Jump to content

Моноидальная t-нормальная логика

В математической логике , моноидальная логика основанная на t-норме (или сокращенно MTL ), логика непрерывных слева t-норм , является одной из нечетких логик t-нормы . Она принадлежит к более широкому классу субструктурных логик или логик резидуальных решеток ; [1] Хёле он расширяет логику коммутативных ограниченных целочисленных резидуированных решеток (известную как моноидальная логика Оно , FL ew или интуиционистская логика без сжатия) с помощью аксиомы прелинейности.

Мотивация

[ редактировать ]

В нечеткой логике вместо того, чтобы рассматривать утверждения как истинные или ложные, мы связываем каждое утверждение с числовой достоверностью этого утверждения. По соглашению доверительные интервалы варьируются в пределах единичного интервала. , где максимальная достоверность соответствует классическому понятию истинной и минимальной достоверности соответствует классическому понятию ложного.

Т-нормы — это двоичные функции на действительном единичном интервале [0, 1], которые в нечеткой логике часто используются для представления соединительной связки ; если это уверенность, которую мы приписываем утверждениям и соответственно, тогда используется t-норма рассчитать уверенность приписано составному высказыванию ' и '. Т-норма должен удовлетворять свойствам

коммутативность ,
ассоциативность ,
монотонность — если и затем ,
и имеющий 1 в качестве идентификационного элемента .

Примечательно, что в этом списке отсутствует свойство идемпотентности. ; самое близкое, что можно получить, это то, что . Быть менее уверенным в себе может показаться странным. и ', чем просто , но обычно мы хотим, чтобы уверенность в комбинированном ' и ' быть меньше, чем уверенность в и уверенность в , а затем порядок по монотонности требует . Другими словами, t-норма может учитывать только доверительные отношения как числа, а не причины, которые могут лежать в основе приписывания этих доверительных отношений; таким образом, он не может лечить ' и 'в отличие от' и , где мы одинаково уверены в обоих».

Потому что символ поскольку его использование в теории решеток очень тесно связано со свойством идемпотентности, может быть полезно переключиться на другой символ для соединения, который не обязательно является идемпотентным. В традиции нечеткой логики иногда используют для этого «сильного» союза, но эта статья следует традиции субструктурной логики использования для сильного союза; таким образом это уверенность, которую мы приписываем утверждению (все еще читаю ' и ', возможно, с «сильным» или «мультипликативным» в качестве уточнения «и»).

Формализовав союз , хочется продолжить с другими связками. Один из подходов к этому — представить отрицание как карту, меняющую порядок. , затем определяя оставшиеся связки, используя законы Де Моргана , материальную импликацию и тому подобное. Проблема при этом заключается в том, что результирующая логика может иметь нежелательные свойства: она может быть слишком близка к классической логике или, если не наоборот, не поддерживать ожидаемые правила вывода . Альтернативой, которая делает последствия различных выборов более предсказуемыми, является продолжение импликации. в качестве второй связки: в целом это наиболее распространенная связка в аксиоматизациях логики, и она имеет более тесную связь с дедуктивными аспектами логики, чем большинство других связок. Доверительный аналог импликационной связки фактически может быть определена непосредственно как остаток t-нормы.

Логическая связь между конъюнкцией и импликацией обеспечивается таким фундаментальным явлением, как правило вывода modus ponens. : от и следует . В случае нечеткой логики это более строго записывается как , потому что это ясно показывает, что наша уверенность в предпосылках здесь заключается в том, что в , а не те, что в и отдельно. Итак, если и наша уверенность в и соответственно, тогда это искомая уверенность в , и это совокупная уверенность в . Мы требуем, чтобы

поскольку наша уверенность для не должно быть меньше нашего доверия в заявлении откуда логически следует. Это ограничивает искомую уверенность , и один подход для поворота в бинарную операцию, например было бы сделать его как можно большим, соблюдая при этом эту границу:

.

принимая дает , поэтому верхняя грань всегда принадлежит непустому ограниченному множеству и, следовательно, корректно определена. Для общей t-нормы остается возможность, что имеет скачок при , в этом случае может выйти строго больше, чем Несмотря на то определяется как наименьшая верхняя граница это удовлетворяет ; Чтобы предотвратить это и обеспечить ожидаемый результат строительных работ, мы требуем, чтобы t-норма является непрерывным слева . Таким образом, остаток непрерывной слева t-нормы можно охарактеризовать как самую слабую функцию, которая делает нечеткий modus ponens действительным, что делает его подходящей функцией истинности для применения в нечеткой логике.

Более алгебраически мы говорим, что операция является остатком t-нормы если для всех , , и это удовлетворяет

тогда и только тогда, когда .

Эта эквивалентность числовых сравнений отражает эквивалентность следствий.

тогда и только тогда, когда

существует, потому что любое доказательство из помещения можно превратить в доказательство из помещения делая дополнительный шаг введения импликации , и наоборот, любое доказательство из помещения можно превратить в доказательство из помещения выполнив дополнительный шаг устранения последствий . Непрерывность слева t-нормы является необходимым и достаточным условием для сохранения этой связи между соединением t-нормы и ее остаточной импликацией.

Функции истинности дальнейших пропозициональных связок могут быть определены с помощью t-нормы и ее остатка, например, остаточного отрицания. Таким образом, непрерывная слева t-норма, ее остаток и функции истинности дополнительных пропозициональных связок (см. раздел «Стандартная семантика» ниже) определяют значения истинности сложных пропозициональных формул в [0, 1]. Формулы, результат которых всегда равен 1, тогда называются тавтологиями относительно данной непрерывной слева t-нормы. или тавтологии. Набор всего тавтологии называется логикой t-нормы поскольку эти формулы представляют собой законы нечеткой логики (определяемые t-нормой), которые выполняются (до степени 1) независимо от степеней истинности атомарных формул . Некоторые формулы являются тавтологиями относительно всех непрерывных слева t-норм: они представляют собой общие законы пропозициональной нечеткой логики, которые не зависят от выбора конкретной непрерывных слева t-норм. Эти формулы образуют логику MTL, которую, таким образом, можно охарактеризовать как логику непрерывных слева t-норм. [2]

Синтаксис

[ редактировать ]

Язык пропозициональной логики MTL состоит из счетного числа пропозициональных переменных и следующих примитивных логических связок :

  • Импликация ( двоичный )
  • Сильное соединение (двоичный). Знак & является более традиционным обозначением сильной связи в литературе по нечеткой логике, тогда как обозначение следует традиции субструктурной логики.
  • Слабое соединение (двоичный), также называемый решеточной конъюнкцией (поскольку в алгебраической семантике он всегда реализуется решеточной операцией встречи ). В отличие от BL и более сильных нечетких логик, слабая конъюнкция не поддается определению в MTL и должна быть включена в число примитивных связок.
  • Нижний ( нулевой пропозициональная константа ; или являются общими альтернативными токенами, а ноль - общим альтернативным именем для пропозициональной константы (поскольку константы дно и ноль субструктурной логики совпадают в MTL).

Ниже приведены наиболее распространенные определяемые логические связки:

  • Отрицание ( унарный ), определяемый как
  • Эквивалентность (двоичный), определяемый как
В MTL определение эквивалентно
  • (Слабая) дизъюнкция (двоичный), также называемый решеточной дизъюнкцией (поскольку он всегда реализуется решеточной операцией соединения в алгебраической семантике), определяемый как
  • Вершина (нулевой), также называемый единицей и обозначаемый или (поскольку константы top и ноль субструктурной логики совпадают в MTL), определяемые как

Правильно составленные формулы MTL определяются, как обычно, в логике высказываний . Чтобы сохранить круглые скобки, обычно используется следующий порядок приоритета:

  • Унарные связки (связываются наиболее тесно)
  • Бинарные связки, кроме импликации и эквивалентности
  • Импликация и эквивалентность (наиболее слабая связь)

Система вывода в стиле Гильберта для MTL была представлена ​​Эстевой и Годо (2001). Его единственное правило вывода — modus ponens :

от и вывести

Ниже приведены схемы его аксиом :

Традиционная нумерация аксиом, приведенная в левом столбце, получена из нумерации аксиом BL Гаека базовой нечеткой логики . [3] Аксиомы (MTL4a)–(MTL4c) заменяют аксиому делимости (BL4) BL. Аксиомы (MTL5a) и (MTL5b) выражают закон невязки , а аксиома (MTL6) соответствует условию предлинейности . Было показано, что аксиомы (MTL2) и (MTL3) исходной аксиоматической системы являются избыточными (Chvalovsky, 2012) и (Cintula, 2005). Показано, что все остальные аксиомы независимы (Хваловский, 2012).

Семантика

[ редактировать ]

Как и в других пропозициональных нечетких логиках с t-нормой , алгебраическая семантика для MTL преимущественно используется с тремя основными классами алгебр , относительно которых логика является полной :

  • Общая семантика , сформированная из всех MTL-алгебр — то есть всех алгебр, для которых логика верна.
  • Линейная семантика , состоящая из всех линейных MTL-алгебр, то есть всех MTL-алгебр, решетки порядок которых линейный.
  • Стандартная семантика , образованная из всех стандартных MTL-алгебр — то есть всех MTL-алгебр, редукцией решетки которых является действительный единичный интервал [0, 1] обычного порядка; они однозначно определяются функцией, интерпретирующей сильную конъюнкцию, которая может быть любой непрерывной слева t-нормой

Общая семантика

[ редактировать ]

MTL-алгебры

[ редактировать ]

Алгебры, для которых верна логика MTL, называются MTL-алгебрами. Их можно охарактеризовать как предлинейные коммутативные ограниченные целочисленные вычетные решетки. Более подробно, алгебраическая структура является MTL-алгеброй, если

  • представляет собой ограниченную решетку с верхним элементом 0 и нижним элементом 1
  • является коммутативным моноидом
  • и образуют сопряженную пару , т. е. тогда и только тогда, когда где – порядок решетки для всех x , y и z в , ( условие невязки )
  • выполняется для всех x и y в L ( условие предварительной линейности )

Важными примерами MTL-алгебр являются стандартные MTL-алгебры на вещественном единичном интервале [0, 1]. Дальнейшие примеры включают все булевы алгебры , все линейные алгебры Гейтинга (обе с ), все MV-алгебры , все BL -алгебры и т. д. Поскольку условие вычетности эквивалентно выражается тождествами, [4] MTL-алгебры образуют разновидность .

Интерпретация логики MTL в MTL-алгебрах

[ редактировать ]

Связки MTL интерпретируются в MTL-алгебрах следующим образом:

  • Сильная конъюнкция моноидальной операцией
  • Последствия операции называется остатком ( который )
  • Слабая конъюнкция и слабая дизъюнкция решеточными операциями. и соответственно (обычно обозначаются теми же символами, что и связки, если не может возникнуть путаницы)
  • Константы истинности ноль (вверху) и единица (внизу) константами 0 и 1.
  • Связка эквивалентности интерпретируется операцией определяется как
В силу условия предлинейности это определение эквивалентно тому, которое использует вместо таким образом
  • Отрицание интерпретируется определяемой операцией

При такой интерпретации связок любая оценка e v пропозициональных переменных в L однозначно распространяется на оценку e всех правильно построенных формул MTL согласно следующему индуктивному определению (которое обобщает условия истинности Тарского ) для любых формул A , B , и любая пропозициональная переменная p :

Неформально, значение истинности 1 представляет полную истину, а значение истинности 0 представляет полную ложность; промежуточные значения истинности представляют собой промежуточные степени истины. Таким образом, формула считается полностью истинной при вычислении e, если e ( A ) = 1. Формула A называется истинной в MTL-алгебре L, если она полностью истинна при всех оценках в L , то есть если e ( A ) = 1 для всех оценок e в L . Некоторые формулы (например, p p ) справедливы в любой MTL-алгебре; они называются тавтологиями MTL.

Понятие глобального следствия (или: глобального следствия ) определяется для MTL следующим образом: набор формул Γ влечет за собой формулу A (или: A является глобальным следствием Γ) в символах если для любой оценки e в любой MTL-алгебре, когда e ( B ) = 1 для всех формул B в Γ, то также e ( A ) = 1. Неформально глобальное отношение следствий представляет собой передачу полной истины в любой MTL-алгебре. алгебра истинностных значений.

Общие теоремы о корректности и полноте

[ редактировать ]

Логика MTL является корректной и полной по отношению к классу всех MTL-алгебр (Esteva & Godo, 2001):

Формула доказуема в MTL тогда и только тогда, когда она справедлива во всех MTL-алгебрах.

Понятие MTL-алгебры фактически определено таким образом, что MTL-алгебры образуют класс всех алгебр, для которых логика MTL верна. Кроме того, справедлива сильная теорема полноты : [5]

Формула A является глобальным следствием в MTL набора формул Γ тогда и только тогда, когда A выводима из Γ в MTL.

Линейная семантика

[ редактировать ]

Подобно алгебрам для других нечетких логик, [6] MTL-алгебры обладают следующим свойством линейной подпрямой декомпозиции :

Любая MTL-алгебра является подпрямым произведением линейно упорядоченных MTL-алгебр.

( Подпрямое произведение — это подалгебра прямого произведения, что все проекционные отображения сюръективны такая , . MTL-алгебра линейно упорядочена, порядок ее решетки линейный если .)

Вследствие свойства линейной подпрямой декомпозиции всех MTL-алгебр справедлива теорема о полноте в отношении линейных MTL-алгебр (Esteva & Godo, 2001):

  • Формула доказуема в MTL тогда и только тогда, когда она справедлива во всех линейных MTL-алгебрах.
  • Формула A выводится в MTL из множества формул Γ тогда и только тогда, когда A является глобальным следствием во всех линейных MTL-алгебрах Γ.

Стандартная семантика

[ редактировать ]

Стандартными называются те MTL-алгебры, редукцией решетки которых является действительный единичный интервал [0, 1]. Они однозначно определяются вещественной функцией, интерпретирующей сильную конъюнкцию, которая может быть любой непрерывной слева t-нормой. . Стандартная MTL-алгебра, определяемая непрерывной слева t-нормой обычно обозначается В представлена ​​остатком импликация слабая конъюнкция и дизъюнкция соответственно минимуму и максимуму, а константы истинности ноль и единица соответственно действительным числам 0 и 1.

Логика MTL полна относительно стандартных MTL-алгебр; этот факт выражается стандартной теоремой о полноте (Jenei & Montagna, 2002):

Формула доказуема в MTL тогда и только тогда, когда она справедлива во всех стандартных MTL-алгебрах.

Поскольку MTL полна относительно стандартных MTL-алгебр, определяемых непрерывными слева t-нормами, MTL часто называют логикой непрерывных слева t-норм (аналогично тому, как BL — логика непрерывных t-норм ).

Библиография

[ редактировать ]
  • Хайек П., 1998, Метаматематика нечеткой логики . Дордрехт: Клювер.
  • Эстева Ф. и Годо Л., 2001, «Логика, основанная на моноидальной t-норме: к логике непрерывных слева t-норм». Нечеткие множества и системы 124 : 271–288.
  • Дженей С. и Монтанья Ф., 2002, «Доказательство стандартной полноты моноидальной логики Эстевы и Годо MTL». Студия Логика 70 : ​​184–192.
  • Оно, Х., 2003, «Субструктурная логика и остаточные решетки — введение». В Ф. В. Хендриксе, Дж. Малиновском (ред.): Тенденции в логике: 50 лет Studia Logica, Тенденции в логике 20 : 177–212.
  • Синтула П., 2005, «Краткая заметка: Об избыточности аксиомы (A3) в BL и MTL». Мягкие вычисления 9 : 942.
  • Синтула П., 2006, «Слабо импликативная (нечеткая) логика I: основные свойства». Архив математической логики 45 : 673–704.
  • Хваловский К., 2012, « О независимости аксиом в BL и MTL ». Нечеткие множества и системы 197 : 123–129, дои : 10.1016/j.fss.2011.10.018 .
  1. ^ Оно (2003).
  2. ^ Предположение Эстевы и Годо, представивших логику (2001), доказано Дженеем и Монтаньей (2002).
  3. ^ Хайек (1998), Определение 2.2.4.
  4. ^ Доказательство леммы 2.3.10 в Hájek (1998) для BL-алгебр можно легко адаптировать для работы и с MTL-алгебрами.
  5. ^ Общее доказательство сильной полноты по отношению ко всем L -алгебрам для любой слабо импликативной логики L (включая MTL) можно найти в Cintula (2006).
  6. ^ Цинтула (2006).
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 3ba74457e7f64fa2cfcc0a84ab1da834__1680545100
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/3b/34/3ba74457e7f64fa2cfcc0a84ab1da834.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Monoidal t-norm logic - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)