Гипотеза Куммера – Вандивера

Гипотеза Куммера – Вандивера
Поле	Алгебраическая теория чисел
Предполагается	Серьезное горе
Предполагается в	1849
Открытая проблема	Да

В математике гипотеза Куммера -Вандивера или гипотеза Вандивера утверждает, что простое число p не делит номер класса h _K максимального вещественного подполя. $K=\mathbb {Q} (\zeta _{p})^{+}$ го p - кругового поля . Гипотеза была впервые высказана Эрнстом Куммером 28 декабря 1849 года и 24 апреля 1853 года в письмах Леопольду Кронекеру , перепечатана в ( Kummer 1975 Kummer 1975 , страницы 84, 93, 123–124). , страницы 84, 93, 123–124) и независимо заново открыта примерно в 1920 году Филиппом Фуртвенглером и Гарри Вандивером ( 1946 , с. 576),

По состоянию на 2011 год не существует особенно убедительных доказательств ни за, ни против этой гипотезы, и неясно, верна она или ложна, хотя вполне вероятно, что контрпримеры очень редки.

Фон

Номер класса h кругового поля $\mathbb {Q} (\zeta _{p})$ является произведением двух целых чисел h ₁ и h ₂ , называемых первым и вторым множителями номера класса, где h ₂ является номером класса максимального вещественного подполя $K=\mathbb {Q} (\zeta _{p})^{+}$ го p - кругового поля . Первый множитель h ₁ хорошо понятен, его можно легко вычислить с помощью чисел Бернулли , и он обычно довольно велик. Второй множитель h ₂ недостаточно понятен, его трудно вычислить явно, а в тех случаях, когда он вычисляется, он обычно невелик.

Куммер показал, что если простое число p не делит номер класса h , то Великая теорема Ферма справедлива для показателя p .

Гипотеза Куммера-Вандивера утверждает, что p не делит второй множитель h ₂ . Куммер показал, что если p делит второй множитель, то оно делит и первый множитель. В частности, гипотеза Куммера–Вандивера справедлива для правильных простых чисел (тех, у которых p не делит первый множитель).

Доказательства за и против гипотезы Куммера – Вандивера

Куммер подтвердил гипотезу Куммера-Вандивера для p меньше 200, а Вандивер расширил ее до p меньше 600. Джо Бюлер, Ричард Крэндалл и Рейхо Эрнвалл и др. ( 2001 ) подтвердили это для p < 12 миллионов. Бюлер и Харви (2011) распространили это на простые числа меньше 163 миллионов, а Харт, Харви и Онг (2017) распространили это на простые числа меньше 2. ³¹.

Вашингтон (1996 , стр. 158) описывает неформальный вероятностный аргумент, основанный на довольно сомнительных предположениях о равнораспределении чисел классов по модулю p , предполагая, что количество простых чисел меньше x , которые являются исключениями из гипотезы Куммера-Вандивера, может расти как ( 1/2) журнал журнал x . Это растет чрезвычайно медленно и позволяет предположить, что компьютерные расчеты не предоставляют достаточных доказательств гипотезы Вандивера: например, аргумент вероятности (в сочетании с расчетами для малых простых чисел) предполагает, что следует ожидать только около 1 контрпримера в первых 10 ¹⁰⁰ простые числа, что позволяет предположить, что при дальнейших переборах маловероятно, что какой-либо контрпример будет найден, даже если существует бесконечное число исключений.

Шуф (2003) дал гипотетические расчеты чисел классов действительных круговых полей для простых чисел до 10000, которые убедительно свидетельствуют о том, что числа классов не распределяются случайным образом по модулю p . Они, как правило, довольно малы и часто равны всего 1. Например, если принять обобщенную гипотезу Римана , номер класса реального кругового поля для простого числа p равен 1 для p <163 и делится на 4 для p = 163. Это говорит о том, что неформальный вероятностный аргумент Вашингтона против этой гипотезы может вводить в заблуждение.

Михайлеску (2010) представил уточненную версию эвристического аргумента Вашингтона, предполагая, что гипотеза Куммера-Вандивера, вероятно, верна.

Следствия гипотезы Куммера – Вандивера.

Курихара (1992) показал, что эта гипотеза эквивалентна утверждению алгебраической K-теории целых чисел, а именно, что K _n ( Z ) = 0 всякий раз, когда n кратно 4. Фактически, из гипотезы Куммера-Вандивера и гипотезы Куммера-Вандивера и гипотезы Теорема об изоморфизме норм вычетов следует за полным гипотетическим вычислением K -групп для всех значений n ; см . в гипотезе Квиллена – Лихтенбаума подробности .

См. также

Ссылки

Бюлер, Джо ; Крэндалл, Ричард ; Эрнвалль, Рейхо; Метсанкюля, Тауно; Шокроллахи, М. Амин (2001), Босма, Виб (ред.), «Неправильные простые числа и круговые инварианты до 12 миллионов», Вычислительная алгебра и теория чисел (Материалы 2-й Международной конференции по магме, состоявшейся в Университете Маркетт, Милуоки, Висконсин, 12–16 мая 1996 г.), Журнал символических вычислений , 31 (1): 89–96, doi : 10.1006/jsco.1999.1011 , ISSN 0747-7171 , MR 1806208
Гейт, Экнат (2000), «Гипотеза Вандивера через K-теорию» (PDF) , в Адхикари, SD; Катре, ЮАР; Тхакур, Динеш (ред.), Циклотомные поля и связанные с ними темы , Материалы Летней школы по циклотомным полям, состоявшейся в Пуне, 7–30 июня 1999 г., Бхаскачарья Пратиштхана, Пуна, стр. 285–298, MR 1802389
Бюлер, JP ; Харви, Д. (2011), «Неправильные простые числа до 163 миллионов», Mathematics of Computation , 80 (276): 2435–2444, arXiv : 0912.2121 , doi : 10.1090/S0025-5718-2011-02461-0 , MR 2813369
Харт, Уильям; Харви, Дэвид; Онг, Уилсон (2017), «Неправильные простые числа до двух миллиардов», Mathematics of Computation , 86 (308): 3031–3049, arXiv : 1605.02398 , doi : 10.1090/mcom/3211 , MR 3667037 , S2CID 37245286
Куммер, Эрнст Эдуард (1975), Вейль, Андре (ред.), Сборник статей. Том 1: Вклад в теорию чисел , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-06835-0 , МР 0465760
Курихара, Масато (1992), «Некоторые замечания по поводу гипотез о круговых полях и K-группах Z» , Compositio Mathematica , 81 (2): 223–236, ISSN 0010-437X , MR 1145807
Михайлеску, Преда (2010), Превращение эвристики Вашингтона в пользу гипотезы Вандивера , arXiv : 1011.6283 , Bibcode : 2010arXiv1011.6283M
Шуф, Рене (2003), «Числа классов действительных круговых полей первичного проводника», Mathematics of Computation , 72 (242): 913–937, doi : 10.1090/S0025-5718-02-01432-1 , ISSN 0025-5718 , МР 1954975
Вандивер, HS (1946), «Последняя теорема Ферма. Ее история и природа известных результатов о ней», The American Mathematical Monthly , 53 (10): 555–578, doi : 10.1080/00029890.1946.11991754 , ISSN 0002- 9890 , JSTOR 2305236 , МР 0018660
Вашингтон, Лоуренс К. (1996), Введение в циклотомные поля , Springer, ISBN 978-0-387-94762-4