теоремы использует Q-конструкцию . Существует также версия теоремы для особого случая (при $K_{i}$ ); именно эта версия доказана в статье Грейсона.

См. также

Основные теоремы алгебраической K-теории

Примечания

^ По определению, $K_{i}(R)=\pi _{i}(B^{+}{\text{proj-Mod}}_{R}),\,i\geq 0$ .
^ Weibel 2013 , Ch. V. Theorem 3.3 and Theorem 6.2

Ссылки

Дэниел Грейсон, Высшая алгебраическая K-теория II [по Дэниелу Квиллену] , 1976 г.
Шринивас, В. (2008), Алгебраическая K -теория , Modern Birkhäuser Classics (переиздание 2-го изд. 1996 г. в мягкой обложке), Бостон, Массачусетс: Birkhäuser , ISBN 978-0-8176-4736-0 , Збл 1125.19300
Вайбель, Чарльз (2013). «К-книга: Введение в алгебраическую К-теорию» . Аспирантура по математике . 145 .

Эта алгеброй статья, связанная с , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] По определению, $K_{i}(R)=\pi _{i}(B^{+}{\text{proj-Mod}}_{R}),\,i\geq 0$ .

[2] Weibel 2013 , Ch. V. Theorem 3.3 and Theorem 6.2

[1]

[2]