Теорема об изоморфизме норм вычетов

«Гипотеза Блоха – Като» перенаправляется сюда. О гипотезе о специальных значениях L-функций см. Гипотеза Блоха – Като (L-функции) .

В математике теорема об изоморфизме норм вычетов является долгожданным результатом, связывающим Милнора K -теорию и когомологии Галуа . Результат имеет относительно элементарную формулировку и в то же время представляет собой ключевой момент в доказательствах многих, казалось бы, не связанных друг с другом теорем из абстрактной алгебры, теории квадратичных форм , алгебраической К-теории и теории мотивов . Теорема утверждает, что определенное утверждение справедливо для любого простого числа. $\ell$ и любое натуральное число $n$. Джон Милнор предположил, что эта теорема может быть верной для $\ell =2$ и все $n$, и этот вопрос стал известен как гипотеза Милнора . Общий случай был выдвинут Спенсером Блохом и Казуей Като. и стал известен как гипотеза Блоха-Като или мотивная гипотеза Блоха-Като, чтобы отличить ее от гипотезы Блоха-Като о значениях L -функций . Теорема об изоморфизме норм вычетов была доказана Владимиром Воеводским с использованием ряда весьма инновационных результатов Маркуса Роста .

Заявление

Для любого целого числа ℓ, обратимого в поле $k$ есть карта $\partial :k^{\times }\rightarrow H^{1}(k,\mu _{\ell })$где $\mu _{\ell }$ обозначает модуль Галуа -й степени из единицы в некотором сепарабельном замыкании k корней ℓ . Это индуцирует изоморфизм $k^{\times }/(k^{\times })^{\ell }\cong H^{1}(k,\mu _{\ell })$. Первый намек на то, что это связано с К -теорией, состоит в том, что $k^{\times }$ есть группа K ₁ ( k ). Взяв тензорные произведения и применив мультипликативность этальных когомологий, мы получаем расширение отображения $\partial$ к картам:

$\partial ^{n}:k^{\times }\otimes \cdots \otimes k^{\times }\rightarrow H_{\rm {{\acute {e}}t}}^{n}(k,\mu _{\ell }^{\otimes n}).$

Эти карты обладают тем свойством, что для каждого элемента a в $k\setminus \{0,1\}$, $\partial ^{n}(\ldots ,a,\ldots ,1-a,\ldots )$ исчезает. Это определяющее соотношение К -теории Милнора. -теория Милнора В частности, K определяется как градуированные части кольца:

$K_{*}^{M}(k)=T(k^{\times })/(\{a\otimes (1-a)\colon a\in k\setminus \{0,1\}\}),$

где $T(k^{\times })$ — тензорная алгебра мультипликативной группы $k^{\times }$ и частное по двустороннему идеалу, порожденному всеми элементами формы $a\otimes (1-a)$. Поэтому карта $\partial ^{n}$ факторы через карту:

$\partial ^{n}\colon K_{n}^{M}(k)\to H_{\rm {{\acute {e}}t}}^{n}(k,\mu _{\ell }^{\otimes n}).$

Это отображение называется символом Галуа или картой вычетов нормы . Поскольку этальные когомологии с коэффициентами mod-ℓ являются ℓ-крученной группой, это отображение дополнительно учитывает $K_{n}^{M}(k)/\ell$.

Теорема об изоморфизме вычетов нормы (или гипотеза Блоха – Като) утверждает, что для поля k и целого числа ℓ, обратимого в k , отображение вычетов нормы

$\partial ^{n}:K_{n}^{M}(k)/\ell \to H_{\rm {{\acute {e}}t}}^{n}(k,\mu _{\ell }^{\otimes n})$

из K-теории Милнора mod-ℓ в этальные когомологии является изоморфизмом. Случай ℓ = 2 — это гипотеза Милнора , а случай n = 2 — это теорема Меркурьева–Суслина.

История

Этальная когомология поля идентична когомологиям Галуа , поэтому гипотеза приравнивает ℓ-ю которцию (фактор по подгруппе ℓ-делимых элементов) K -группы Милнора поля k с когомологиями Галуа поля k с коэффициентами в модуль Галуа корней ℓ-й степени из единицы. Суть гипотезы состоит в том, что существуют свойства, которые легко обнаружить для K -групп Милнора, но не для когомологий Галуа, и наоборот; Теорема об изоморфизме вычетов нормы позволяет применять методы, применимые к объекту, находящемуся по одну сторону изоморфизма, к объекту, находящемуся по другую сторону изоморфизма.

Случай, когда n равно 0, тривиален, а случай, когда n = 1, легко следует из теоремы 90 Гильберта . Случай n = 2 и ℓ = 2 был доказан ( Меркурьев 1981 ) . Важным достижением стал случай n = 2 и ℓ произвольно. Этот случай был доказан ( Merkurjev & Suslin 1982 ) и известен как теорема Меркурьева-Суслина . случай n = 3 и ℓ = 2 Merkurjev & Suslin 1991 ) Суслин и Рост доказали .

Название «нормальный остаток» первоначально относилось к символу Гильберта. $(a_{1},a_{2})$, который принимает значения из группы Брауэра числа k (когда поле содержит все корни ℓ-й степени из единицы). Его использование здесь аналогично стандартной теории полей локальных классов и, как ожидается, станет частью (пока еще неразвитой) теории поля «более высокого» класса.

Из теоремы об изоморфизме норм вычетов следует гипотеза Квиллена – Лихтенбаума . Это эквивалентно теореме, утверждение которой когда-то называлось гипотезой Бейлинсона-Лихтенбаума .

История доказательства

Гипотезу Милнора доказал Владимир Воеводский . Позже Воеводский доказал общую гипотезу Блоха–Като.

Отправной точкой доказательства является серия предположений, выдвинутых Лихтенбаумом (1983) и Beilinson (1987) . Они выдвинули гипотезу о существовании мотивных комплексов — комплексов пучков, когомологии которых родственны мотивным когомологиям . Среди гипотетических свойств этих комплексов было три свойства: одно связывало их когомологии Зарисского с K-теорией Милнора, одно связывало их этальные когомологии с когомологиями с коэффициентами в пучках корней из единицы и одно связывало их когомологии Зарисского с их этальными когомологиями. В частном случае эти три свойства подразумевали, что отображение норм вычетов должно быть изоморфизмом. Существенной характеристикой доказательства является то, что оно использует индукцию по «весу» (который равен размерности группы когомологий в гипотезе), где индуктивный шаг требует знания не только утверждения гипотезы Блоха-Като, но и гораздо более общего утверждения. утверждение, содержащее большую часть гипотез Бейлинсона-Лихтенбаума. При доказательствах по индукции часто случается, что доказываемое утверждение необходимо усилить, чтобы доказать индуктивный шаг. В этом случае необходимое усиление потребовало разработки очень большого объема новой математики.

Самое раннее доказательство гипотезы Милнора содержится в препринте Воеводского 1995 года. и вдохновлен идеей о том, что должны существовать алгебраические аналоги Моравы K -теории (эти алгебраические K-теории Моравы были позже построены Симоне Боргези ). В препринте 1996 года Воеводскому удалось убрать K -теорию Моравы с картины, введя вместо нее алгебраические кобордизмы и используя некоторые их свойства, которые на тот момент не были доказаны (эти свойства были доказаны позже). Теперь известно, что конструкции препринтов 1995 и 1996 годов верны, но первое завершенное доказательство гипотезы Милнора использовало несколько другую схему.

Это также схема, которой следует доказательство полной гипотезы Блоха – Като. Его придумал Воеводский через несколько месяцев после выхода препринта 1996 года. Реализация этой схемы потребовала существенных успехов в области мотивной теории гомотопий, а также поиска способа построения алгебраических многообразий с заданным списком свойств. Из мотивной гомотопической теории доказательство требовало следующего:

1. Конструкция мотивного аналога основного ингредиента двойственности Спэньера–Уайтхеда в виде мотивного фундаментального класса как морфизма мотивной сферы в пространство Тома мотивного нормального расслоения над гладким проективным алгебраическим многообразием.
2. Конструкция мотивного аналога алгебры Стинрода .
3. Доказательство предложения о том, что над полем нулевой характеристики мотивная алгебра Стинрода характеризует все бистабильные когомологические операции в мотивных когомологиях.

Первые две конструкции были разработаны Воеводским к 2003 году. В сочетании с результатами, известными с конца 1980-х годов, их оказалось достаточно, чтобы опровергнуть гипотезу Милнора .

Также в 2003 году Воеводский опубликовал в сети препринт, практически содержащий доказательство общей теоремы. Он следовал исходной схеме, но не имел доказательств трех утверждений. Два из этих утверждений были связаны со свойствами мотивных операций Стинрода и требовали третьего факта, приведенного выше, а третье требовало неизвестных на тот момент фактов о «нормальных многообразиях». Свойства, которыми должны были обладать эти сорта, были сформулированы Воеводским в 1997 г., а сами сорта были сконструированы Маркусом Ростом в 1998–2003 гг. Доказательство наличия у них необходимых свойств завершили Андрей Суслин и Сева Жуховицкий в 2006 году.

Третий факт, указанный выше, потребовал разработки новых методов мотивной теории гомотопий. Целью было доказать, что функтор, который не предполагал коммутации с пределами или копределами, сохраняет слабые эквивалентности между объектами определенной формы. Одна из основных трудностей заключалась в том, что стандартный подход к изучению слабых эквивалентностей основан на системах факторизации Баусфилда–Квиллена и модельных структурах категорий , а они оказались недостаточными. Пришлось разрабатывать другие методы, и эту работу Воеводский завершил только в 2008 году.

В ходе разработки этих методик выяснилось, что первое утверждение, использованное без доказательства в препринте Воеводского 2003 года, неверно. Доказательство пришлось немного изменить, чтобы оно соответствовало исправленной форме этого утверждения. Пока Воеводский продолжал прорабатывать последние детали доказательств основных теорем о мотивных пространствах Эйленберга–Маклейна , Чарльз Вейбель изобрел подход, позволяющий исправить место в доказательстве, которое пришлось изменить. Вейбель также опубликовал в 2009 году статью, содержащую краткое изложение построений Воеводского с исправлениями, которые он обнаружил.

Гипотеза Бейлинсона – Лихтенбаума

Смотрите также: гипотеза Квиллена – Лихтенбаума

Пусть X — гладкое многообразие над полем, содержащим $1/\ell$. Бейлинсон и Лихтенбаум предположили, что мотивных когомологий группа $H^{p,q}(X,\mathbf {Z} /\ell )$ изоморфна когомологий этальной группе $H_{\rm {{\acute {e}}t}}^{p}(X,\mu _{\ell }^{\otimes q})$ когда р ≤ q . Эта гипотеза теперь доказана и эквивалентна теореме об изоморфизме норм вычетов.

Библиография

• Блох, Спенсер; Като, Казуя (1986). «p-адические этальные когомологии». Публикации IHÉS по математике . 63 : 107–152. дои : 10.1007/bf02831624 .
• Боргези, Симона (2000), Алгебраические K-теории Моравы и формула высшей степени , Препринт
• Эфрат, Идо (2006). Оценки, упорядочения и К -теория Милнора . Математические обзоры и монографии. Том. 124. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  0-8218-4041-Х . Збл   1103.12002 .
• Гилле, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006). Центральные простые алгебры и когомологии Галуа . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 101. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-86103-9 . Збл   1137.12001 .
• Милнор, Джон (1970). «Алгебраическая К-теория и квадратичные формы». Математические изобретения . 9 (4): 318–344. Бибкод : 1970ИнМат...9..318М . дои : 10.1007/bf01425486 .
• Рост, Маркус (1998). «Цепная лемма для разбиения полей символов» .
• Шринивас, В. (2008). Алгебраическая К -теория . Modern Birkhäuser Classics (переиздание 2-го изд. 1996 г. в мягкой обложке). Бостон, Массачусетс: Биркхойзер . ISBN  978-0-8176-4736-0 . Збл   1125.19300 .
• Воеводский, Владимир (1995), Гипотеза Блоха-Като для Z/2-коэффициентов и алгебраических K-теорий Моравы , Препринт, CiteSeerX   10.1.1.154.922
• Воеводский, Владимир (1996), Гипотеза Милнора , Препринт
• Воеводский, Владимир (2001), О 2-кручении в мотивных когомологиях , Препринт, arXiv : math/0107110 , Бибкод : 2001math......7110V
• Воеводский, Владимир (2003a), «Операции пониженной мощности в мотивных когомологиях» , Institut des Hautes Études Scientifiques. Mathematical Publications , 98 (1): 1–57, arXiv : math/0107109 , doi : 10.1007/s10240-003-0009-z , ISSN   0073-8301 , MR   2031198
• Воеводский, Владимир (2003b), «Мотивические когомологии с Z / 2-коэффициентами» , Institut des Hautes Études Scientifiques. Математические публикации , 98 (1): 59–104, doi : 10.1007/s10240-003-0010-6 , ISSN   0073-8301 , MR   2031199
• Воеводский, Владимир (2008). «О мотивных когомологиях с коэффициентами Z/L». arXiv : 0805.4430 [ math.AG ].
• Вейбель, Чарльз (2009). «Теорема об изоморфизме норм вычетов». Журнал топологии . 2 (2): 346–372. дои : 10.1112/jtopol/jtp013 . МР   2529300 .
• Воеводский, Владимир (2011). «О мотивных когомологиях с Z/L-коэффициентами» . Анналы математики . 174 (1): 401–438. arXiv : 0805.4430 . дои : 10.4007/анналы.2011.174.1.11 .