БЛ (логика)

В математической логике базовая нечеткая логика (или сокращенно BL ), логика непрерывных t -норм , является одной из нечетких логик t-нормы . Она принадлежит к более широкому классу субструктурных логик или логик резидуальных решеток ; он расширяет логику MTL всех непрерывных слева t-норм.

Синтаксис

Язык

Язык пропозициональной логики BL состоит из счетного числа пропозициональных переменных и следующих примитивных логических связок :

• Импликация $\rightarrow$ ( двоичный )
• Сильное соединение $\otimes$ (двоичный). Знак & является более традиционным обозначением сильной связи в литературе по нечеткой логике, тогда как обозначение $\otimes$ следует традиции субструктурной логики.
• Нижний $\bot$ ( нульарный — пропозициональная константа ); $0$ или ${\overline {0}}$ являются общими альтернативными знаками, а ноль - общим альтернативным именем для пропозициональной константы (поскольку константы дно и ноль субструктурных логик совпадают в MTL).

Ниже приведены наиболее распространенные определяемые логические связки:

• Слабое соединение $\wedge$ (двоичный), также называемый решеточной конъюнкцией (поскольку в алгебраической семантике он всегда реализуется решеточной операцией встречи ). В отличие от MTL и более слабой субструктурной логики, слабая конъюнкция в BL определяется как

$A\wedge B\equiv A\otimes (A\rightarrow B)$

• Отрицание $\neg$ ( унарный ), определяемый как

$\neg A\equiv A\rightarrow \bot$

• Эквивалентность $\leftrightarrow$ (двоичный), определяемый как

$A\leftrightarrow B\equiv (A\rightarrow B)\wedge (B\rightarrow A)$

Как и в MTL, определение эквивалентно $(A\rightarrow B)\otimes (B\rightarrow A).$

• (Слабая) дизъюнкция $\vee$ (двоичный), также называемый решеточной дизъюнкцией (поскольку он всегда реализуется решеточной операцией соединения в алгебраической семантике), определяемый как

$A\vee B\equiv ((A\rightarrow B)\rightarrow B)\wedge ((B\rightarrow A)\rightarrow A)$

• Вершина $\top$ (нулевой), также называемый единицей и обозначаемый $1$ или ${\overline {1}}$ (поскольку константы top и ноль субструктурной логики совпадают в MTL), определяемые как

$\top \equiv \bot \rightarrow \bot$

Правильно построенные формулы BL определяются, как обычно, в логике высказываний . Чтобы сохранить круглые скобки, обычно используется следующий порядок приоритета:

• Унарные связки (связываются наиболее тесно)
• Бинарные связки, кроме импликации и эквивалентности
• Импликация и эквивалентность (наиболее слабая связь)

Аксиомы

Система вывода в стиле Гильберта для BL была введена Петром Гаеком (1998). Его единственное правило вывода — modus ponens :

от $A$ и $A\rightarrow B$ вывести $B.$

Ниже приведены схемы его аксиом :

${\begin{array}{ll}{\rm {(BL1)}}\colon &(A\rightarrow B)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow C))\\{\rm {(BL2)}}\colon &A\otimes B\rightarrow A\\{\rm {(BL3)}}\colon &A\otimes B\rightarrow B\otimes A\\{\rm {(BL4)}}\colon &A\otimes (A\rightarrow B)\rightarrow B\otimes (B\rightarrow A)\\{\rm {(BL5a)}}\colon &(A\rightarrow (B\rightarrow C))\rightarrow (A\otimes B\rightarrow C)\\{\rm {(BL5b)}}\colon &(A\otimes B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow (B\rightarrow C))\\{\rm {(BL6)}}\colon &((A\rightarrow B)\rightarrow C)\rightarrow (((B\rightarrow A)\rightarrow C)\rightarrow C)\\{\rm {(BL7)}}\colon &\bot \rightarrow A\end{array}}$

Показано, что аксиомы (BL2) и (BL3) исходной аксиоматической системы являются избыточными (Хваловский, 2012) и (Цинтула, 2005). Показано, что все остальные аксиомы независимы (Хваловский, 2012).

Семантика

Как и в других пропозициональных нечетких логиках с t-нормой , алгебраическая семантика для BL преимущественно используется с тремя основными классами алгебр , относительно которых логика полна :

• Общая семантика , сформированная из всех BL-алгебр , то есть всех алгебр, для которых логика верна.
• Линейная семантика , состоящая из всех линейных BL-алгебр, то есть всех BL-алгебр, решетки порядок которых линейный.
• Стандартная семантика , образованная из всех стандартных BL-алгебр — то есть всех BL-алгебр, редукцией решетки которых является действительный единичный интервал [0, 1] обычного порядка; они однозначно определяются функцией, интерпретирующей сильную конъюнкцию, которая может быть любой непрерывной t-нормой .

Библиография

• Хайек П., 1998, Метаматематика нечеткой логики . Дордрехт: Клювер.
• Оно, Х., 2003, «Субструктурная логика и остаточные решетки — введение». В Ф. В. Хендриксе, Дж. Малиновском (ред.): Тенденции в логике: 50 лет Studia Logica, Тенденции в логике 20 : 177–212.
• Синтула П., 2005, «Краткая заметка: Об избыточности аксиомы (A3) в BL и MTL». Мягкие вычисления 9 : 942.
• Хваловский К., 2012, « О независимости аксиом в BL и MTL ». Нечеткие множества и системы 197 : 123–129, дои : 10.1016/j.fss.2011.10.018 .