Т-норма нечеткой логики

Нечеткие логики с Т-нормой — это семейство неклассических логик , неформально ограниченных наличием семантики , которая принимает реальный единичный интервал [0, 1] для системы значений истинности и функций, называемых t-нормами, для допустимых интерпретаций конъюнкции . Они в основном используются в прикладной нечеткой логике и теории нечетких множеств в качестве теоретической основы для приближенных рассуждений.

Нечеткая логика Т-нормы принадлежит к более широким классам нечеткой логики и многозначной логики . Чтобы сгенерировать корректную импликацию , обычно требуется, чтобы t-нормы были непрерывными слева ; логики непрерывных слева t-норм далее относятся к классу субструктурных логик , среди которых отмечены выполнением закона прелинейности , ( A → B ) ∨ ( B → A ). Изучаются как пропозициональные нечеткие логики t-нормы первого порядка (или высшего порядка ), так и их расширения с помощью модальных и других операторов. Логики, которые ограничивают семантику t-нормы подмножеством действительного единичного интервала (например, конечнозначные логики Лукасевича ), обычно также включаются в класс.

Важными примерами нечеткой логики t-нормы являются моноидальная логика t-нормы (MTL) всех непрерывных слева t-норм, базовая логика (BL) всех непрерывных t-норм, продуктовая нечеткая логика продукта t-нормы или нильпотентная минимальная логика нильпотентной минимальной t-нормы. Некоторые независимо мотивированные логики также относятся к нечетким логикам с t-нормой, например, логика Лукасевича (которая является логикой t-нормы Лукасевича) или логика Гёделя – Даммета (которая является логикой минимальной t-нормы).

Мотивация

Как члены семейства нечетких логик , нечеткие логики t-нормы в первую очередь направлены на обобщение классической двузначной логики путем допуска промежуточных значений истинности между 1 (истина) и 0 (ложность), представляющих степени истинности предложений. Предполагается, что степени представляют собой действительные числа из единичного интервала [0, 1]. В пропозициональной нечеткой логике t-нормы пропозициональные связки должны быть функциональными по истинности , то есть истинностное значение сложного предложения, образованного пропозициональной связкой из некоторых составляющих предложений, является функцией (называемой функцией истинности связки) истинностные значения составляющих предложений. Функции истинности оперируют множеством степеней истинности (в стандартной семантике — на интервале [0, 1]); таким образом, функция истинности n -арной пропозициональной связки c является функцией F _c : [0, 1] ^н → [0, 1]. Функции истинности обобщают таблицы истинности пропозициональных связок, известных из классической логики, которые работают с более широкой системой значений истинности.

Нечеткая логика Т-нормы накладывает определенные естественные ограничения на функцию истинности конъюнкции . Функция истинности $*\colon [0,1]^{2}\to [0,1]$ Предполагается, что соединение удовлетворяет следующим условиям:

• Коммутативность , то есть $x*y=y*x$ для всех x и y в [0, 1]. Это выражает предположение о том, что порядок нечетких суждений в сочетании неважен, даже если допускаются промежуточные степени истинности.
• Ассоциативность , то есть $(x*y)*z=x*(y*z)$ для всех x , y и z в [0, 1]. Это выражает предположение о том, что порядок выполнения конъюнкции несущественен, даже если допускаются промежуточные степени истинности.
• Монотонность , то есть, если $x\leq y$ затем $x*z\leq y*z$ для всех x , y и z в [0, 1]. Это выражает предположение, что увеличение степени истинности союза не должно уменьшать степень истинности союза.
• Нейтральность 1 , то есть $1*x=x$ для всех x в [0, 1]. Это предположение соответствует рассмотрению степени истинности 1 как полной истины, соединение с которой не уменьшает истинностного значения другого соединения. Вместе с предыдущими условиями это условие обеспечивает также $0*x=0$ для всех x в [0, 1], что соответствует рассмотрению степени истинности 0 как полной ложности, соединение с которой всегда полностью ложно.
• Непрерывность функции $*$ (предыдущие условия сводят это требование к непрерывности в любом аргументе). Неформально это выражает предположение, что микроскопические изменения степеней истинности конъюнктов не должны приводить к макроскопическому изменению степени истинности их конъюнкции. Это условие, среди прочего, обеспечивает хорошее поведение (остаточной) импликации, полученной из конъюнкции; однако для обеспечения хорошего поведения необходимо обеспечить непрерывность слева (по любому аргументу) функции. $*$ достаточно. Поэтому в целом в нечеткой логике t-нормы возможна только левая непрерывность $*$ Требуется, что выражает предположение, что микроскопическое уменьшение степени истинности конъюнкции не должно макроскопически уменьшать степень истинности конъюнкции.

Эти предположения делают функцию истинности конъюнкции непрерывной слева t-нормой , что объясняет название семейства нечетких логик ( t-normbased ). Отдельные логики семейства могут делать дальнейшие предположения о поведении конъюнкции (например, логика Гёделя-Даммета требует ее идемпотентности ) или других связок (например, логика IMTL (инволютивная моноидальная логика t-нормы) требует инволютивности отрицания) .

Все непрерывные слева t-нормы $*$ иметь уникальный остаток , то есть бинарную функцию $\Rightarrow$ такой, что для всех x , y и z в [0, 1]

$x*y\leq z$ тогда и только тогда, когда $x\leq y\Rightarrow z.$

Остаток непрерывной слева t-нормы можно явно определить как

$(x\Rightarrow y)=\sup\{z\mid z*x\leq y\}.$

Это гарантирует, что остаток является наибольшей поточечной функцией, такой что для x и y всех

$x*(x\Rightarrow y)\leq y.$

Последнее можно интерпретировать как нечеткую версию modus ponens правила вывода . Таким образом, остаток непрерывной слева t-нормы можно охарактеризовать как самую слабую функцию, которая делает нечеткий modus ponens действительным, что делает его подходящей функцией истинности для применения в нечеткой логике. Непрерывность слева t-нормы является необходимым и достаточным условием для сохранения этой связи между соединением t-нормы и ее остаточной импликацией.

Функции истинности дальнейших пропозициональных связок могут быть определены с помощью t-нормы и ее остатка, например, остаточного отрицания. $\neg x=(x\Rightarrow 0)$ или двуостаточная эквивалентность $x\Leftrightarrow y=(x\Rightarrow y)*(y\Rightarrow x).$ Функции истинности пропозициональных связок также могут быть введены с помощью дополнительных определений: наиболее распространенными являются минимальная (играющая роль другой соединительной связки), максимальная (играющая роль дизъюнктивной связки) или оператор Бааза Дельта, определенный в [0, 1] как $\Delta x=1$ если $x=1$ и $\Delta x=0$ в противном случае. Таким образом, непрерывная слева t-норма, ее невязка и функции истинности дополнительных пропозициональных связок определяют значения истинности сложных пропозициональных формул в [0, 1].

Формулы, результат которых всегда равен 1, называются тавтологиями относительно заданной непрерывной слева t-нормы. $*,$ или $*{\mbox{-}}$тавтологии. Набор всего $*{\mbox{-}}$тавтологии называется логикой t-нормы $*,$ поскольку эти формулы представляют собой законы нечеткой логики (определяемые t-нормой), которые выполняются (до степени 1) независимо от степеней истинности атомарных формул . Некоторые формулы являются тавтологиями по отношению к более широкому классу непрерывных слева t-норм; совокупность таких формул называется логикой класса. Важными логиками t-норм являются логики конкретных t-норм или классов t-норм, например:

• Логика Лукасевича - это логика t-нормы Лукасевича. $x*y=\max(x+y-1,0)$
• Логика Гёделя – Даммета - это логика минимальной t-нормы. $x*y=\min(x,y)$
• Нечеткая логика продукта - это логика t-нормы продукта. $x*y=x\cdot y$
• Моноидальная логика t-нормы MTL - это логика (класс) всех непрерывных слева t-норм.
• Базовая нечеткая логика BL — это логика (класса) всех непрерывных t-норм.

Оказывается, многие логики конкретных t-норм и классов t-норм аксиоматизируемы. Теорема о полноте аксиоматической системы относительно соответствующей семантики t-нормы на [0, 1] называется тогда стандартной полнотой логики. Помимо стандартной вещественнозначной семантики на [0, 1], логика является корректной и полной относительно общей алгебраической семантики, образованной подходящими классами предлинейных коммутативных ограниченных целочисленных вычетных решеток .

История

Некоторые конкретные нечеткие логики с t-нормой были введены и исследованы задолго до того, как было признано это семейство (даже до того, как появились понятия нечеткой логики или t-нормы ):

• Логика Лукасевича (логика t-нормы Лукасевича) была первоначально определена Яном Лукасевичем (1920) как трехзначная логика ; позже он был обобщен на n -значные (для всех конечных n ), а также на бесконечно многозначные варианты, как пропозициональные, так и первого порядка.
• Логика Гёделя-Даммета (логика минимальной t-нормы) была неявной в доказательстве Гёделя 1932 года бесконечнозначности интуиционистской логики . Позже (1959 г.) она была подробно изучена Дамметом , который доказал теорему о полноте этой логики.

Систематическое изучение конкретных нечетких логик с t-нормой и их классов началось с монографии Хаека (1998) «Метаматематика нечеткой логики» , в которой было представлено понятие логики непрерывной t-нормы, логики трех основных непрерывных t-норм. нормы (Лукасевич, Гёдель и произведение) и «базовая» нечеткая логика BL всех непрерывных t-норм (все они как пропозициональные, так и первого порядка). Книга также положила начало исследованию нечетких логик как неклассических логик с исчислениями в стиле Гильберта, алгебраической семантикой и метаматематическими свойствами, известными из других логик (теоремы полноты, теоремы дедукции , сложности и т. д.).

С тех пор было введено множество нечетких логик с t-нормой и исследованы их метаматематические свойства. Некоторые из наиболее важных нечетких логик t-нормы были представлены в 2001 году Эстевой и Годо ( MTL , IMTL, SMTL, NM, WNM). Эстева, Годо и Монтанья (пропозициональное ŁΠ), и Цинтула (LΠ первого порядка).

Логический язык

Логический словарь пропозициональной t-нормальной нечеткой логики обычно включает следующие связки:

• Импликация $\rightarrow$ ( двоичный ). В контексте нечетких логик, отличных от t-нормы, импликацию на основе t-нормы иногда называют остаточной импликацией или R-импликацией , поскольку ее стандартная семантика представляет собой остаток t -нормы , который реализует сильную конъюнкцию.
• Сильное соединение $\And$ (двоичный). В контексте субструктурной логики знак $\otimes$ имен а группы , интенсиональный , мультипликативный или параллельный союз часто используются для сильного союза.
• Слабое соединение $\wedge$ (двоичный), также называемый решеточной конъюнкцией (поскольку в алгебраической семантике он всегда реализуется решеточной операцией встречи ). В контексте субструктурной логики названия аддитивного , экстенсионального или сравнительного соединения иногда используются для соединения решеток. В логике BL и ее расширениях (хотя и не в логиках t-нормы в целом) слабая конъюнкция определяется в терминах импликации, а сильная конъюнкция: $$A\wedge B\equiv A{\mathbin {\And }}(A\rightarrow B).$$ Наличие двух соединительных связок является общей чертой субструктурных логик без сокращений .
• Нижний $\bot$ ( нулевой ); $0$ или ${\overline {0}}$ являются общими альтернативными знаками, а ноль - общим альтернативным именем для пропозициональной константы (поскольку константы дно и ноль субструктурных логик совпадают в нечетких логиках с t-нормой). Предложение $\bot$ представляет ложность или абсурд и соответствует классическому значению истинности false .
• Отрицание $\neg$ ( унарный ), иногда называемый остаточным отрицанием , если рассматриваются другие связки отрицания, поскольку он определяется из остаточной импликации с помощью доведения до абсурда: $$\neg A\equiv A\rightarrow \bot$$
• Эквивалентность $\leftrightarrow$ (двоичный), определяемый как $$A\leftrightarrow B\equiv (A\rightarrow B)\wedge (B\rightarrow A)$$ В логике t-нормы это определение эквивалентно $(A\rightarrow B){\mathbin {\And }}(B\rightarrow A).$
• (Слабая) дизъюнкция $\vee$ (двоичный), также называемый решеточной дизъюнкцией (поскольку в алгебраической семантике он всегда реализуется с помощью решеточной операции соединения ). В логике t-нормы его можно определить в терминах других связок как $$A\vee B\equiv ((A\rightarrow B)\rightarrow B)\wedge ((B\rightarrow A)\rightarrow A)$$
• Вершина $\top$ (нулевой), также называемый единицей и обозначаемый $1$ или ${\overline {1}}$ (поскольку константы top и ноль субструктурных логик совпадают в нечетких логиках t-нормы). Предложение $\top$ соответствует классическому значению истинности true и может быть определено в логике t-нормы как $$\top \equiv \bot \rightarrow \bot .$$

Некоторые пропозициональные логики t-нормы добавляют к вышеуказанному языку дополнительные пропозициональные связки, чаще всего следующие:

• Дельта ​ Соединение $\triangle$ — это унарная связка, утверждающая классическую истинность предложения, как и формулы вида $\triangle A$ вести себя как в классической логике. Также называется дельтой Бааза , так как впервые была использована Маттиасом Баазом для логики Гёделя-Даммета . Расширение логики t-нормы $L$ связкой Дельта обычно обозначается $L_{\triangle }.$
• Константы истинности — это нулевые связки, представляющие определенные значения истинности от 0 до 1 в стандартной семантике вещественных чисел. Для реального числа $r$соответствующая константа истинности обычно обозначается ${\overline {r}}.$ Чаще всего добавляются константы истинности для всех рациональных чисел. Предполагается, что система всех констант истинности в языке удовлетворяет аксиомам бухгалтерского учета : $${\overline {r{\mathbin {\And }}s}}\leftrightarrow ({\overline {r}}{\mathbin {\And }}{\overline {s}}),$$ $${\overline {r\rightarrow s}}\leftrightarrow ({\overline {r}}{\mathbin {\rightarrow }}{\overline {s}}),$$ и т. д. для всех пропозициональных связок и всех констант истинности, определяемых в языке.
• Инволютивное отрицание $\sim$ (унарный) может быть добавлен в качестве дополнительного отрицания к логике t-нормы, остаточное отрицание которого само по себе не является инволютивным , то есть если оно не подчиняется закону двойного отрицания. $\neg \neg A\leftrightarrow A$. Логика t-нормы $L$ расширенное инволютивным отрицанием обычно обозначается $L_{\sim }$ и позвонил $L$ с инволюцией .
• Сильная дизъюнкция $\oplus$ (двоичный). В контексте субструктурной логики ее также называют групповой , интенсиональной , мультипликативной или параллельной дизъюнкцией . Несмотря на то, что это стандарт в субструктурных логиках без сокращений, в нечетких логиках t-нормы оно обычно используется только при наличии инволютивного отрицания, что делает его определяемым (и, следовательно, аксиоматизируемым) законом де Моргана из сильной конъюнкции: $$A\oplus B\equiv \mathrm {\sim } (\mathrm {\sim } A{\mathbin {\And }}\mathrm {\sim } B).$$
• Дополнительные соединения t-нормы и остаточные последствия . Некоторые выразительно сильные логики t-нормы, например логика ŁΠ , имеют в своем языке более одной сильной конъюнкции или остаточной импликации. В стандартной вещественнозначной семантике все такие сильные конъюнкции реализуются различными t-нормами, а остаточные значения - их остатками.

Правильно сформированные формулы пропозициональной t-нормальной логики определяются из пропозициональных переменных (обычно счетного числа) с помощью вышеуказанных логических связок, как обычно в пропозициональных логиках . Чтобы сохранить круглые скобки, обычно используется следующий порядок приоритета:

• Унарные связки (связываются наиболее тесно)
• Бинарные связки, кроме импликации и эквивалентности
• Импликация и эквивалентность (наиболее слабая связь)

Варианты логики t-нормы первого порядка используют обычный логический язык логики первого порядка с вышеуказанными пропозициональными связками и следующими кванторами :

• Общий квантификатор $\forall$
• Экзистенциальный квантор $\exists$

Вариант первого порядка пропозициональной логики t-нормы $L$ обычно обозначается $L\forall .$

Семантика

Алгебраическая семантика преимущественно используется для пропозициональных нечетких логик с t-нормой, с тремя основными классами алгебр , относительно которых нечеткая логика с t-нормой $L$ завершено ​ :

• Общая семантика , сформированная из всех $L$-алгебры — то есть все алгебры, для которых логика верна .
• Линейная семантика , образованная из всех линейных $L$-алгебры — то есть все $L$ которых решетки -алгебры, порядок линейный .
• Стандартная семантика , сформированная из всех стандартных $L$-алгебры — то есть все $L$-алгебры, редукцией решетки которых является вещественный единичный интервал [0, 1] обычного порядка. В стандарте $L$В -алгебрах интерпретация сильной конъюнкции представляет собой непрерывную слева t-норму , а интерпретация большинства пропозициональных связок определяется t-нормой (отсюда и названия логики, основанной на t-норме , и t-нормы). $L$-алгебры , которая также используется для $L$-алгебры на решетке [0, 1]). Однако в логиках t-нормы с дополнительными связками вещественная интерпретация дополнительных связок может быть ограничена дополнительными условиями, при которых алгебра t-нормы может называться стандартной: например, в стандартной $L_{\sim }$-алгебры логики $L$ с инволюцией, интерпретация дополнительного инволютивного отрицания $\sim$ должна быть стандартной инволюцией $f_{\sim }(x)=1-x,$ а не другие инволюции, которые также могут интерпретировать $\sim$ выше Т-нормы $L_{\sim }$-алгебры. Поэтому в общем случае определение стандартных алгебр t-нормы должно быть явно дано для логик t-нормы с дополнительными связками.

Библиография

• Эстева Ф. и Годо Л., 2001, «Логика, основанная на моноидальной t-норме: к логике непрерывных слева t-норм». Нечеткие множества и системы 124 : 271–288.
• Фламинио Т. и Маркиони Э., 2006, Логика, основанная на Т-норме, с независимым инволютивным отрицанием. Нечеткие множества и системы 157 : 3125–3144.
• Готвальд С. и Хайек П., 2005, Математическая нечеткая логика, основанная на треугольной норме. В EP Klement & R. Mesiar (ред.), Логические, алгебраические, аналитические и вероятностные аспекты треугольных норм , стр. 275–300. Эльзевир, Амстердам, 2005.
• Хайек П., 1998, Метаматематика нечеткой логики . Дордрехт: Клювер. ISBN   0-7923-5238-6 .