Полное шумоподавление вариаций

Пример применения Рудина и др. Метод полного вариационного шумоподавления для изображения, искаженного гауссовским шумом . Этот пример создан Гаем Гилбоа с использованием demo_tv.m, см. внешние ссылки.

При обработке сигналов , особенно при обработке изображений , полное вариационное шумоподавление , также известное как полная вариационная регуляризация или суммарная вариационная фильтрация , представляет собой процесс удаления шума ( фильтр ). Он основан на том принципе, что сигналы с чрезмерной и, возможно, ложной детализацией имеют высокую общую вариацию , то есть интеграл градиента изображения величины высок. В соответствии с этим принципом уменьшение общего отклонения сигнала (при условии его близкого соответствия исходному сигналу) удаляет нежелательные детали, сохраняя при этом важные детали, такие как края . Эта концепция была впервые предложена Л.И. Рудиным, С. Ошером и Э. Фатеми в 1992 году и поэтому сегодня известна как модель ROF .

Этот метод удаления шума имеет преимущества перед простыми методами, такими как линейное сглаживание или медианная фильтрация , которые уменьшают шум, но в то же время в большей или меньшей степени сглаживают края. Напротив, полное вариационное шумоподавление является чрезвычайно эффективным фильтром, сохраняющим фронты , т. е. одновременно сохраняющим фронты и сглаживающим шум в плоских областях, даже при низком отношении сигнал/шум.

Серия 1D сигналов

Применение одномерного шумоподавления с полной вариацией к сигналу, полученному в эксперименте с одной молекулой. Серый — исходный сигнал, черный — сигнал с шумоподавлением.

Для цифрового сигнала $x_{n}$, мы можем, например, определить общую вариацию как

$V(x)=\sum _{n}|x_{n+1}-x_{n}|.$

Учитывая входной сигнал $x_{n}$, цель общего шумоподавления состоит в том, чтобы найти приближение, назовем его $y_{n}$, который имеет меньшую общую вариацию, чем $x_{n}$ но "близко" к $x_{n}$. Одной из мер близости является сумма квадратных ошибок:

$\operatorname {E} (x,y)={\frac {1}{n}}\sum _{n}(x_{n}-y_{n})^{2}.$

Таким образом, задача шумоподавления при полной вариации сводится к минимизации следующего дискретного функционала по сигналу: $y_{n}$:

$\operatorname {E} (x,y)+\lambda V(y).$

Дифференцируя этот функционал по $y_{n}$, мы можем вывести соответствующее уравнение Эйлера–Лагранжа , которое можно численно проинтегрировать с исходным сигналом $x_{n}$ как начальное состояние. Это был оригинальный подход. В качестве альтернативы, поскольку это выпуклый функционал методы выпуклой оптимизации. , для его минимизации и поиска решения можно использовать $y_{n}$.

Свойства регуляризации

Параметр регуляризации ​ $\lambda$ играет решающую роль в процессе шумоподавления. Когда $\lambda =0$, сглаживание отсутствует, и результат такой же, как при минимизации суммы квадратов. Как $\lambda \to \infty$, однако член общей вариации играет все более сильную роль, что приводит к тому, что результат имеет меньшую общую вариацию за счет того, что он меньше похож на входной (зашумленный) сигнал. Таким образом, выбор параметра регуляризации имеет решающее значение для достижения нужного уровня удаления шума.

Изображения 2D-сигналов

Теперь мы рассматриваем 2D-сигналы y , такие как изображения. Норма общей вариации, предложенная в статье 1992 г., равна

$V(y)=\sum _{i,j}{\sqrt {|y_{i+1,j}-y_{i,j}|^{2}+|y_{i,j+1}-y_{i,j}|^{2}}}$

изотропен . не дифференцируем и Вариант, который иногда используется, поскольку иногда его легче минимизировать, представляет собой анизотропную версию.

$V_{\operatorname {aniso} }(y)=\sum _{i,j}{\sqrt {|y_{i+1,j}-y_{i,j}|^{2}}}+{\sqrt {|y_{i,j+1}-y_{i,j}|^{2}}}=\sum _{i,j}|y_{i+1,j}-y_{i,j}|+|y_{i,j+1}-y_{i,j}|.$

Стандартная задача шумоподавления с полной вариацией по-прежнему имеет вид

$\min _{y}[\operatorname {E} (x,y)+\lambda V(y)],$

где E 2D L ₂ – норма . В отличие от одномерного случая, решение проблемы шумоподавления нетривиально. Последний алгоритм, который решает эту проблему, известен как основной двойной метод .

Частично благодаря большому количеству исследований в области сжатого зондирования, проведенных в середине 2000-х годов, существует множество алгоритмов, таких как метод разделения-Брегмана , которые решают варианты этой проблемы.

Рудин-Ошер-Фатеми ПДЭ

Предположим, что нам дано зашумленное изображение $f$ и хотите вычислить изображение с шумоподавлением $u$ в 2D-пространстве. ROF показал, что проблема минимизации, которую мы хотим решить, такова:

$\min _{u\in \operatorname {BV} (\Omega )}\;\|u\|_{\operatorname {TV} (\Omega )}+{\lambda \over 2}\int _{\Omega }(f-u)^{2}\,dx$

где ${\textstyle \operatorname {BV} (\Omega )}$ — набор функций с ограниченной вариацией в области определения $\Omega$, ${\textstyle \operatorname {TV} (\Omega )}$ - полная вариация по области, и ${\textstyle \lambda }$ это срок наказания. Когда ${\textstyle u}$ является гладким, полное изменение эквивалентно интегралу от величины градиента:

$\|u\|_{\operatorname {TV} (\Omega )}=\int _{\Omega }\|\nabla u\|\,dx$

где ${\textstyle \|\cdot \|}$ является евклидовой нормой . Тогда целевая функция задачи минимизации принимает вид:

$$\min _{u\in \operatorname {BV} (\Omega )}\;\int _{\Omega }\left[\|\nabla u\|+{\lambda \over 2}(f-u)^{2}\right]\,dx$$

Из этого функционала уравнение Эйлера-Лагранжа для минимизации – при условии отсутствия зависимости от времени – дает нам нелинейное эллиптическое уравнение в частных производных :

${\begin{cases}\nabla \cdot \left({\nabla u \over {\|\nabla u\|}}\right)+\lambda (f-u)=0,\quad &u\in \Omega \\{\partial u \over {\partial n}}=0,\quad &u\in \partial \Omega \end{cases}}$

Для некоторых численных алгоритмов предпочтительно вместо этого решать нестационарную версию уравнения ROF:

$${\partial u \over {\partial t}}=\nabla \cdot \left({\nabla u \over {\|\nabla u\|}}\right)+\lambda (f-u)$$

Приложения

Модель Рудина-Ошера-Фатеми сыграла ключевую роль в создании первого изображения черной дыры .

См. также

• Анизотропная диффузия
• Ограниченная вариация
• Шумоподавление базового преследования
• Алгоритм Шамболь-Пока
• Цифровая обработка изображений
• Лассо (статистика)
• Снижение шума
• Нелокальные средства
• Обработка сигналов
• Общая вариация

Внешние ссылки

• TVDIP: Полнофункциональная реализация полного шумоподавления Matlab 1D.
• Эффективная вариация Primal-Dual Total
• Алгоритм шумоподавления изображения TV-L1 в Matlab