Теорема о горном перевале

Теорема о горном перевале — это теорема существования из вариационного исчисления , первоначально написанная Антонио Амбросетти и Полом Рабиновицем . При определенных условиях на функцию теорема демонстрирует существование седловой точки . Теорема необычна тем, что существует много других теорем о существовании экстремумов , но мало о седловых точках.

Заявление

Предположения теоремы таковы:

• $I$ — функционал из гильбертова пространства H на вещественные числа ,
• $I\in C^{1}(H,\mathbb {R} )$ и $I'$ непрерывен по Липшицу на ограниченных подмножествах H ,
• $I$ удовлетворяет условию компактности Пале–Смейла ,
• $I[0]=0$,
• существуют положительные константы r и a такие, что $I[u]\geq a$ если $\Vert u\Vert =r$, и
• существует $v\in H$ с $\Vert v\Vert >r$ такой, что $I[v]\leq 0$.

Если мы определим:

$\Gamma =\{\mathbf {g} \in C([0,1];H)\,\vert \,\mathbf {g} (0)=0,\mathbf {g} (1)=v\}$

и:

$c=\inf _{\mathbf {g} \in \Gamma }\max _{0\leq t\leq 1}I[\mathbf {g} (t)],$

тогда вывод теоремы состоит в том, что c является критическим значением I .

Визуализация

Интуиция, лежащая в основе теоремы, заключена в названии «горный перевал». Считайте, что я описываю возвышение. Тогда мы знаем два слабых места в ландшафте: происхождение, потому что $I[0]=0$, и далекая точка v , где $I[v]\leq 0$. Между ними лежит горная гряда (в $\Vert u\Vert =r$), где высота высокая (выше a >0). Чтобы пройти по пути g от начала координат до v , мы должны пройти через горы, то есть подняться, а затем спуститься. Поскольку I несколько гладкий, где-то посередине должна быть критическая точка. (Думайте в духе теоремы о среднем значении .) Горный перевал лежит на пути, который проходит через горы на самой низкой высоте. Обратите внимание, что этот горный перевал почти всегда является перевалом .

Доказательство см. в разделе 8.5 Эванса.

слабая

Позволять $X$ быть банаховым пространством . Предположения теоремы таковы:

• $\Phi \in C(X,\mathbf {R} )$ и иметь производную Гато $\Phi '\colon X\to X^{*}$ который является непрерывным, когда $X$ и $X^{*}$ наделены сильной топологией и слабой* топологией соответственно.
• Существует $r>0$ такой, что можно найти определенные $\|x'\|>r$ с

$\max \,(\Phi (0),\Phi (x'))<\inf \limits _{\|x\|=r}\Phi (x)=:m(r)$.

• $\Phi$ удовлетворяет слабому условию Пале–Смейла на $\{x\in X\mid m(r)\leq \Phi (x)\}$.

В этом случае есть критическая точка. ${\overline {x}}\in X$ из $\Phi$ удовлетворяющий $m(r)\leq \Phi ({\overline {x}})$. Более того, если мы определим

$\Gamma =\{c\in C([0,1],X)\mid c\,(0)=0,\,c\,(1)=x'\}$

затем

$\Phi ({\overline {x}})=\inf _{c\,\in \,\Gamma }\max _{0\leq t\leq 1}\Phi (c\,(t)).$

Доказательство см. в разделе 5.5 Обина и Экланда.

Дальнейшее чтение

• Обен, Жан-Пьер; Экеланд, Ивар (2006). Прикладной нелинейный анализ . Дуврские книги. ISBN  0-486-45324-3 .
• Бисгард, Джеймс (2015). «Горные перевалы и перевалы» . Обзор СИАМ . 57 (2): 275–292. дои : 10.1137/140963510 .
• Эванс, Лоуренс К. (1998). Уравнения в частных производных . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-0772-2 .
• Джабри, Юсеф (2003). Теорема о горном перевале, варианты, обобщения и некоторые приложения . Энциклопедия математики и ее приложений. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-82721-3 .
• Мауин, Джин ; Виллем, Мишель (1989). «Теорема Маунтин-Пасса и периодические решения суперлинейных выпуклых автономных гамильтоновых систем» . Теория критической точки и гамильтоновы системы . Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 92–97. ISBN  0-387-96908-Х .
• МакОуэн, Роберт С. (1996). «Горные перевалы и перевалы» . Уравнения в частных производных: методы и приложения . Река Аппер-Седл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. стр. 206–208. ISBN  0-13-121880-8 .