Проксимальный оператор

В математической оптимизации проксимальный связанный оператор — это оператор, с правильным, нижняя полунепрерывная выпуклая функция $f$ из гильбертова пространства ${\mathcal {X}}$к $[-\infty ,+\infty ]$и определяется:

$\operatorname {prox} _{f}(v)=\arg \min _{x\in {\mathcal {X}}}\left(f(x)+{\frac {1}{2}}\|x-v\|_{\mathcal {X}}^{2}\right).$

Для любой функции в этом классе минимизатор правой части выше уникален, что делает проксимальный оператор четко определенным. Проксимальный оператор используется в методах проксимального градиента, которые часто используются в алгоритмах оптимизации, связанных с недифференцируемыми задачами оптимизации, такими как полное вариационное шумоподавление .

Характеристики

The ${\text{prox}}$ собственной полунепрерывной снизу выпуклой функции $f$ обладает несколькими полезными свойствами для оптимизации.

• Фиксированные точки ${\text{prox}}_{f}$ являются минимизаторами $f$: $\{x\in {\mathcal {X}}\ |\ {\text{prox}}_{f}x=x\}=\arg \min f$.
• Глобальная сходимость к минимизатору определяется следующим образом: Если $\arg \min f\neq \varnothing$, то для любой начальной точки $x_{0}\in {\mathcal {X}}$, рекурсия $(\forall n\in \mathbb {N} )\quad x_{n+1}={\text{prox}}_{f}x_{n}$ дает сходимость $x_{n}\to x\in \arg \min f$ как $n\to +\infty$. Эта сходимость может быть слабой, если ${\mathcal {X}}$ является бесконечномерным.
• Проксимальный оператор можно рассматривать как обобщение оператора проектирования . Действительно, в конкретном случае, когда $f$ это 0- $\infty$ индикаторная функция $\iota _{C}$ непустого замкнутого выпуклого множества $C$ у нас это есть

${\begin{aligned}\operatorname {prox} _{\iota _{C}}(x)&=\operatorname {argmin} \limits _{y}{\begin{cases}{\frac {1}{2}}\left\|x-y\right\|_{2}^{2}&{\text{if }}y\in C\\+\infty &{\text{if }}y\notin C\end{cases}}\\&=\operatorname {argmin} \limits _{y\in C}{\frac {1}{2}}\left\|x-y\right\|_{2}^{2}\end{aligned}}$

показывая, что оператор близости действительно является обобщением оператора проектирования.

• Функция является строго нерасширяющей, если $(\forall (x,y)\in {\mathcal {X}}^{2})\quad \|{\text{prox}}_{f}x-{\text{prox}}_{f}y\|^{2}\leq \langle x-y\ |\ {\text{prox}}_{f}x-{\text{prox}}_{f}y\rangle$.
• Проксимальный оператор функции связан с градиентом огибающей Моро. $M_{\lambda f}$ функции $\lambda f$ следующим тождеством: $\nabla M_{\lambda f}(x)={\frac {1}{\lambda }}(x-\mathrm {prox} _{\lambda f}(x))$.

• Оператор близости $f$ характеризуется включением $p=\operatorname {prox} _{f}(x)\Leftrightarrow x-p\in \partial f(p)$, где $\partial f$ является субдифференциалом ​ $f$, заданный

$\partial f(x)=\{u\in \mathbb {R} ^{N}\mid \forall y\in \mathbb {R} ^{N},(y-x)^{\mathrm {T} }u+f(x)\leq f(y)\}$ В частности, если $f$ дифференцируемо, то приведенное выше уравнение сводится к $p=\operatorname {prox} _{f}(x)\Leftrightarrow x-p=\nabla f(p)$.

См. также

• Метод проксимального градиента

Внешние ссылки

• Репозиторий операторов близости : набор операторов близости, реализованных в Matlab и Python .
• ProximalOperators.jl : пакет Julia , реализующий проксимальные операторы.
• ODL : библиотека Python для обратных задач , использующая проксимальные операторы.