Универсальная C*-алгебра

В математике универсальная C*-алгебра — это C*-алгебра, описываемая в терминах генераторов и отношений. В отличие от колец или алгебр , где можно рассматривать факторы по свободным кольцам для построения универсальных объектов, С*-алгебры должны быть реализуемы как алгебры ограниченных операторов в гильбертовом пространстве посредством конструкции Гельфанда-Наймарка-Сигала , и соотношения должны задавать равномерная граница нормы каждого образующего. Это означает, что в зависимости от образующих и соотношений универсальная C*-алгебра может не существовать. В частности, свободных C*-алгебр не существует.

Отношения C*-алгебры

Существует несколько проблем с определением соотношений для C*-алгебр. Во-первых, как уже упоминалось ранее, из-за отсутствия свободных C*-алгебр не каждый набор отношений определяет C*-алгебру. Другая проблема заключается в том, что часто хочется включить в качестве отношений отношения порядка, формулы, включающие непрерывное функциональное исчисление , и спектральные данные. По этой причине мы используем относительно окольный способ определения отношений C*-алгебры. Основная мотивация следующих определений заключается в том, что мы будем определять отношения как категорию их представлений.

Для данного множества X нулевое C*-отношение на X является категорией ${\mathcal {F}}_{X}$ с объектами, состоящими из пар ( j , A ), где A — C*-алгебра, а j — функция из X в A , и с морфизмами из ( j , A ) в ( k , B ), состоящими из *-гомоморфизмов φ из От A до B, удовлетворяющее φ ∘ j знак равно k . C *-отношение на X является полной подкатегорией ${\mathcal {F}}_{X}$ удовлетворительно:

уникальная функция от X до {0} является объектом;
учитывая инъективный *-гомоморфизм φ из A в B и функцию f из X в A , если φ ∘ f — объект, то f — объект;
учитывая *-гомоморфизм φ из A в B и функцию f из X в A , если f — объект, то φ ∘ f — объект;
если f _i — объект для i = 1,2,...,n, то $\prod _{i=1}^{n}f_{i}:X\to \prod _{i=1}^{n}A_{i}$ также является объектом. Более того, если f _i является объектом для i в непустом наборе индексов, я подразумеваю произведение $\prod _{i\in I}f_{i}:X\to \prod A_{i}$ также является объектом, то C*-отношение компактно .

Учитывая C*-отношение R на множестве X . то функция i из X в С*-алгебру U называется универсальным представлением для R, если

для данной C*-алгебры A и *-гомоморфизма φ из U в A φ ∘ ι является объектом R ;
для данной C*-алгебры A и объекта ( f , A ) в R существует единственный *-гомоморфизм φ из U в A такой, что f = φ ∘ ι. Заметим, что ι и U единственны с точностью до изоморфизма и U называется универсальной C*-алгеброй для R .

AC*-отношение R имеет универсальное представление тогда и только тогда, когда R компактно.

Учитывая *-полином p на множестве X , мы можем определить полную подкатегорию ${\mathcal {F}}_{X}$ с объектами ( j , A ) такими, что p ∘ j = 0. Для удобства мы можем назвать p отношением и восстановить классическую концепцию отношений. К сожалению, не каждый *-полином определяет компактное C*-отношение. ^[1]

Альтернативный подход

Альтернативно можно использовать более конкретную характеристику универсальных С*-алгебр, более напоминающую конструкцию абстрактной алгебры. К сожалению, это ограничивает возможные типы отношений. Для данного множества G отношение состоящее на G — это множество R, из пар ( p , η), где p — *-полином от X , а η — неотрицательное действительное число. Представление что ( G , R ) в гильбертовом пространстве H — это функция ρ из X в алгебру ограниченных операторов на H такая, $\lVert p\circ \rho (X)\rVert \leq \eta$ для всех ( p , η) R. в Пара ( G , R ) называется допустимой, если представление существует и прямая сумма представлений также является представлением. Затем

\lVert z\rVert _{u}=\sup\{\lVert \rho (z)\rVert \colon \rho {\text{ is a representation of }}(G,R)\}

конечна и определяет полунорму удовлетворяющую условию С*-нормы свободной алгебры на X. , Пополнение факторизации свободной алгебры по идеалу $\{z\colon \lVert z\rVert _{u}=0\}$ называется универсальной C*-алгеброй ( G , R ). ^[2]

Примеры

Некоммутативный тор можно определить как универсальную C*-алгебру, порожденную двумя унитариями с коммутационным соотношением.
Алгебры Кунца , C*-алгебры-графики и C*-алгебры с k-графами являются универсальными C*-алгебрами, порожденными частичными изометриями .
Универсальная С*-алгебра, порожденная унитарным элементом и, имеет представление $\langle u\mid u^{*}u=uu^{*}=1\rangle$ . Согласно непрерывному функциональному исчислению эта C*-алгебра является алгеброй непрерывных функций на единичной окружности в комплексной плоскости. Любая С*-алгебра, порожденная унитарным элементом, изоморфна фактору этой универсальной С*-алгебры. ^[2]

Ссылки

^ Лоринг, Терри А. (1 сентября 2010 г.). «С*-алгебраические отношения» . Математика Скандинавия . 107 (1): 43–72. doi : 10.7146/math.scand.a-15142 . ISSN 1903-1807 . S2CID 115167440 . Проверено 27 марта 2017 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Блэкадар, Брюс (1 декабря 1985 г.). «Теория форм для $C^*$-алгебр» . Математика Скандинавия . 56 : 249–275. дои : 10.7146/math.scand.a-12100 . ISSN 1903-1807 . Проверено 27 марта 2017 г.

Лоринг, Т. (1997), Повышение решений возмущающих задач в C*-алгебрах , Монографии Института Филдса , том. 8, Американское математическое общество , ISBN. 0-8218-0602-5

[Loring10-1] Лоринг, Терри А. (1 сентября 2010 г.). «С*-алгебраические отношения» . Математика Скандинавия . 107 (1): 43–72. doi : 10.7146/math.scand.a-15142 . ISSN 1903-1807 . S2CID 115167440 . Проверено 27 марта 2017 г.

[Blackadar85-2] Перейти обратно: ^а ^б Блэкадар, Брюс (1 декабря 1985 г.). «Теория форм для $C^*$-алгебр» . Математика Скандинавия . 56 : 249–275. дои : 10.7146/math.scand.a-12100 . ISSN 1903-1807 . Проверено 27 марта 2017 г.

[1]

[2]