С коллектором горшка

сорт Нехари

В вариационном исчислении , разделе математики , многообразие Нехари — это многообразие функций, определение которого основано на работах Зеева Нехари ( 1960 , 1961 ). Это дифференцируемое многообразие , связанное с задачей Дирихле для полулинейного эллиптического уравнения в частных производных.

$-\triangle u=|u|^{p-1}u,{\text{ with }}u\mid _{\partial \Omega }=0.$

Здесь ∆ — лапласиан в ограниченной области Ω в R ^н .

Решений этой проблемы бесконечно много. Решения являются именно критическими точками для энергетического функционала

$J(v)={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }{|\nabla v|^{2}\,d\mu }-{\frac {1}{p+1}}\int _{\Omega }{|v|^{p+1}\,d\mu }$

on the Sobolev space H ¹
₀ (Ом) . Многообразие Нехари определяется как множество v ∈ H ¹
₀ (Ω) такой, что

$\|\nabla v\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}=\|v\|_{L^{p+1}(\Omega )}^{p+1}>0.$

Решения исходной вариационной задачи, лежащие в многообразии Нехари, являются (с ограничениями) минимизаторами энергии, поэтому прямые методы вариационного исчисления можно использовать .

В более общем смысле, при наличии подходящего функционала J ассоциированное многообразие Нехари определяется как набор функций u в соответствующем функциональном пространстве, для которых

$\langle J'(u),u\rangle =0.$

Здесь J ′ — функциональная производная от J .

Ссылки

• А. Бахри и П. Л. Лайонс (1988), Индекс Морса некоторых критических точек минимального и максимального значений. I. Приложения к результатам о множественности. Сообщения по чистой и прикладной математике. (XLI) 1027–1037.
• Нехари, Зеев (1960), «Об одном классе нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка», Труды Американского математического общества , 95 (1): 101–123, doi : 10.2307/1993333 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   1993333 , МР   0111898
• Нехари, Зеев (1961), «Характеристические значения, связанные с классом нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка», Acta Mathematica , 105 (3–4): 141–175, doi : 10.1007/BF02559588 , hdl : 2027/mdp .39015095251222 , ISSN   0001-5962 , MR   0123775
• Виллем, Мишель (1996), Минимаксные теоремы , Прогресс в нелинейных дифференциальных уравнениях и их приложениях, 24, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, ISBN  978-0-8176-3913-6 , МР   1400007