Настройка настроения

*Настройка настроения*
Тип	Дедуктивная форма аргументации ; Правило вывода ;
Поле	Классическая логика ; Пропозициональное исчисление ;
Заявление	подразумевает . это правда. Поэтому, тоже должно быть правдой.
Символическое заявление

В высказываний логике modus ponens ( / ˈ m oʊ d ə s ˈ p oʊ n ɛ n z / ; MP ) , также известный как modus ponendo ponens (от латинского «метод размещения путем размещения»), ^{[ 1 ]} устранение импликации или подтверждение антецедента , ^{[ 2 ]} Это дедуктивная форма аргументации и правило вывода . ^{[ 3 ]} Его можно резюмировать так: « P подразумевает Q. P истинно. Следовательно, Q также должно быть истинным».

Modus ponens — это смешанный гипотетический силлогизм , тесно связанный с другой действительной формой аргументации — modus tollens . Оба имеют внешне схожие, но недействительные формы: утверждение последующего и отрицание антецедента . Конструктивная дилемма — это дизъюнктивная версия modus ponens .

История modus ponens уходит корнями в глубокую древность . ^{[ 4 ]} Первым, кто явно описал форму аргумента modus ponens, был Теофраст . ^{[ 5 ]} Он, наряду с modus tollens , является одной из стандартных моделей умозаключения, которую можно применять для вывода цепочек выводов, ведущих к желаемой цели.

Объяснение

Форма аргументации modus ponens представляет собой смешанный гипотетический силлогизм с двумя посылками и заключением:

Если П , Q. то
П.
Следовательно К. ,

Первая посылка представляет собой условное утверждение («если – то»), а именно, что P подразумевает Q . Вторая посылка — это утверждение, что P , антецедент условного утверждения, имеет место. Из этих двух посылок можно логически заключить, что Q , следствие условного утверждения, также должно иметь место.

Пример аргумента, который соответствует форме modus ponens :

Если сегодня вторник, то Джон пойдет на работу.
Сегодня вторник.
Поэтому Джон пойдет на работу.

Этот аргумент действителен ли какое-либо из утверждений аргумента , но он не имеет никакого отношения к тому, истинно ; Чтобы modus ponens был обоснованным аргументом, посылки должны быть истинными для любых истинных случаев заключения. Аргумент может быть действительным, но, тем не менее, необоснованным , если одна или несколько посылок ложны; если аргумент действителен и все посылки верны, то аргумент обоснован. Например, Джон может пойти на работу в среду. В этом случае доводы в пользу того, что Джон собирается на работу (потому что сегодня среда), необоснованны. Этот аргумент обоснован только по вторникам (когда Джон идет на работу), но действителен в любой день недели. аргумент Пропозициональный , использующий modus ponens, называется дедуктивным .

В секвентивных исчислениях с одним выводом ponens modus — это правило отсечения. Теорема об исключении разреза для исчисления гласит, что любое доказательство, включающее Cut, может быть преобразовано (вообще, конструктивным методом) в доказательство без Cut, и, следовательно, Cut допустимо .

Соответствие Карри-Ховарда между доказательствами и программами связывает modus ponens с применением функции : если f — функция типа P → Q а x имеет тип P , то fx имеет тип Q. ,

В искусственном интеллекте modus ponens часто называют прямой цепочкой .

Формальные обозначения

Правило modus ponens можно записать в последовательных обозначениях как

P\to Q,\;P\;\;\vdash \;\;Q

где P , Q и P → Q (или предложения) формального языка, а ⊢ — металогический символ, означающий, что Q является синтаксическим следствием P — утверждения и P → Q в некоторой логической системе .

Обоснование с помощью таблицы истинности

Справедливость modus ponens в классической двузначной логике можно наглядно продемонстрировать с помощью таблицы истинности .

п	д	п → д
Т	Т	Т
Т	Ф	Ф
Ф	Т	Т
Ф	Ф	Т

В случаях modus ponens мы предполагаем в качестве предпосылки, что p → q истинно и p истинно. Только одна строка таблицы истинности — первая — удовлетворяет этим двум условиям ( p и p → q ). В этом отношении q также верно. Следовательно, всякий раз, когда p → q истинно и p истинно, q также должно быть истинным.

Статус

Хотя modus ponens является одной из наиболее часто используемых форм аргументации в логике, его не следует путать с логическим законом; скорее, это один из общепринятых механизмов построения дедуктивных доказательств, включающий «правило определения» и «правило замены». ^{[ 6 ]} Modus ponens позволяет исключить условное утверждение из логического доказательства или аргумента (антецедентов) и тем самым не переносить эти антецеденты вперед в постоянно удлиняющейся цепочке символов; по этой причине modus ponens иногда называют правилом непривязанности. ^{[ 7 ]} или закон отстраненности . ^{[ 8 ]} Эндертон, например, отмечает, что «modus ponens может создавать более короткие формулы из более длинных». ^{[ 9 ]} и Рассел отмечает, что «процесс вывода не может быть сведен к символам. Его единственным свидетельством является возникновение ⊦q [консеквента]… вывод — это отбрасывание истинной посылки; это растворение импликации» . ^{[ 10 ]}

Оправданием «доверия к умозаключениям является вера в то, что если два предыдущих утверждения [антецеденты] не ошибочны, то и окончательное утверждение [последующее] не является ошибочным». ^{[ 10 ]} Другими словами: если из одного утверждения или предложения следует второе, и первое утверждение или предложение истинно, то и второе также истинно. Если P подразумевает Q и P истинно, то Q истинно. ^{[ 11 ]}

Соответствие другим математическим основам

Алгебраическая семантика

В математической логике алгебраическая семантика рассматривает каждое предложение как имя элемента в упорядоченном множестве. Обычно набор можно представить в виде решетчатой структуры с одним элементом («всегда истинно») вверху и еще одним элементом («всегда ложно») внизу. Логическая эквивалентность становится тождеством, так что когда $\neg {(P\wedge Q)}$ и $\neg {P}\vee \neg {Q}$ , например, эквивалентны (как обычно), то $\neg {(P\wedge Q)}=\neg {P}\vee \neg {Q}$ . Логическое следствие становится вопросом относительного положения: $P$ логически подразумевает $Q$ на всякий случай $P\leq Q$ , то есть когда либо $P=Q$ или еще $P$ лежит ниже $Q$ и соединен с ним восходящим путем.

В этом контексте сказать, что ${\textstyle P}$ и $P\rightarrow Q$ вместе подразумевают $Q$ — то есть утверждать modus ponens как действительный — значит сказать, что высшая точка, лежащая ниже обоих $P$ и $P\rightarrow Q$ лежит ниже $Q$ , то есть, что $P\wedge (P\rightarrow Q)\leq Q$ . ^{[ а ]} В семантике базовой логики высказываний алгебра является булевой , с $\rightarrow$ истолковывается как материальное условное : $P\rightarrow Q=\neg {P}\vee Q$ . Подтверждая это $P\wedge (P\rightarrow Q)\leq Q$ тогда это просто, потому что $P\wedge (P\rightarrow Q)=P\wedge Q$ и $P\wedge Q\leq Q$ . С другими методами лечения $\rightarrow$ , семантика становится более сложной, алгебра может быть небулевой, и достоверность modus ponens не может считаться само собой разумеющейся.

Вероятностное исчисление

Если $\Pr(P\rightarrow Q)=x$ и $\Pr(P)=y$ , затем $\Pr(Q)$ должно лежать в интервале $[x+y-1,x]$ . ^{[ б ]}^{[ 12 ]} Для особого случая $x=y=1$ , $\Pr(Q)$ должно быть равно $1$ .

Субъективная логика

Modus ponens представляет собой экземпляр оператора биномиальной дедукции в субъективной логике, выраженный как:

$\omega _{Q\|P}^{A}=(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})\circledcirc \omega _{P}^{A}\,,$

где $\omega _{P}^{A}$ обозначает субъективное мнение о $P$ как выразился источник $A$ , и условное мнение $\omega _{Q|P}^{A}$ обобщает логический вывод $P\to Q$ . Выведенное маргинальное мнение о $Q$ обозначается $\omega _{Q\|P}^{A}$ . Случай, когда $\omega _{P}^{A}$ это абсолютно ИСТИННОЕ мнение о $P$ эквивалентно источнику $A$ говоря это $P$ истинно, и случай, когда $\omega _{P}^{A}$ это абсолютно ЛОЖНОЕ мнение о $P$ эквивалентно источнику $A$ говоря это $P$ НЕВЕРНО. Оператор вычета $\circledcirc$ субъективная логика дает абсолютно ИСТИННОЕ выведенное мнение $\omega _{Q\|P}^{A}$ когда условное мнение $\omega _{Q|P}^{A}$ является абсолютной ИСТИНОЙ и предшествующее мнение $\omega _{P}^{A}$ абсолютно ПРАВДА. Следовательно, субъективная логическая дедукция представляет собой обобщение как modus ponens , так и закона полной вероятности . ^{[ 13 ]}

Предполагаемые случаи неудач

Философы и лингвисты выявили множество случаев, когда modus ponens не работает. Ванн МакГи , например, утверждал, что modus ponens может не работать для кондиционалов, последствия которых сами являются кондиционалами. ^{[ 14 ]} Ниже приведен пример:

Либо Шекспир , либо Гоббс написали «Гамлета» .
Если « Гамлета» написал Шекспир или Гоббс , то если этого не сделал Шекспир, то это сделал Гоббс.
не написал Шекспир Следовательно, если «Гамлета» , это написал Гоббс.

Поскольку Шекспир действительно написал «Гамлета» , первая посылка верна. Вторая предпосылка также верна, поскольку, начиная с набора возможных авторов, ограниченного только Шекспиром и Гоббсом, и исключая одного из них, остается только другой. Однако вывод сомнителен, поскольку исключение Шекспира как автора « Гамлета» оставило бы множество возможных кандидатов, многие из которых были бы более правдоподобными альтернативами, чем Гоббс (если «если-то» в выводе читать как материальные условные обозначения, вывод оказывается верным. просто в силу ложного антецедента. Это один из парадоксов материальной импликации ).

Общая форма контрпримеров типа МакГи к modus ponens проста: $P,P\rightarrow (Q\rightarrow R)$ , поэтому, $Q\rightarrow R$ ; не обязательно, чтобы $P$ быть дизъюнкцией, как в приведенном примере. То, что подобные случаи представляют собой нарушение modus ponens, остается спорным мнением среди логиков, но мнения о том, как следует поступать в таких случаях, расходятся. ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}

В деонтической логике некоторые примеры условного обязательства также повышают вероятность отказа modus ponens . Это случаи, когда условная посылка описывает обязательство, основанное на аморальном или неосмотрительном поступке, например: «Если Доу убивает свою мать, он должен делать это осторожно», для чего сомнительным безусловным выводом будет «Доу следует мягко убить свою мать». мать." ^{[ 18 ]} Казалось бы, из этого следует, что если Доу на самом деле мягко убивает свою мать, то modus ponens он делает именно то, что он, безоговорочно, должен делать. И здесь несостоятельность modus ponens не является популярным диагнозом, но иногда ее аргументируют. ^{[ 19 ]}

Возможные заблуждения

Ошибочность утверждения консеквента является распространенным неправильным толкованием modus ponens . ^{[ 20 ]}

См. также

Конденсированная отслойка
Импорт-экспорт (логика) – принцип классической логики.
Латинские фразы
Modus tollens - Правило логического вывода
Modus vivendi – Соглашение, позволяющее конфликтующим сторонам мирно сосуществовать.
Стоическая логика - система логики высказываний, разработанная философами-стоиками.
Что черепаха сказала Ахиллесу - Аллегорический диалог Льюиса Кэрролла

Примечания

^ Самая высокая точка, лежащая ниже обеих $X$ и $Y$ это " встреча " $X$ и $Y$ , обозначенный $X\wedge Y$ .
^ Поскольку $\neg P$ подразумевает $P\rightarrow Q$ , $x$ всегда должно быть больше или равно $1-y$ , и поэтому $x+y-1$ будет больше или равно $0$ . И поскольку $y$ всегда должно быть меньше или равно $1$ , $x+y-1$ всегда должно быть меньше или равно $x$ .

Ссылки

^ Стоун, Джон Р. (1996). Латынь для неграмотных: изгнание призраков мертвого языка . Лондон: Рутледж. п. 60 . ISBN 0-415-91775-1 .
^ «Оксфордская ссылка: подтверждение антецедента» . Оксфордский справочник .
^ Эндертон 2001: 110
^ Сюзанна Бобзиен (2002). «Развитие Modus Ponens в древности», Phronesis 47, вып. 4, 2002.
^ «Древняя логика: предшественники Modus Ponens и Modus Tollens » . Стэнфордская энциклопедия философии .
^ Альфред Тарский 1946:47. Также Эндертон 2001:110 и далее.
^ Тарский 1946:47
^ «Modus ponens — Математическая энциклопедия» . энциклопедияofmath.org . Проверено 5 апреля 2018 г.
^ Эндертон 2001: 111
^ Перейти обратно: ^а ^б Уайтхед и Рассел 1927:9
^ Джаго, Марк (2007). Формальная логика . ТОО «Humaniities-Ebooks». ISBN 978-1-84760-041-7 .
^ Хайльперин, Теодор (1996). Сентенциальная вероятностная логика: происхождение, развитие, современное состояние и технические приложения . Лондон: Издательство Associated University Press. п. 203. ИСБН 0934223459 .
^ Аудун Йосанг 2016:92
^ Ванн МакГи (1985). «Контрпример Modus Ponens», Философский журнал 82, 462–471.
^ Синнотт-Армстронг, Мавр и Фогелин (1986). «Защита Modus Ponens», Философский журнал 83, 296–300.
^ DE Over (1987). «Предположение и предполагаемые контрпримеры к Modus Ponens», Анализ 47, 142–146.
^ Бледин (2015). «Защищенный Modus Ponens», Философский журнал 112, 462–471.
^ «Деонтическая логика» . 21 апреля 2010 года . Проверено 30 января 2020 г. Стэнфордская энциклопедия философии .
^ Например, Колодный и Макфарлейн (2010). «Если и должно», Философский журнал 107, 115–143.
^ «Заблуждения | Интернет-энциклопедия философии» . iep.utm.edu . Проверено 6 марта 2020 г.

Источники

Герберт Б. Эндертон, 2001, Математическое введение в логику, второе издание , Harcourt Academic Press, Берлингтон, Массачусетс, ISBN 978-0-12-238452-3 .
Аудун Йосанг, 2016, Субъективная логика; Формализм рассуждений в условиях неопределенности Спрингер, Чам, ISBN 978-3-319-42337-1
Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел , 1927 г., Principia Mathematica - * 56 (второе издание), издание в мягкой обложке, 1962 г., Кембридж, University Press, Лондон, Великобритания. Ни ISBN, ни LCCCN.
Альфред Тарский, 1946 г. «Введение в логику и методологию дедуктивных наук», 2-е издание, перепечатано Dover Publications, Минеола, штат Нью-Йорк. ISBN 0-486-28462-X (пбк).

Внешние ссылки

«Режим позиционирования» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Режим настройки в PhilPapers
Настройка режима в Wolfram MathWorld

[12] Самая высокая точка, лежащая ниже обеих $X$ и $Y$ это " встреча " $X$ и $Y$ , обозначенный $X\wedge Y$ .

[13] Поскольку $\neg P$ подразумевает $P\rightarrow Q$ , $x$ всегда должно быть больше или равно $1-y$ , и поэтому $x+y-1$ будет больше или равно $0$ . И поскольку $y$ всегда должно быть меньше или равно $1$ , $x+y-1$ всегда должно быть меньше или равно $x$ .

[1] Стоун, Джон Р. (1996). Латынь для неграмотных: изгнание призраков мертвого языка . Лондон: Рутледж. п. 60 . ISBN 0-415-91775-1 .

[2] «Оксфордская ссылка: подтверждение антецедента» . Оксфордский справочник .

[3] Эндертон 2001: 110

[4] Сюзанна Бобзиен (2002). «Развитие Modus Ponens в древности», Phronesis 47, вып. 4, 2002.

[5] «Древняя логика: предшественники Modus Ponens и Modus Tollens » . Стэнфордская энциклопедия философии .

[6] Альфред Тарский 1946:47. Также Эндертон 2001:110 и далее.

[7] Тарский 1946:47

[8] «Modus ponens — Математическая энциклопедия» . энциклопедияofmath.org . Проверено 5 апреля 2018 г.

[9] Эндертон 2001: 111

[auto-10] Перейти обратно: ^а ^б Уайтхед и Рассел 1927:9

[11] Джаго, Марк (2007). Формальная логика . ТОО «Humaniities-Ebooks». ISBN 978-1-84760-041-7 .

[Hailperin,_T._1996-14] Хайльперин, Теодор (1996). Сентенциальная вероятностная логика: происхождение, развитие, современное состояние и технические приложения . Лондон: Издательство Associated University Press. п. 203. ИСБН 0934223459 .

[15] Аудун Йосанг 2016:92

[16] Ванн МакГи (1985). «Контрпример Modus Ponens», Философский журнал 82, 462–471.

[17] Синнотт-Армстронг, Мавр и Фогелин (1986). «Защита Modus Ponens», Философский журнал 83, 296–300.

[18] DE Over (1987). «Предположение и предполагаемые контрпримеры к Modus Ponens», Анализ 47, 142–146.

[19] Бледин (2015). «Защищенный Modus Ponens», Философский журнал 112, 462–471.

[SEP_Deontic_Logic-20] «Деонтическая логика» . 21 апреля 2010 года . Проверено 30 января 2020 г. Стэнфордская энциклопедия философии .

[21] Например, Колодный и Макфарлейн (2010). «Если и должно», Философский журнал 107, 115–143.

[22] «Заблуждения | Интернет-энциклопедия философии» . iep.utm.edu . Проверено 6 марта 2020 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ а ]

[ б ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]