Алгоритм Шамболь-Пока

Исходное тестовое изображение и поврежденное изображение

Пример применения алгоритма Шамболя-Пока для реконструкции изображения.

В математике алгоритм Шамболь-Пока — это алгоритм, используемый для решения выпуклой оптимизации задач . Его представили Антонен Шамболь и Томас Пок. ^[1] в 2011 году и с тех пор стал широко используемым методом в различных областях, включая обработку изображений , ^[2]^[3]^[4] компьютерное зрение , ^[5] и обработка сигналов . ^[6]

Алгоритм Шамболь-Пока специально разработан для эффективного решения задач выпуклой оптимизации, которые включают минимизацию негладкой функции стоимости , состоящей из члена точности данных и члена регуляризации. ^[1] Это типичная конфигурация, которая обычно возникает при некорректных обратных задачах построения изображений, таких как реконструкция изображений . ^[2] шумоподавление ^[3] и роспись . ^[4]

Алгоритм основан на формулировке «просто-двойственный», которая позволяет одновременно обновлять основные и двойственные переменные. Используя проксимальный оператор , алгоритм Шамболь-Пока эффективно обрабатывает негладкие и невыпуклые члены регуляризации, такие как общая вариация , специфичные для структуры визуализации. ^[1]

Постановка задачи

Пусть будет ${\mathcal {X}},{\mathcal {Y}}$ два действительных векторных пространства, снабженных внутренним произведением $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ и норма $\lVert \,\cdot \,\rVert =\langle \cdot ,\cdot \rangle ^{\frac {1}{2}}$ . До сих пор функция $F$ называется простым, если его проксимальный оператор ${\text{prox}}_{\tau F}$ имеет представление в замкнутой форме или может быть точно вычислено, поскольку $\tau >0$ , ^[1] где ${\text{prox}}_{\tau F}$ упоминается

x={\text{prox}}_{\tau F}({\tilde {x}})={\text{arg }}\min _{x'\in {\mathcal {X}}}\left\{{\frac {\lVert x'-{\tilde {x}}\rVert ^{2}}{2\tau }}+F(x')\right\}

Рассмотрим следующую простую задачу с ограничениями: ^[1]

\min _{x\in {\mathcal {X}}}F(Kx)+G(x)

где $K:{\mathcal {X}}\rightarrow {\mathcal {Y}}$ — ограниченный линейный оператор , $F:{\mathcal {Y}}\rightarrow [0,+\infty ),G:{\mathcal {X}}\rightarrow [0,+\infty )$ выпуклы . , полунепрерывны снизу и просты ^[1]

Задача минимизации имеет двойственную соответствующую проблему: ^[1]

\max _{y\in {\mathcal {Y}}}-\left(G^{*}(-K^{*}y)+F^{*}(y)\right)

где $F^{*},G^{*}$ и $K^{*}$ являются двойной картой $F,G$ и $K$ , соответственно. ^[1]

Предположим, что основная и двойственная задачи имеют по крайней мере решение. $({\hat {x}},{\hat {y}})\in {\mathcal {X}}\times {\mathcal {Y}}$ , это означает, что они удовлетворяют ^[7]

${\begin{aligned}K{\hat {x}}&\in \partial F^{*}({\hat {y}})\\-(K^{*}{\hat {y}})&\in \partial G({\hat {x}})\end{aligned}}$

где $\partial F^{*}$ и $\partial G$ являются субградиентом выпуклых функций $F^{*}$ и $G$ , соответственно. ^[7]

Алгоритм Шамболя-Пока решает так называемую проблему седловой точки. ^[1]

\min _{x\in {\mathcal {X}}}\max _{y\in {\mathcal {Y}}}\langle Kx,y\rangle +G(x)-F^{*}(y)

которая представляет собой первично-двойственную формулировку сформулированных ранее нелинейных первичной и двойственной задач. ^[1]

Алгоритм

Алгоритм Шамболь-Пока в первую очередь включает в себя итеративное чередование возрастания двойной переменной $y$ и по убыванию основной переменной $x$ используя градиентный подход с размерами шага $\sigma$ и $\tau$ соответственно, чтобы одновременно решить первичную и двойственную задачу. ^[2] Кроме того, используется метод сверхрелаксации для основной переменной с параметром $\theta$ . ^[1]

Algorithm Chambolle-Pock algorithm
Input:   $F,G,K,\tau ,\sigma >0,\,\theta \in [0,1],\,(x^{0},y^{0})\in {\mathcal {X}}\times {\mathcal {Y}}$  and set  ${\overline {x}}^{0}=x^{0}$ , stopping criterion.

 $k\leftarrow 0$ 
do while stopping criterion not satisfied
     $y^{n+1}\leftarrow {\text{prox}}_{\sigma F^{*}}\left(y^{n}+\sigma K{\overline {x}}^{n}\right)$ 
     $x^{n+1}\leftarrow {\text{prox}}_{\tau G}\left(x^{n}-\tau K^{*}y^{n+1}\right)$ 
     ${\overline {x}}^{n+1}\leftarrow x^{n+1}+\theta \left(x^{n+1}-x^{n}\right)$ 
     $k\leftarrow k+1$ 
end do

« ←» означает присвоение . Например, « самый большой ← элемент » означает, что значение самого большого изменяется на значение элемента .
« return » завершает алгоритм и выводит следующее значение.

Шамболь и Пок доказали ^[1] что алгоритм сходится, если $\theta =1$ и $\tau \sigma \lVert K\rVert ^{2}\leq 1$ , последовательно и с ${\mathcal {O}}(1/N)$ как скорость сходимости первично-двойственного разрыва. Это было расширено С. Банертом и др. ^[8] держать всякий раз, когда $\theta >1/2$ и $\tau \sigma \lVert K\rVert ^{2}<4/(1+2\theta )$ .

Полунеявный метод Эрроу-Гурвича. ^[9] совпадает с конкретным выбором $\theta =0$ в алгоритме Шамболя-Пока. ^[1]

Ускорение

Существуют особые случаи, когда скорость сходимости теоретически увеличивается. ^[1] Фактически, если $G$ , соответственно $F^{*}$ , равномерно выпукла, то $G^{*}$ , соответственно $F$ , имеет непрерывный градиент Липшица. Тогда скорость сходимости можно улучшить до ${\mathcal {O}}(1/N^{2})$ , внося небольшие изменения в алгоритм Шамболь-Пока. Он приводит к ускоренному варианту метода и заключается в итеративном выборе $\tau _{n},\sigma _{n}$ , а также $\theta _{n}$ , вместо фиксации этих значений. ^[1]

В случае $G$ равномерно выпуклый, с $\gamma >0$ константа равномерной выпуклости, модифицированный алгоритм становится ^[1]

Algorithm Accelerated Chambolle-Pock algorithm
Input:   $F,G,\tau _{0},\sigma _{0}>0$  such that  $\tau _{0}\sigma _{0}L^{2}\leq 1,\,(x^{0},y^{0})\in {\mathcal {X}}\times {\mathcal {Y}}$  and set  ${\overline {x}}^{0}=x^{0}.$ , stopping criterion.

 $k\leftarrow 0$ 
do while stopping criterion not satisfied
     $y^{n+1}\leftarrow {\text{prox}}_{\sigma _{n}F^{*}}\left(y^{n}+\sigma _{n}K{\overline {x}}^{n}\right)$ 
     $x^{n+1}\leftarrow {\text{prox}}_{\tau _{n}G}\left(x^{n}-\tau _{n}K^{*}y^{n+1}\right)$ 
     $\theta _{n}\leftarrow {\frac {1}{\sqrt {1+2\gamma \tau _{n}}}}$ 
     $\tau _{n+1}\leftarrow \theta _{n}\tau _{n}$ 
     $\sigma _{n+1}\leftarrow {\frac {\sigma _{n}}{\theta _{n}}}$ 
     ${\overline {x}}^{n+1}\leftarrow x^{n+1}+\theta _{n}\left(x^{n+1}-x^{n}\right)$ 
     $k\leftarrow k+1$ 
end do

« ←» означает присвоение . Например, « самый большой ← элемент » означает, что значение самого большого изменяется на значение элемента .
« return » завершает алгоритм и выводит следующее значение.

Более того, сходимость алгоритма замедляется, когда $L$ , норма оператора $K$ , не поддается простой оценке или может быть очень большим. Выбор правильных предобуславливателей $T$ и $\Sigma$ , модифицируя проксимальный оператор с введением индуцированной нормы через операторы $T$ и $\Sigma$ , то сходимость предложенного предобусловленного алгоритма будет обеспечена. ^[10]

Приложение

Пример шумоподавления

Исходное тестовое изображение

Применение алгоритма Шамболь-Пока к тестовому изображению с шумом.

Типичное применение этого алгоритма — в системе шумоподавления изображений , основанной на общей вариации. ^[3] Он основан на концепции, согласно которой сигналы, содержащие чрезмерные и потенциально ошибочные детали, демонстрируют высокую общую вариацию, которая представляет собой интеграл градиента абсолютного значения изображения. ^[3] Придерживаясь этого принципа, процесс направлен на уменьшение общего отклонения сигнала, сохраняя при этом его сходство с исходным сигналом, эффективно устраняя нежелательные детали и сохраняя при этом такие важные характеристики, как края. В классической двумерной дискретной ситуации ^[11] учитывать ${\mathcal {X}}=\mathbb {R} ^{NM}$ , где элемент $u\in {\mathcal {X}}$ представляет изображение со значениями пикселей, расположенными в декартовой сетке $N\times M$ . ^[1]

Определите внутренний продукт на ${\mathcal {X}}$ как ^[1]

\langle u,v\rangle _{\mathcal {X}}=\sum _{i,j}u_{i,j}v_{i,j},\quad u,v\in {\mathcal {X}}

что вызывает $L^{2}$ норма на ${\mathcal {X}}$ , обозначенный как $\lVert \,\cdot \,\rVert _{2}$ . ^[1]

Следовательно, градиент $u$ вычисляется с использованием стандартных конечных разностей ,

\left(\nabla u\right)_{i,j}=\left({\begin{aligned}\left(\nabla u\right)_{i,j}^{1}\\\left(\nabla u\right)_{i,j}^{2}\end{aligned}}\right)

который является элементом пространства ${\mathcal {Y}}={\mathcal {X}}\times {\mathcal {X}}$ , где ^[1]

{\begin{aligned}&\left(\nabla u\right)_{i,j}^{1}=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {u_{i+1,j}-u_{i,j}}{h}}&{\text{ if }}i<M\\&0&{\text{ if }}i=M\end{aligned}}\right.,\\&\left(\nabla u\right)_{i,j}^{2}=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {u_{i,j+1}-u_{i,j}}{h}}&{\text{ if }}j<N\\&0&{\text{ if }}j=N\end{aligned}}\right.\end{aligned}}

На ${\mathcal {Y}}$ определяется $L^{1}-$ основанная норма как ^[1]

\lVert p\rVert _{1}=\sum _{i,j}{\sqrt {\left(p_{i,j}^{1}\right)^{2}+\left(p_{i,j}^{2}\right)^{2}}},\quad p\in {\mathcal {Y}}.

Тогда основная проблема модели ROF , предложенной Рудиным, Ошером и Фатеми, ^[12] дается ^[1]

h^{2}\min _{u\in {\mathcal {X}}}\lVert \nabla u\rVert _{1}+{\frac {\lambda }{2}}\lVert u-g\rVert _{2}^{2}

где $u\in {\mathcal {X}}$ неизвестное решение и $g\in {\mathcal {X}}$ данные зашумленные данные вместо этого $\lambda$ описывает компромисс между регуляризацией и подгонкой данных. ^[1]

Первично-двойственная формулировка проблемы ROF формулируется следующим образом. ^[1]

\min _{u\in {\mathcal {X}}}\max _{p\in {\mathcal {Y}}}-\langle u,{\text{div}}\,p\rangle _{\mathcal {X}}+{\frac {\lambda }{2}}\lVert u-g\rVert _{2}^{2}-\delta _{P}(p)

где индикаторная функция определяется как ^[1]

\delta _{P}(p)=\left\{{\begin{aligned}&0,&{\text{if }}p\in P\\&+\infty ,&{\text{if }}p\notin P\end{aligned}}\right.

на выпуклом множестве $P=\left\{p\in {\mathcal {Y}}\,:\,\max _{i,j}{\sqrt {\left(p_{i,j}^{1}\right)^{2}+\left(p_{i,j}^{2}\right)^{2}}}\leq 1\right\},$ который можно рассматривать как $L^{\infty }$ унитарные шары относительно заданной нормы на ${\mathcal {Y}}$ . ^[1]

Обратите внимание, что функции, включенные в указанную первично-двойственную формулировку, просты, поскольку их проксимальный оператор легко вычислить. ^[1] ${\begin{aligned}p&={\text{prox}}_{\sigma F^{*}}({\tilde {p}})&\iff p_{i,j}&={\frac {{\tilde {p}}_{i,j}}{\max\{1,|{\tilde {p}}_{i,j}|\}}}\\u&={\text{prox}}_{\tau G}({\tilde {u}})&\iff u_{i,j}&={\frac {{\tilde {u}}_{i,j}+\tau \lambda g_{i,j}}{1+\tau \lambda }}\end{aligned}}$ Проблему шумоподавления при полной вариации изображения можно также решить с помощью других алгоритмов. ^[13] такие как метод множителей переменного направления (ADMM), ^[14] прогнозируемый (суб)градиент ^[15] или быстрое итеративное определение порога сжатия. ^[16]

Выполнение

Манопт.jl ^[17] пакет реализует алгоритм в Julia
Габриэль Пейре реализует алгоритм в MATLAB , ^{[примечание 1]} Джулия, Р и Питон ^[18]
В Библиотеке дискретизации оператора (ODL) ^[19] библиотека Python для обратных задач, chambolle_pock_solver реализует метод.

См. также

Примечания

^ Эти коды были использованы для получения изображений в статье.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v ^В ^х ^и ^С ^аа Шамболь, Антонен; Пок, Томас (1 мая 2011 г.). «Алгоритм первично-двойственного первого порядка для выпуклых задач с приложениями к визуализации» . Журнал математического изображения и видения . 40 (1): 120–145. дои : 10.1007/s10851-010-0251-1 . ISSN 1573-7683 . S2CID 207175707 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Сидки, Эмиль Ю; Йоргенсен, Якоб Х; Пан, Сяочуань (21 мая 2012 г.). «Прототипирование задачи выпуклой оптимизации для реконструкции изображений в компьютерной томографии с помощью алгоритма Шамболя – Пока» . Физика в медицине и биологии . 57 (10): 3065–3091. arXiv : 1111.5632 . Бибкод : 2012PMB....57.3065S . дои : 10.1088/0031-9155/57/10/3065 . ISSN 0031-9155 . ПМК 3370658 . ПМИД 22538474 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Клык, Слава; Ли, Фанг; Цзэн, Тиеонг (13 марта 2014 г.). «Удаление дымки и шумоподавление одиночного изображения: быстрый вариационный подход» . SIAM Journal on Imaging Sciences . 7 (2): 969–996. дои : 10.1137/130919696 . ISSN 1936-4954 .
^ Jump up to: ^а ^б Аллаг, А.; Бенаммар, А.; Драй, Р.; Буткеджирт, Т. (01 июля 2019 г.). «Реконструкция томографического изображения в случае ограниченного числа рентгеновских проекций с использованием синограммной окраски» . Российский журнал неразрушающего контроля . 55 (7): 542–548. дои : 10.1134/S1061830919070027 . ISSN 1608-3385 . S2CID 203437503 .
^ Пок, Томас; Кремерс, Дэниел; Бишоф, Хорст; Шамболь, Антонин (2009). «Алгоритм минимизации функционала Мамфорда-Шаха» . 2009 г. 12-я Международная конференция IEEE по компьютерному зрению . стр. 1133–1140. дои : 10.1109/ICCV.2009.5459348 . ISBN 978-1-4244-4420-5 . S2CID 15991312 .
^ «Общий проксимальный алгоритм выпуклой оптимизации — применение к минимизации общего отклонения» . Письма об обработке сигналов IEEE . 21 (8): 985–989. 2014. Бибкод : 2014ISPL...21..985. . дои : 10.1109/ЛСП.2014.2322123 . ISSN 1070-9908 . S2CID 8976837 .
^ Jump up to: ^а ^б Экеланд, Ивар; Темам, Роджер (1999). Выпуклый анализ и вариационные задачи . Общество промышленной и прикладной математики. п. 61. дои : 10.1137/1.9781611971088 . ISBN 978-0-89871-450-0 .
^ Банерт, Себастьян; Упадхьяя, Ману; Гизельссон, Понт (2023). «Метод Шамболь-Пока слабо сходится при $\theta >1/2$ и $\tau \sigma \lVert L\rVert ^{2}<4/(1+2\theta )$ " .arXiv : 2309.03998 [ math.OC ].
^ Удзава, Х. (1958). «Итеративные методы вогнутого программирования». Ин Эрроу, К.Дж.; Гурвич, Л.; Узава, Х. (ред.). Исследования в области линейного и нелинейного программирования . Издательство Стэнфордского университета.
^ Пок, Томас; Шамболь, Антонен (6 ноября 2011 г.). «Диагональная предобусловливание для примитивно-двойственных алгоритмов первого порядка в выпуклой оптимизации» . 2011 Международная конференция по компьютерному зрению . стр. 1762–1769. дои : 10.1109/ICCV.2011.6126441 . ISBN 978-1-4577-1102-2 . S2CID 17485166 .
^ Шамболь, Антонен (1 января 2004 г.). «Алгоритм минимизации полной вариации и приложения» . Журнал математического изображения и видения . 20 (1): 89–97. дои : 10.1023/B:JMIV.0000011325.36760.1e . ISSN 1573-7683 . S2CID 207622122 .
^ Гетройер, Паскаль (2012). «Полное шумоподавление Рудина-Ошера-Фатеми с использованием разделения Брегмана» (PDF) .
^ Эссер, Эрни; Чжан, Сяоцюнь; Чан, Тони Ф. (2010). «Общая основа класса первично-двойственных алгоритмов первого порядка для выпуклой оптимизации в области обработки изображений» . SIAM Journal on Imaging Sciences . 3 (4): 1015–1046. дои : 10.1137/09076934X . ISSN 1936-4954 .
^ Лайонс, Польша; Мерсье, Б. (1979). «Алгоритмы расщепления суммы двух нелинейных операторов» . SIAM Journal по численному анализу . 16 (6): 964–979. Бибкод : 1979SJNA...16..964L . дои : 10.1137/0716071 . ISSN 0036-1429 . JSTOR 2156649 .
^ Бек, Амир; Тебулль, Марк (2009). «Быстрый итерационный алгоритм определения порога усадки для линейных обратных задач» . SIAM Journal on Imaging Sciences . 2 (1): 183–202. дои : 10.1137/080716542 . ISSN 1936-4954 . S2CID 3072879 .
^ Несторов, Ю.Е. «Метод решения задачи выпуклого программирования со скоростью сходимости $O{\bigl (}{\frac {1}{k^{2}}}{\bigr )}$ " . Dokl. Akad. Nauk SSSR . 269 (3): 543–547.
^ "Шамболь-Пок · Manopt.jl" . docs.juliahub.com . Проверено 7 июля 2023 г.
^ «Численные туры — числовой тур по науке о данных» . www.numerical-tours.com . Проверено 7 июля 2023 г.
^ «Решатель Шамболь-Пок — документация odl 0.6.1.dev0» . odl.readthedocs.io . Проверено 7 июля 2023 г.

Дальнейшее чтение

Бойд, Стивен; Ванденберге, Ливен (2004). Выпуклая оптимизация (PDF) . Издательство Кембриджского университета.
Райт, Стивен (1997). Методы первично-двойственной внутренней точки . Филадельфия, Пенсильвания: СИАМ. ISBN 978-0-89871-382-4 .
Носедаль, Хорхе; Стивен Райт (1999). Численная оптимизация . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-98793-4 .

Внешние ссылки

EE364b — домашняя страница Стэнфордского курса.

[18] Эти коды были использованы для получения изображений в статье.

[:0-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v ^В ^х ^и ^С ^аа Шамболь, Антонен; Пок, Томас (1 мая 2011 г.). «Алгоритм первично-двойственного первого порядка для выпуклых задач с приложениями к визуализации» . Журнал математического изображения и видения . 40 (1): 120–145. дои : 10.1007/s10851-010-0251-1 . ISSN 1573-7683 . S2CID 207175707 .

[:1-2] Jump up to: ^а ^б ^с Сидки, Эмиль Ю; Йоргенсен, Якоб Х; Пан, Сяочуань (21 мая 2012 г.). «Прототипирование задачи выпуклой оптимизации для реконструкции изображений в компьютерной томографии с помощью алгоритма Шамболя – Пока» . Физика в медицине и биологии . 57 (10): 3065–3091. arXiv : 1111.5632 . Бибкод : 2012PMB....57.3065S . дои : 10.1088/0031-9155/57/10/3065 . ISSN 0031-9155 . ПМК 3370658 . ПМИД 22538474 .

[:2-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Клык, Слава; Ли, Фанг; Цзэн, Тиеонг (13 марта 2014 г.). «Удаление дымки и шумоподавление одиночного изображения: быстрый вариационный подход» . SIAM Journal on Imaging Sciences . 7 (2): 969–996. дои : 10.1137/130919696 . ISSN 1936-4954 .

[:3-4] Jump up to: ^а ^б Аллаг, А.; Бенаммар, А.; Драй, Р.; Буткеджирт, Т. (01 июля 2019 г.). «Реконструкция томографического изображения в случае ограниченного числа рентгеновских проекций с использованием синограммной окраски» . Российский журнал неразрушающего контроля . 55 (7): 542–548. дои : 10.1134/S1061830919070027 . ISSN 1608-3385 . S2CID 203437503 .

[5] Пок, Томас; Кремерс, Дэниел; Бишоф, Хорст; Шамболь, Антонин (2009). «Алгоритм минимизации функционала Мамфорда-Шаха» . 2009 г. 12-я Международная конференция IEEE по компьютерному зрению . стр. 1133–1140. дои : 10.1109/ICCV.2009.5459348 . ISBN 978-1-4244-4420-5 . S2CID 15991312 .

[6] «Общий проксимальный алгоритм выпуклой оптимизации — применение к минимизации общего отклонения» . Письма об обработке сигналов IEEE . 21 (8): 985–989. 2014. Бибкод : 2014ISPL...21..985. . дои : 10.1109/ЛСП.2014.2322123 . ISSN 1070-9908 . S2CID 8976837 .

[:4-7] Jump up to: ^а ^б Экеланд, Ивар; Темам, Роджер (1999). Выпуклый анализ и вариационные задачи . Общество промышленной и прикладной математики. п. 61. дои : 10.1137/1.9781611971088 . ISBN 978-0-89871-450-0 .

[8] Банерт, Себастьян; Упадхьяя, Ману; Гизельссон, Понт (2023). «Метод Шамболь-Пока слабо сходится при $\theta >1/2$ и $\tau \sigma \lVert L\rVert ^{2}<4/(1+2\theta )$ " .arXiv : 2309.03998 [ math.OC ].

[9] Удзава, Х. (1958). «Итеративные методы вогнутого программирования». Ин Эрроу, К.Дж.; Гурвич, Л.; Узава, Х. (ред.). Исследования в области линейного и нелинейного программирования . Издательство Стэнфордского университета.

[10] Пок, Томас; Шамболь, Антонен (6 ноября 2011 г.). «Диагональная предобусловливание для примитивно-двойственных алгоритмов первого порядка в выпуклой оптимизации» . 2011 Международная конференция по компьютерному зрению . стр. 1762–1769. дои : 10.1109/ICCV.2011.6126441 . ISBN 978-1-4577-1102-2 . S2CID 17485166 .

[11] Шамболь, Антонен (1 января 2004 г.). «Алгоритм минимизации полной вариации и приложения» . Журнал математического изображения и видения . 20 (1): 89–97. дои : 10.1023/B:JMIV.0000011325.36760.1e . ISSN 1573-7683 . S2CID 207622122 .

[12] Гетройер, Паскаль (2012). «Полное шумоподавление Рудина-Ошера-Фатеми с использованием разделения Брегмана» (PDF) .

[13] Эссер, Эрни; Чжан, Сяоцюнь; Чан, Тони Ф. (2010). «Общая основа класса первично-двойственных алгоритмов первого порядка для выпуклой оптимизации в области обработки изображений» . SIAM Journal on Imaging Sciences . 3 (4): 1015–1046. дои : 10.1137/09076934X . ISSN 1936-4954 .

[14] Лайонс, Польша; Мерсье, Б. (1979). «Алгоритмы расщепления суммы двух нелинейных операторов» . SIAM Journal по численному анализу . 16 (6): 964–979. Бибкод : 1979SJNA...16..964L . дои : 10.1137/0716071 . ISSN 0036-1429 . JSTOR 2156649 .

[15] Бек, Амир; Тебулль, Марк (2009). «Быстрый итерационный алгоритм определения порога усадки для линейных обратных задач» . SIAM Journal on Imaging Sciences . 2 (1): 183–202. дои : 10.1137/080716542 . ISSN 1936-4954 . S2CID 3072879 .

[16] Несторов, Ю.Е. «Метод решения задачи выпуклого программирования со скоростью сходимости $O{\bigl (}{\frac {1}{k^{2}}}{\bigr )}$ " . Dokl. Akad. Nauk SSSR . 269 (3): 543–547.

[17] "Шамболь-Пок · Manopt.jl" . docs.juliahub.com . Проверено 7 июля 2023 г.

[19] «Численные туры — числовой тур по науке о данных» . www.numerical-tours.com . Проверено 7 июля 2023 г.

[20] «Решатель Шамболь-Пок — документация odl 0.6.1.dev0» . odl.readthedocs.io . Проверено 7 июля 2023 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[примечание 1]

[18]

[19]