Прямой метод в вариационном исчислении

В математике прямой метод вариационного исчисления — общий метод построения доказательства существования минимизатора данного функционала . введен Станиславом Зарембой и Дэвидом Гильбертом около 1900 года. Метод основан на методах функционального анализа и топологии . Прямые методы не только используются для доказательства существования решения, но и для вычисления решения с желаемой точностью.

Метод

Вариационное исчисление имеет дело с функционалами $J:V\to {\bar {\mathbb {R} }}$, где $V$ это некоторое функциональное пространство и ${\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}$. Основной интерес предмета — найти минимизаторы таких функционалов, т. е. функций $v\in V$ такой, что $J(v)\leq J(u)$ для всех $u\in V$.

Стандартным инструментом для получения необходимых условий, чтобы функция была минимизирующей, является уравнение Эйлера-Лагранжа . Но поиск минимизатора среди функций, удовлетворяющих им, может привести к ложным выводам, если существование минимизатора не установлено заранее.

Функционал $J$ должен быть ограничен снизу, чтобы иметь минимизатор. Это означает

$\inf\{J(u)|u\in V\}>-\infty .\,$

Этого условия недостаточно, чтобы знать, что минимизатор существует, но оно показывает существование минимизирующей последовательности , то есть последовательности $(u_{n})$ в $V$ такой, что $J(u_{n})\to \inf\{J(u)|u\in V\}.$

Прямой метод можно разбить на следующие этапы.

1. Возьмите минимизирующую последовательность $(u_{n})$ для $J$.
2. Покажи это $(u_{n})$ допускает некоторую подпоследовательность $(u_{n_{k}})$, который сходится к $u_{0}\in V$ относительно топологии $\tau$ на $V$.
3. Покажи это $J$ является секвенциально полунепрерывным снизу относительно топологии $\tau$.

Чтобы убедиться в том, что это показывает существование минимизатора, рассмотрим следующую характеристику последовательно полунепрерывных снизу функций.

Функция $J$ является последовательно-полунепрерывным снизу, если

$\liminf _{n\to \infty }J(u_{n})\geq J(u_{0})$ для любой сходящейся последовательности $u_{n}\to u_{0}$ в $V$.

Выводы следуют из

$\inf\{J(u)|u\in V\}=\lim _{n\to \infty }J(u_{n})=\lim _{k\to \infty }J(u_{n_{k}})\geq J(u_{0})\geq \inf\{J(u)|u\in V\}$,

другими словами

$J(u_{0})=\inf\{J(u)|u\in V\}$.

Подробности

Банаховы пространства

Прямой метод часто может быть успешно применен, когда пространство $V$ является подмножеством сепарабельного рефлексивного банахова пространства $W$. В этом случае секвенциальная теорема Банаха–Алаоглу означает, что любая ограниченная последовательность $(u_{n})$ в $V$ имеет подпоследовательность, сходящуюся к некоторой $u_{0}$ в $W$ относительно слабой топологии . Если $V$ последовательно закрывается в $W$, так что $u_{0}$ находится в $V$, прямой метод может быть применен к функционалу $J:V\to {\bar {\mathbb {R} }}$ показывая

1. $J$ ограничено снизу,
2. любая минимизирующая последовательность для $J$ ограничен, и
3. $J$ слабо секвенциально полунепрерывна снизу, т. е. для любой слабо сходящейся последовательности $u_{n}\to u_{0}$ он утверждает, что $\liminf _{n\to \infty }J(u_{n})\geq J(u_{0})$.

Вторая часть обычно завершается показом того, что $J$ допускает некоторые условия роста. Примером является

$J(x)\geq \alpha \lVert x\rVert ^{q}-\beta$ для некоторых $\alpha >0$, $q\geq 1$ и $\beta \geq 0$.

Функционал, обладающий этим свойством, иногда называют принудительным. Доказательство последовательной полунепрерывности снизу обычно является самой сложной задачей при применении прямого метода. Ниже приведены некоторые теоремы для общего класса функционалов.

Sobolev spaces

Типичным функционалом вариационного исчисления является интеграл вида

$J(u)=\int _{\Omega }F(x,u(x),\nabla u(x))dx$

где $\Omega$ является подмножеством $\mathbb {R} ^{n}$ и $F$ является действительной функцией на $\Omega \times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}$. Аргумент $J$ является дифференцируемой функцией $u:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}$, и его якобиан $\nabla u(x)$ отождествляется с $mn$-вектор.

При выводе уравнения Эйлера – Лагранжа обычно принято предполагать, что $\Omega$ имеет $C^{2}$ границу и пусть область определения для $J$ быть $C^{2}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})$. Это пространство является банаховым, если оно наделено супремум-нормой , но оно не рефлексивно. При применении прямого метода функционал обычно определяется в пространстве Соболева $W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})$ с $p>1$, которое является рефлексивным банаховым пространством. Производные $u$ в формуле для $J$ тогда следует рассматривать как слабые производные .

Еще одним распространенным функциональным пространством является $W_{g}^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})$ которое является аффинным подпространством $W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})$ функций, след которых является некоторой фиксированной функцией $g$ в образе оператора трассировки. Это ограничение позволяет найти минимизаторы функционала $J$ которые удовлетворяют некоторым желаемым граничным условиям. Это похоже на решение уравнения Эйлера–Лагранжа с граничными условиями Дирихле. Дополнительно есть настройки, в которых есть минимайзеры. $W_{g}^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})$ но не в $W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})$.Идею решения задач минимизации при ограничении значений на границе можно дополнительно обобщить, рассматривая функциональные пространства, где след фиксирован только на части границы и может быть произвольным на остальной части.

В следующем разделе представлены теоремы о слабой секвенциальной полунепрерывности снизу функционалов указанного типа.

полунепрерывность

Поскольку многие функционалы в вариационном исчислении имеют вид

$J(u)=\int _{\Omega }F(x,u(x),\nabla u(x))dx$,

где $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ открыт, теоремы, характеризующие функции $F$ для чего $J$ является слабо секвенциально-полунепрерывным снизу по $W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})$ с $p\geq 1$ имеет большое значение.

В общем есть следующее:

Предположим, что $F$ — это функция, которая имеет следующие свойства:

1. Функция $F$ является функцией Каратеодори .
2. Существуют $a\in L^{q}(\Omega ,\mathbb {R} ^{mn})$ с сопряжением Гельдера $q={\tfrac {p}{p-1}}$ и $b\in L^{1}(\Omega )$ такая, что почти для любого $x\in \Omega$ и каждый $(y,A)\in \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}$: $F(x,y,A)\geq \langle a(x),A\rangle +b(x)$. Здесь, $\langle a(x),A\rangle$ обозначает внутренний продукт Фробениуса $a(x)$ и $A$ в $\mathbb {R} ^{mn}$).

Если функция $A\mapsto F(x,y,A)$ является выпуклым почти для каждого $x\in \Omega$ и каждый $y\in \mathbb {R} ^{m}$,

затем $J$ является секвенциально слабо полунепрерывным снизу.

Когда $n=1$ или $m=1$ имеет место следующая обратная теорема

Предположим, что $F$ является непрерывным и удовлетворяет

$|F(x,y,A)|\leq a(x,|y|,|A|)$

для каждого $(x,y,A)$и фиксированная функция $a(x,|y|,|A|)$ увеличивается в $|y|$ и $|A|$и локально интегрируемый в $x$. Если $J$ секвенциально слабо полунепрерывен снизу, то для любого заданного $(x,y)\in \Omega \times \mathbb {R} ^{m}$ функция $A\mapsto F(x,y,A)$ является выпуклым.

В заключение, когда $m=1$ или $n=1$, функционал $J$, предполагая разумный рост и ограниченность на $F$, является слабо секвенциально полунепрерывной снизу тогда и только тогда, когда функция $A\mapsto F(x,y,A)$ является выпуклым.

Однако есть много интересных случаев, когда нельзя предполагать, что $F$ является выпуклым. Следующая теорема доказывает последовательную полунепрерывность снизу, используя более слабое понятие выпуклости:

Предположим, что $F:\Omega \times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}\to [0,\infty )$ — это функция, которая имеет следующие свойства:

1. Функция $F$ является функцией Каратеодори .
2. Функция $F$ имеет $p$-рост для некоторых $p>1$: Существует константа $C$ такой, что для каждого $y\in \mathbb {R} ^{m}$ и почти для каждого $x\in \Omega$ $|F(x,y,A)|\leq C(1+|y|^{p}+|A|^{p})$.
3. Для каждого $y\in \mathbb {R} ^{m}$ и почти для каждого $x\in \Omega$, функция $A\mapsto F(x,y,A)$ является квазивыпуклым : существует куб $D\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ такой, что для каждого $A\in \mathbb {R} ^{mn},\varphi \in W_{0}^{1,\infty }(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})$ он содержит:

$$F(x,y,A)\leq |D|^{-1}\int _{D}F(x,y,A+\nabla \varphi (z))dz$$

где $|D|$ это объем ​ $D$.

Затем $J$ является секвенциально слабо полунепрерывным снизу в $W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})$.

Обратная подобная теорема в этом случае имеет следующий вид:

Предположим, что $F$ является непрерывным и удовлетворяет

$|F(x,y,A)|\leq a(x,|y|,|A|)$

для каждого $(x,y,A)$и фиксированная функция $a(x,|y|,|A|)$ увеличивается в $|y|$ и $|A|$и локально интегрируемый в $x$. Если $J$ секвенциально слабо полунепрерывен снизу, то для любого заданного $(x,y)\in \Omega \times \mathbb {R} ^{m}$ функция $A\mapsto F(x,y,A)$ является квазивыпуклым . Утверждение верно, даже если оба $m,n$ больше, чем $1$ и совпадает с предыдущим утверждением, когда $m=1$ или $n=1$, поскольку тогда квазивыпуклость эквивалентна выпуклости.

Ссылки и дополнительная литература

• Дакоронья, Бернар (1989). Прямые методы вариационного исчисления . Спрингер-Верлаг. ISBN  0-387-50491-5 .
• Фонсека, Ирен ; Джованни Леони (2007). Современные методы вариационного исчисления: $L^{p}$ Пространства . Спрингер. ISBN  978-0-387-35784-3 .
• Морри, CB-младший: Множественные интегралы в вариационном исчислении . Springer, 1966 (переиздано в 2008 г.), Берлин. ISBN   978-3-540-69915-6 .
• Йиндржих Нечас: Прямые методы в теории эллиптических уравнений . (Перевод с французского оригинала А.Куфнера и Г.Тронеля 1967 г.), Springer, 2012, ISBN   978-3-642-10455-8 .
• Т. Рубичек (2000). «Прямой метод решения параболических задач». Адв. Математика. наук. Приложение . Том. 10. С. 57–65. МР   1769181 .
• Ачерби Эмилио, Фуско Никола. «Задачи полунепрерывности в вариационном исчислении». Архив рациональной механики и анализа 86.2 (1984): 125-145.