Нечеткая математика

Чтобы узнать о других значениях, см. Нечеткая математика (значения) .

Нечеткая математика — это раздел математики , включающий теорию нечетких множеств и нечеткую логику , которая занимается частичным включением элементов в набор спектра, в отличие от простого двоичного включения «да» или «нет» (0 или 1). Оно началось в 1965 году после публикации Лотфи Аскера Заде « основополагающей работы Нечеткие множества» . Лингвистика является примером области, в которой используется теория нечетких множеств.

Определение

Нечеткое подмножество A множества X [0 , — это функция A : X → L , где L — интервал 1]. Эту функцию также называют функцией принадлежности. Функция принадлежности — это обобщение индикаторной функции (также называемой характеристической функцией ) подмножества, определенного для L = {0, 1}. можно использовать любую полную решетку L в определении нечеткого подмножества A. В более общем смысле

Фаззификация

Эволюцию фаззификации математических понятий можно разбить на три этапа:

1. прямая фаззификация в шестидесятые и семидесятые годы,
2. взрыв возможных вариантов выбора в процессе обобщения в восьмидесятые годы,
3. стандартизация, аксиоматизация и L -фаззификация в девяностые годы.

Обычно фаззификация математических понятий основана на обобщении этих понятий от характеристических функций к функциям принадлежности. Пусть A и B — два нечетких подмножества X . Пересечение объединение A ∩ B и x A ∪ B определяются следующим образом: ( A ∩ B )( x ) = min( A ( x ), B ( x )), ( A ∪ B )( ) = max( A ( x ), B ( x )) для x в X. всех Вместо min и max можно использовать t-норму и t-конорм соответственно; например, min( a , b ) можно заменить умножением ab . Прямая фаззификация обычно основана на операциях min и max , поскольку в этом случае на нечеткий случай можно распространить больше свойств традиционной математики.

Важным принципом обобщения, используемым при фаззификации алгебраических операций, является свойство замыкания. Пусть * — операция над X. бинарная Свойство замыкания нечеткого подмножества A в X заключается в том, что для всех , y в X A x ( x * y ) ≥ min( A ( x ), A ( y )). Пусть ( G , *) — группа , а A нечеткое подмножество G. — Тогда A — нечеткая подгруппа группы G , если для всех x , y в G , A ( x * y ⁻¹ ) ≥ min( А ( x ), A ( y ⁻¹ )).

Подобный принцип обобщения используется, например, для фаззификации свойства транзитивности . Пусть R — нечеткое отношение на X , т. е. — нечеткое подмножество X × X. R Тогда R является (нечетко)транзитивным, если для всех , y , z в X R x ( x , z ) ≥ min( R ( x , y ), R ( y , z )).

Нечеткие аналоги

Нечеткие подгруппоиды и нечеткие подгруппы были введены в 1971 году А. Розенфельдом.

В нечеткую математику были переведены аналоги других математических предметов, таких как нечеткая теория поля и нечеткая теория Галуа. нечеткая топология, нечеткая геометрия, нечеткие порядки, и нечеткие графики.

См. также

• Теория нечеткой меры
• Нечеткая подалгебра
• Моноидальная t-нормальная логика
• Теория возможностей
• Т-норма

Внешние ссылки

• Заде, Лос-Анджелес Нечеткая логика - статья в Scholarpedia
• Хаек, П. Нечеткая логика - статья в Стэнфордской энциклопедии философии
• Навара, М. Треугольные нормы и конормы - статья в Scholarpedia
• Дюбуа, Д., Прад Х. Теория возможностей - статья в Scholarpedia
• Центр математических неопределенности в области исследований нечеткой математики. Архивировано 29 июня 2009 г. на Wayback Machine - веб-сайт, размещенный в Университете Крейтона.
• Сейзинг, Р. [1] Книга по истории математической теории нечетких множеств: фаззификация систем. Генезис теории нечетких множеств и ее первоначальные приложения - разработки до 1970-х годов (Исследования нечеткости и мягких вычислений, том 216), Берлин, Нью-Йорк, [и др.]: Springer 2007.