Бесконечномерная оптимизация

В некоторых задачах оптимизации неизвестное оптимальное решение может быть не числом или вектором, а непрерывной величиной, например функцией или формой тела. Такая проблема является задачей бесконечномерной оптимизации , поскольку непрерывная величина не может быть определена конечным числом определенных степеней свободы .

Примеры

• Найдите кратчайший путь между двумя точками плоскости. Переменными в этой задаче являются кривые, соединяющие две точки. Оптимальным решением, конечно, является отрезок, соединяющий точки, если метрика, определенная на плоскости, является евклидовой метрикой.
• Даны два города в стране со множеством холмов и долин. Найдите кратчайшую дорогу, ведущую из одного города в другой. Эта проблема является обобщением вышеизложенного, и решение не столь очевидно.
• Даны два круга, которые будут служить верхом и дном для чашки заданной высоты. Найдите форму боковой стенки чашки так, чтобы боковая стенка имела минимальную площадь . Интуиция подсказывает, что чашка должна иметь коническую или цилиндрическую форму, что неверно. Фактическая минимальная поверхность — это катеноид .
• Найдите форму моста, способного выдержать заданную интенсивность движения с использованием наименьшего количества материала.
• Найдите форму самолета, которая отражает большую часть радиоволн от радара противника.

Задачи бесконечномерной оптимизации могут быть более сложными, чем конечномерные. Обычно для решения таких задач необходимо использовать методы уравнений в частных производных .

Несколько дисциплин, которые изучают проблемы бесконечномерной оптимизации, - это вариационное исчисление , оптимальное управление и оптимизация формы .

См. также

• Полубесконечное программирование

Ссылки

• Дэвид Люенбергер (1997). Оптимизация методами векторного пространства. Джон Уайли и сыновья. ISBN   0-471-18117-X .
• Эдвард Дж. Андерсон и Питер Нэш, Линейное программирование в бесконечномерных пространствах , Wiley, 1987.
• М. А. Гоберна и М. А. Лопес, Линейная полубесконечная оптимизация , Wiley, 1998.
• Кассель, Кевин В.: Вариационные методы с применением в науке и технике, Cambridge University Press, 2013.