Нечеткая математика
 | Эта статья может быть слишком технической для понимания большинства читателей . ( сентябрь 2015 г. ) |
Нечеткая математика — это раздел математики, включающий теорию нечетких множеств и нечеткую логику , которая занимается частичным включением элементов в набор спектра, в отличие от простого двоичного включения «да» или «нет» (0 или 1). Оно началось в 1965 году после публикации Лотфи Аскера Заде основополагающей работы «Нечеткие множества» . [1] Лингвистика является примером области, в которой используется теория нечетких множеств.
Определение [ править ]
Нечеткое подмножество A множества X L это функция A : X → L , где — интервал — [0, 1]. Эту функцию также называют функцией принадлежности. Функция принадлежности — это обобщение индикаторной функции (также называемой характеристической функцией ) подмножества, определенного для L = {0, 1}. В более общем смысле можно использовать любую полную решетку L в определении нечеткого A. подмножества [2]
Фаззификация [ править ]
Эволюцию фаззификации математических понятий можно разбить на три этапа: [3]
- прямая фаззификация в шестидесятые и семидесятые годы,
- взрыв возможных вариантов выбора в процессе обобщения в восьмидесятые годы,
- стандартизация, аксиоматизация и L -фаззификация в девяностые годы.
Обычно фаззификация математических понятий основана на обобщении этих понятий от характеристических функций к функциям принадлежности. Пусть A и B — два нечетких подмножества X . Пересечение x A ∩ B и объединение A ∪ B определяются следующим образом: ( A ∩ B )( x ) = min( A ( x ), B ( ) ), ( A ∪ B )( x ) = max( A ( x ), B ( x для всех x в X. ) ) Вместо min и max можно использовать t-норму и t-конорм соответственно; [4] например, min( a , b ) можно заменить умножением ab . Прямая фаззификация обычно основана на операциях min и max , поскольку в этом случае на нечеткий случай можно распространить больше свойств традиционной математики.
Важным принципом обобщения, используемым при фаззификации алгебраических операций, является свойство замыкания. Пусть * — операция над X. бинарная Свойство замыкания нечеткого подмножества A в X что для всех x , y в X заключается в том , A ( x * y ) ≥ min( A ( x ), A ( y )). Пусть ( G , *) — группа , а A — подмножество в G. нечеткое Тогда A — нечеткая подгруппа группы G , если для всех x , y в G , A ( x * y −1 ) ≥ min( А ( x ), A ( y −1 )).
Подобный принцип обобщения используется, например, для фаззификации свойства транзитивности . Пусть R — нечеткое отношение на X , т. е. — нечеткое подмножество X × X. R Тогда R если для всех x , y , z в X является (нечетко)транзитивным , R ( x , z ) ≥ min( R ( x , y ), R ( y , z )).
Нечеткие аналоги [ править ]
Нечеткие подгруппоиды и нечеткие подгруппы были введены в 1971 году А. Розенфельдом. [5] [6] [7]
В нечеткую математику были переведены аналоги других математических предметов, таких как нечеткая теория поля и нечеткая теория Галуа. [8] нечеткая топология, [9] [10] нечеткая геометрия, [11] [12] [13] [14] нечеткие порядки, [15] и нечеткие графики. [16] [17] [18]
См. также [ править ]
- Теория нечеткой меры
- Нечеткая подалгебра
- Моноидальная t-нормальная логика
- Теория возможностей
- Т-норма
Ссылки [ править ]
- ^ Заде, Лос-Анджелес (1965) «Нечеткие множества», Information and Control , 8, 338–353.
- ^ Гоген, Дж. (1967) «L-нечеткие множества», J. Math. Анальный. Прил. , 18, 145-174.
- ^ Керре, Э.Э., Мордесон, Дж.Н. (2005) «Исторический обзор нечеткой математики», Новая математика и естественные вычисления , 1, 1-26.
- ^ Клемент, Э.П., Месиар, Р., Пап, Э. (2000) Треугольные нормы . Дордрехт, Клювер.
- ^ Розенфельд, А. (1971) «Нечеткие группы», J. Math. Анальный. Прил. , 35, 512-517.
- ^ Мордон, Дж. Н., Малик, Д. С., Куроли, Н. (2003) Нечеткие полугруппы . Исследования нечеткости и мягких вычислений, том. 131, Шпрингер Верлаг
- ^ Мордесон, Дж. Н., Бутани, К. Р., Розенфельд, А. (2005) Теория нечетких групп . Исследования нечеткости и мягких вычислений, том. 182. Шпрингер-Верлаг.
- ^ Мордесон, Дж. Н., Малик, Д. С. (1998) Нечеткая коммутативная алгебра . Всемирная научная.
- ^ Чанг, CL (1968) «Нечеткие топологические пространства», J. Math. Анальный. Прил. , 24, 182—190.
- ^ Лю, Ю.-М. , Луо, М.-К. (1997) Нечеткая топология . Достижения в нечетких системах - приложения и теория, том. 9, World Scientific, Сингапур.
- ^ Постон, Тим, «Нечеткая геометрия».
- ^ Бакли, Дж. Дж., Эслами, Э. (1997) «Геометрия нечеткой плоскости I: точки и линии». Нечеткие множества и системы , 86, 179–187.
- ^ Гош, Д., Чакраборти, Д. (2012) «Аналитическая геометрия нечеткой плоскости I». Нечеткие множества и системы , 209, 66–83.
- ^ Чакраборти, Д. и Гош, Д. (2014) «Аналитическая геометрия нечеткой плоскости II». Нечеткие множества и системы , 243, 84–109.
- ^ Заде Л.А. (1971) «Отношения подобия и нечеткие упорядочения». Информ. наук. , 3, 177–200.
- ^ Кауфманн, А. (1973). Введение в теорию подмножеств потоков . Париж. Массон.
- ^ А. Розенфельд, А. (1975) «Нечеткие графики». В: Заде Л.А., Фу К.С., Танака К., Шимура М. (ред.), Нечеткие множества и их приложения к процессам познания и принятия решений , Academic Press, Нью-Йорк, ISBN 978-0-12-775260-0 , стр. 77–95.
- ^ Йе, RT, Bang, SY (1975) «Нечеткие графики, нечеткие отношения и их приложения к кластерному анализу». В: Заде Л.А., Фу К.С., Танака К., Шимура М. (ред.), Нечеткие множества и их приложения к процессам познания и принятия решений , Academic Press, Нью-Йорк, ISBN 978-0-12-775260-0 , стр. 125–149.
Внешние ссылки [ править ]
- Заде, Лос-Анджелес Нечеткая логика - статья в Scholarpedia
- Хаек, П. Нечеткая логика - статья в Стэнфордской энциклопедии философии
- Навара, М. Треугольные нормы и конормы - статья в Scholarpedia
- Дюбуа, Д., Прад Х. Теория возможностей - статья в Scholarpedia
- Центр математических исследований неопределенности в области нечеткой математики. Архивировано 29 июня 2009 г. на Wayback Machine - веб-сайт, размещенный в Университете Крейтона.
- Сейзинг, Р. [1] Книга по истории математической теории нечетких множеств: фаззификация систем. Генезис теории нечетких множеств и ее первоначальные приложения - развитие до 1970-х годов (Исследования нечеткости и мягких вычислений, том 216), Берлин, Нью-Йорк, [и др.]: Springer 2007.