Нечеткая подалгебра

Теория нечетких подалгебр — это глава теории нечетких множеств . Оно получается в результате интерпретации в многозначной логике аксиом, обычно выражающих понятие подалгебры данной алгебраической структуры .

Определение

Рассмотрим язык первого порядка для алгебраических структур с монадическим символом-предикатом S. Тогда нечеткая подалгебра — это нечеткая модель теории, содержащая для любой n -арной операции h аксиомы

$\forall x_{1},...,\forall x_{n}(S(x_{1})\land .....\land S(x_{n})\rightarrow S(h(x_{1},...,x_{n}))$

и для любой константы c S(c).

Первая аксиома выражает замыкание S относительно операции h, а вторая выражает тот факт, что c является элементом в S. В качестве примера предположим, что структура оценки определена в [0,1] и обозначим через $\odot$ операция в [0,1] используется для интерпретации союза. Тогда нечеткая подалгебра алгебраической структуры, областью определения которой является D, определяется нечетким подмножеством s : D → [0,1] в D таким, что для каждого d ₁ ,...,d _n в D, если h является интерпретация символа n-арной операции h, тогда

$s(d_{1})\odot ...\odot s(d_{n})\leq s(\mathbf {h} (d_{1},...,d_{n}))$

Более того, если c является интерпретацией константы c такой, что s( c ) = 1.

Наиболее изученный класс нечетких подалгебр — это тот, в котором операция $\odot$ совпадает с минимумом. В таком случае несложно доказать следующее предложение.

Предложение. Нечеткое подмножество s алгебраической структуры определяет нечеткую подалгебру тогда и только тогда, когда для любого λ из [0,1] замкнутый разрез {x ∈ D : s(x)≥ λ} s является подалгеброй.

Нечеткие подгруппы и субмоноиды

Нечеткие подгруппы и нечеткие субмоноиды представляют собой особенно интересные классы нечетких подалгебр. В таком случае нечеткое подмножество s моноида (M,•, u ) является нечетким подмоноидом тогда и только тогда, когда

$s(\mathbf {u} )=1$
$s(x)\odot s(y)\leq s(x\cdot y)$

где u — нейтральный элемент в A.

Для группы G нечеткая подгруппа группы G — это нечеткий подмоноид s группы G такой, что

s(x) ≤ s(x ⁻¹).

Можно доказать, что понятие нечеткой подгруппы строго связано с понятиями нечеткой эквивалентности . Действительно, предположим, что S — множество, G — группа преобразований в S и (G,s) — нечеткая подгруппа G. Тогда, полагая

e(x,y) = Sup{s(h) : h — элемент из G такой, что h(x) = y}

мы получаем нечеткую эквивалентность. Обратно, пусть e — нечеткая эквивалентность в S и для каждого преобразования h из S положим

s(h)= Inf{e(x,h(x)): xεS}.

Тогда s определяет нечеткую подгруппу преобразований в S. Аналогичным образом мы можем связать нечеткие субмоноиды с нечеткими порядками.

Библиография

Клир, Г. и Бо Юань, Нечеткие множества и нечеткая логика (1995) ISBN 978-0-13-101171-7
Циммерманн Х., Теория нечетких множеств и ее приложения (2001), ISBN 978-0-7923-7435-0 .
Чакраборти Х. и Дас С., О нечеткой эквивалентности 1 , Нечеткие множества и системы, 11 (1983), 185–193.
Демирчи М., Рекасенс Дж., Нечеткие группы, нечеткие функции и нечеткие отношения эквивалентности , Нечеткие множества и системы, 144 (2004), 441-458.
Ди Нола А., Герла Г., Решетчатозначные алгебры , Stochastica, 11 (1987), 137–150.
Гайек П., Метаматематика нечеткой логики . Клювер 1998.
Клир Г., ЮТЕ Х. Сент-Клер и Бо Юань. Основы и приложения теории нечетких множеств , 1997.
Герла Г., Скарпати М., Сходства, нечеткие группы: связность Галуа , J. Math. Анальный. Appl., 292 (2004), 33-48.
Мордесон Дж., Киран Р. Бутани и Азриэль Розенфельд. Теория нечетких групп , Серия Springer: Исследования нечеткости и мягких вычислений, Vol. 182, 2005.
Розенфельд А., Нечеткие группы , J. Math. Анальный. Appl., 35 (1971), 512-517.
Заде Л.А., Нечеткие множества , «Информация и управление», 8 (1965) 338353.
Заде Л.А., Отношения подобия и нечеткий порядок , Информ. наук. 3 (1971) 177–200.