Основные теоремы алгебраической K -теории

В математике существует несколько основных теорем алгебраической K -теории .

Всюду для простоты мы предполагаем, что когда точная категория является подкатегорией другой точной категории, мы имеем в виду, что она является строго полной подкатегорией (т. е. замкнутой по изоморфизму).

Теоремы

Теорема аддитивности ^[1] - Позволять $B,C$ быть точными категориями (или другими вариантами). Дана короткая точная последовательность функторов $F'\rightarrowtail F\twoheadrightarrow F''$ от $B$ к $C$ , $F_{*}\simeq F'_{*}+F''_{*}$ как $H$ -космические карты; следовательно, $F_{*}=F'_{*}+F''_{*}:K_{i}(B)\to K_{i}(C)$ .

Теорема о локализации обобщает теорему о локализации для абелевых категорий .

Теорема о локализации Вальдхаузена ^[2] - Позволять $A$ — категория с корасслоениями, снабженная двумя категориями слабых эквивалентностей, $v(A)\subset w(A)$ , такой, что $(A,v)$ и $(A,w)$ обе категории Вальдхаузена. Предполагать $(A,w)$ имеет функтор цилиндра, удовлетворяющий аксиоме цилиндра, и что $w(A)$ удовлетворяет аксиомам насыщения и расширения. Затем

K(A^{w})\to K(A,v)\to K(A,w)

является гомотопическим расслоением .

Теорема о разрешении ^[3] - Позволять $C\subset D$ быть точными категориями. Предполагать

(i) C замкнуто относительно расширений в D и относительно ядер допустимых сюръекций в D .
(ii) Каждый объект в D допускает разрешение конечной длины объектами из C .

Затем $K_{i}(C)=K_{i}(D)$ для всех $i\geq 0$ .

Позволять $C\subset D$ быть точными категориями. Тогда C называется конфинальным в D, если (i) он замкнут при расширении в D и если (ii) для каждого объекта M в D существует N в D такой, что $M\oplus N$ в С. находится Прототипический пример: C — категория свободных модулей , а D — категория проективных модулей .

Теорема конфинальности ^[4] - Позволять $(A,v)$ быть категорией Вальдхаузена, которая имеет функтор цилиндра, удовлетворяющий аксиоме цилиндра. Предположим, что существует сюръективный гомоморфизм $\pi :K_{0}(A)\to G$ и пусть $B$ обозначают полную подкатегорию Вальдхаузена всех $X$ в $A$ с $\pi [X]=0$ в $G$ . Затем $v.s.B\to v.s.A\to BG$ и его выход из цикла $K(B)\to K(A)\to G$ являются гомотопическими расслоениями.

См. также

Основная теорема алгебраической K-теории

Ссылки

^ Weibel 2013 , Ch. V, Additivity Theorem 1.2.
^ Weibel 2013 , Глава V, Теорема о локализации Вальдхаузена 2.1.
^ Weibel 2013 , Ch. V, Resolution Theorem 3.1.
^ Weibel 2013 , Ch. V, Cofinality Theorem 2.3.

Библиография

Вейбель, Чарльз (2013). « К -книга: Введение в алгебраическую К-теорию» . Аспирантура по математике . Аспирантура по математике. 145 . дои : 10.1090/gsm/145 . ISBN 978-0-8218-9132-2 .
Росс Э. Стаффельдт, Об основных теоремах алгебраической K-теории
ГЕЙБ АНДЖЕЛИНИ-НОЛЛ, ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ К-ТЕОРИИ
Харрис, Том (2013). «Алгебраические доказательства некоторых фундаментальных теорем алгебраической K -теории». arXiv : 1311.5162 [ мат.КТ ].

Эта алгеброй статья, связанная с , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Weibel 2013 , Ch. V, Additivity Theorem 1.2.

[2] Weibel 2013 , Глава V, Теорема о локализации Вальдхаузена 2.1.

[3] Weibel 2013 , Ch. V, Resolution Theorem 3.1.

[4] Weibel 2013 , Ch. V, Cofinality Theorem 2.3.

[1]

[2]

[3]

[4]