Задача о минимальном сопротивлении Ньютона

Задача о минимальном сопротивлении Ньютона — задача о нахождении тела вращения , которое испытывает минимальное сопротивление при движении через однородную жидкость с постоянной скоростью в направлении оси вращения, названная в честь Исаака Ньютона , изучившего эту проблему в 1685 году и опубликовавшего это в 1687 году в его Principia Mathematica . Это первый пример проблемы, решенной в рамках так называемого вариационного исчисления , появившейся за десятилетие до проблемы брахистохроны . Ньютон опубликовал решение в Principia Mathematica без своего вывода, а Дэвид Грегори был первым, кто обратился к Ньютону и убедил его написать для него анализ. Затем Грегори поделился выводом со своими учениками и коллегами.

По словам И. Бернарда Коэна в его «Путеводителе по принципам Ньютона» , «ключ к рассуждениям Ньютона был найден в 1880-х годах, когда граф Портсмут передал Кембриджскому университету обширную коллекцию научных и математических работ Ньютона, принадлежащую его семье. Среди рукописей Ньютона они нашел черновой текст письма,… в котором Ньютон излагал свои математические аргументы, [это], однако, так и не было полностью понято до публикации основного доклада. рукописные документы Д. Т. Уайтсайда [1974], чьи аналитические и исторические комментарии позволили исследователям Ньютона не только полностью проследить путь Ньютона к открытиям и доказательствам, но также и более поздний (1694 г.) перерасчет Ньютоном поверхности наименьшего сопротивления».

Несмотря на то, что модель жидкости Ньютона была неверной в соответствии с нашим нынешним пониманием, жидкость, которую он рассматривал, находит свое применение в теории гиперзвукового потока как предельный случай.

Определение

В предложении 34 второй книги «Начал» Ньютон писал: «Если в редкой среде, состоящей из равных частиц, свободно расположенных на равных расстояниях друг от друга, глобус и цилиндр, описанные на равном диаметре, движутся с равными скоростями в направлении оси цилиндра, сопротивление шара будет вдвое меньше, чем сопротивление цилиндра».

За этим утверждением следует схолий, содержащий знаменитое условие: кривая, которая при вращении вокруг своей оси создает твердое тело, испытывающее меньшее сопротивление, чем любое другое твердое тело, имеющее фиксированную длину и ширину.

В современной форме задача Ньютона состоит в минимизации следующего интеграла:

$I=\int {\frac {y{\dot {y}}^{3}}{1+{\dot {y}}^{2}}}\,dx,$

где $y(x)$ представляет собой кривую, которая создает твердое тело при его вращении вокруг оси x , и ${\dot {y}}=dy/dx.$

I — уменьшение сопротивления, вызванное столкновением частиц с наклонной поверхностью ДНГ, образованной вращением кривой, а не перпендикулярно горизонтальной проекции ДНГ на задний диск DA со стороны движения, на рис. 1 ниже. Обратите внимание, что передней частью тела является диск BG, треугольники GBC и GBR не являются его частью, а используются ниже Ньютоном для выражения условия минимума.

Этот интеграл связан с общим сопротивлением, испытываемым телом, следующим соотношением:

$\rho ={\frac {H^{2}}{2}}+\int {\frac {y{\dot {y}}^{3}}{1+{\dot {y}}^{2}}}\,dx.$

Проблема состоит в том, чтобы найти кривую, которая создает твердое тело, испытывающее меньшее сопротивление, чем любое другое твердое тело, имеющее фиксированную осевую длину и фиксированную ширину H. L

Поскольку тело должно сужаться в направлении движения, H — это радиус диска, образующего заднюю поверхность кривой, повернутой вокруг оси x . Единицы измерения выбраны так, чтобы константа пропорциональности была равна единице. Также обратите внимание, что ${\dot {y}}<0,$ и интеграл, который вычисляется между x = 0 и x = L, является отрицательным. Пусть y = h когда x = L. ,

Если кривая представляет собой горизонтальную линию DK, то тело представляет собой цилиндр. $y=H,{\dot {y}}=0,$ интеграл равен нулю, а сопротивление цилиндра равно $\rho =H^{2}/2,$ что объясняет постоянный член.

Условие минимального сопротивления твердого тела

Самый простой способ применить уравнение Эйлера – Лагранжа к этой задаче — переписать сопротивление как

$\rho ={\frac {H^{2}}{2}}+\int {\frac {y}{1+{\dot {x}}^{2}}}\,dy,$

где ${\dot {x}}=dx/dy$, а интеграл, который вычисляется между y = H и y = h < H , является отрицательным.

Подстановка подынтегральной функции $F(y,{\dot {x}})=y/(1+{\dot {x}}^{2})$ в уравнение Эйлера–Лагранжа

${\frac {d}{dy}}\left({\frac {\partial F}{\partial {\dot {x}}}}\right)={\frac {d}{dy}}\left({\frac {-2{\dot {x}}y}{(1+{\dot {x}}^{2})^{2}}}\right)={\frac {\partial F}{\partial x}}=0,$

и отсюда следует, что ${\frac {{\dot {x}}y}{(1+{\dot {x}}^{2})^{2}}}$ является константой, и это можно записать как

$y=K_{1}{\frac {(1+p^{2})^{2}}{p^{3}}},\qquad (1)$

где $p=-{\dot {y}}>0$, и $K_{1}>0$ является константой.

Хотя кривые, удовлетворяющие условию минимума, не могут быть описаны простой функцией y = f ( x ), их можно построить с использованием p в качестве параметра, чтобы получить соответствующие координаты ( x , y ) кривых. Уравнение x как функции p получается из условия минимума (1), а его эквивалент был впервые найден Ньютоном.

Дифференциация:

$dy=-p\,dx=K_{1}\left(1-{\frac {2}{p^{2}}}-{\frac {3}{p^{4}}}\right)\,dp$

и интегрируем:

$x=K_{2}-K_{1}\left(\ln p+{\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {3}{4p^{4}}}\right),$

где $K_{2}>0$ является константой.

С $y=H$ когда $x=0$, и $y=h$ когда $x=L$, константы $K_{1},K_{2}$ быть определена через H , h и L. может Поскольку y из уравнения (1) никогда не может быть нулевым или отрицательным, передняя поверхность любого твердого тела, удовлетворяющего условию минимума, должна быть диском (GB на рис. 2 выше).

Поскольку это был первый пример задачи такого типа, Ньютону пришлось изобрести совершенно новый метод решения. Кроме того, в своем анализе проблемы он пошел гораздо глубже, чем просто нахождение условия (1).

Твердое тело, испытывающее наименьшее сопротивление

Хотя тело наименьшего сопротивления должно удовлетворять (1), обратное неверно. На рис. 2 показано семейство удовлетворяющих ему кривых для различных значений $K_{1}>0$. Как $K_{1}$ увеличивается, радиус Bg = h диска при x = L уменьшается, и кривая становится круче.

Непосредственно перед задачей о минимальном сопротивлении Ньютон заявил, что если на какой-либо эллиптической или овальной фигуре, повернутой вокруг своей оси, p становится больше единицы, то можно найти фигуру с меньшим сопротивлением. Это достигается заменой части тела, имеющей p > 1, усеченным конусом , угол при вершине которого равен прямому углу, как показано на рис. 2 для кривой $D\nu \phi \gamma B$. Он имеет меньшее сопротивление, чем $D\nu \phi \Gamma B$. Ньютон не доказывает этого, но добавляет, что это может найти применение в судостроении. Уайтсайд приводит доказательство и утверждает, что Ньютон использовал бы те же рассуждения.

На рис. 2, поскольку твердое тело, образованное из кривой Dng, удовлетворяет условию минимума и имеет p < 1 в точке g, оно испытывает меньшее сопротивление, чем тело из любой другой кривой с той же конечной точкой g. Однако для кривой DνΓ с p > 1 в конечной точке Γ это не так, поскольку, хотя кривая удовлетворяет условию минимума, сопротивление, испытываемое φγ и γΓ вместе, меньше, чем сопротивление φΓ.

Ньютон пришел к выводу, что из всех твердых тел, удовлетворяющих условию минимального сопротивления, наименьшее сопротивление испытывает то, DNG на рис. 2, которое имеет p = 1 при G. Это схематически показано на рис. 3, где общее сопротивление твердое тело изменяется в зависимости от радиуса диска передней поверхности, минимум наблюдается, когда h = BG, что соответствует p = 1 при G.

В «Началах» на рис. 1 условие минимального сопротивления тела переведено в геометрическую форму следующим образом: провести GR параллельно касательной в точке N так, чтобы $p={\frac {GB}{BR}}$, и уравнение (1) принимает вид: ${\frac {NM.GB^{3}}{BR^{3}(1+(GB/BR)^{2})^{2}}}={\frac {NM.BR.GB^{3}}{GR^{4}}}=K_{1}$

В Г, $NM=BG$, $BR=BC=BG$, и $GR^{2}=2BG^{2}$, так ${\frac {NM.BR.GB^{3}}{GR^{4}}}={\frac {GB}{4}}=K_{1}$ который появляется в Началах в форме:

${\frac {NM}{GR}}={\frac {GR^{3}}{4BR.GB^{2}}}$

Вывод Ньютоном условия минимума сопротивления

Хотя это кажется довольно простым, в нем есть несколько тонкостей, которые вызывают большую путаницу.

Предположим, что на рисунке 4 DNSG — это кривая, которая при вращении вокруг AB создает твердое тело, сопротивление которого меньше, чем у любого другого такого твердого тела с той же высотой AD = H, BG = h и длиной AB = L.

На рис. 5 более подробно показан бесконечно малый участок кривой около N и I. Хотя NI, Nj и NJ действительно изогнуты, их можно аппроксимировать прямыми линиями, если NH достаточно мало.

Пусть HM = y, AM = x, NH = u и HI = w = dx. Пусть касательная в каждой точке кривой $p=-{\frac {dy}{dx}}={\frac {u}{w}}$. Уменьшение сопротивления наклонного кольца NI по сравнению с вертикальным кольцом NH, повернутым вокруг AB, составляет $r={\frac {yp^{3}}{1+p^{2}}}dx={\frac {yu^{3}}{u^{2}+w^{2}}}$ (2)

Пусть тело минимального сопротивления заменим таким же, с той лишь разницей, что дуга между точками I и К сдвинута на небольшое расстояние вправо. $IJ=KL=o>0$, или влево $Ij=Kl=o<0$, как более подробно показано на рис. 5. В любом случае HI становится $HJ,Hj=w+o$.

Сопротивления дуг кривой ДН и СГ не изменяются. Также сопротивление дуги IK не изменяется при ее смещении, поскольку наклон остается одинаковым по ее длине. Единственное изменение общего сопротивления ДНСГ связано с изменением градиента дуг NI и KS. Два смещения должны быть одинаковыми, чтобы наклон дуги IK не изменился и чтобы новая кривая закончилась в точке G.

Новое сопротивление частиц, сталкивающихся с NJ или Nj, а не с NI, составляет:

$r+\delta r={\frac {yu^{3}}{u^{2}+(w+o)^{2}}}=r-{\frac {2ywu^{3}o}{(u^{2}+w^{2})^{2}}}$ + w.(члены в возрастающих степенях ${\frac {o}{w}}$ начиная со 2-го).

В результате изменяется сопротивление: $-{\frac {2NM.HI.HN^{3}o}{NI^{4}}}$ + члены более высокого порядка, сопротивление уменьшается, если o > 0 (сопротивление NJ меньше, чем NI).

Это первоначальный вывод 1685 года, в котором он получил вышеуказанный результат, используя разложение в ряд по степеням o. Во время своего повторного визита в 1694 году он дифференцирует (2) относительно w. Он отправил подробности своего более позднего подхода Дэвиду Грегори, и они включены в качестве приложения в перевод «Начал» Мотта.

Аналогично, изменение сопротивления из-за частиц, сталкивающихся с SL или Sl, а не с SK, составляет: $+{\frac {2TS.OK.OS^{3}o}{SK^{4}}}$ + условия более высокого порядка.

Общее изменение сопротивления всего твердого тела, $\delta \rho =(-{\frac {2NM.HI.HN^{3}}{NI^{4}}}+{\frac {2TS.OK.OS^{3}}{SK^{4}}})o$ + w.(члены в возрастающих степенях ${\frac {o}{w}}$ начиная со 2-го).

На рис. 6 показано общее сопротивление DNJLSG или DNjlSG в зависимости от o. Поскольку исходная кривая ДНИКСГ имеет наименьшее сопротивление, любое изменение o любого знака должно приводить к увеличению сопротивления. Это возможно только в том случае, если коэффициент при о в разложении $\rho (o)$ равен нулю, поэтому:

${\frac {NM.HI.HN^{3}}{NI^{4}}}={\frac {TS.OK.OS^{3}}{SK^{4}}}$ (2)

Если бы это было не так, то можно было бы выбрать значение o со знаком, которое давало бы кривую DNJLSG или DNjlSG с меньшим сопротивлением, чем исходная кривая, вопреки первоначальному предположению. Приближение прямых линий для конечных дуг NI и KS становится точным в пределе, когда HN и OS приближаются к нулю. Кроме того, NM и HM можно считать равными, как и OT и ST.

Однако N и S на исходной кривой являются произвольными точками, поэтому для любых двух точек в любом месте кривой должно применяться приведенное выше равенство. Это возможно только в том случае, если в пределе любой бесконечно малой дуги HI, в любом месте кривой, выражение

${\frac {NM.HI.HN^{3}}{NI^{4}}}$ является константой. (3)

Это должно быть так, поскольку, если ${\frac {NM.HI.HN^{3}}{NI^{4}}}$ должно было меняться вдоль кривой, можно было бы найти две бесконечно малые дуги NI и KS такие, что (2) было ложным, а коэффициент при о в разложении $\delta \rho$ было бы ненулевым. Тогда можно было бы получить твердое тело с меньшим сопротивлением, выбрав подходящее значение o.

Это является причиной постоянного члена в условии минимума в (3). Как отмечалось выше, Ньютон пошел дальше и заявил, что сопротивление твердого тела меньше, чем сопротивления любого другого тела той же длины и ширины, когда наклон точки G равен единице. Следовательно, в данном случае константа в (3) равна четверти радиуса переднего диска твердого тела, ${\frac {GB}{4}}$.