Уравнение Чаплыгина

В газовой динамике уравнение Чаплыгина , названное в честь Сергея Алексеевича Чаплыгина (1902), представляет собой уравнение в частных производных, полезное при изучении трансзвукового течения . Это

${\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {v^{2}}{1-v^{2}/c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial v^{2}}}+v{\frac {\partial \Phi }{\partial v}}=0.$

Здесь, $c=c(v)$ – скорость звука , определяемая уравнением состояния жидкости и сохранения энергии. Для политропных газов имеем $c^{2}/(\gamma -1)=h_{0}-v^{2}/2$, где $\gamma$ - удельная теплоемкость и $h_{0}$ – энтальпия торможения, в этом случае уравнение Чаплыгина сводится к

${\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \theta ^{2}}}+v^{2}{\frac {2h_{0}-v^{2}}{2h_{0}-(\gamma +1)v^{2}/(\gamma -1)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial v^{2}}}+v{\frac {\partial \Phi }{\partial v}}=0.$

Уравнение Бернулли (см. вывод ниже) утверждает, что максимальная скорость возникает, когда удельная энтальпия имеет минимально возможное значение; можно принять удельную энтальпию равной нулю, что соответствует абсолютной нулевой температуре, в качестве эталонного значения, и в этом случае $2h_{0}$ — максимально достижимая скорость. Частные интегралы приведенного выше уравнения могут быть выражены через гипергеометрические функции .

Вывод

Для двумерного потенциального течения уравнение неразрывности и уравнения Эйлера (фактически сжимаемое уравнение Бернулли в силу безвихревости) в декартовых координатах $(x,y)$ с участием переменных скорости жидкости $(v_{x},v_{y})$, удельная энтальпия $h$ и плотность $\rho$ являются

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho v_{x})+{\frac {\partial }{\partial y}}(\rho v_{y})&=0,\\h+{\frac {1}{2}}v^{2}&=h_{o}.\end{aligned}}$

с уравнением состояния $\rho =\rho (s,h)$ действует как третье уравнение. Здесь $h_{o}$ - энтальпия торможения, $v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}$ - величина вектора скорости и $s$ это энтропия. Для изоэнтропического потока плотность может быть выражена как функция только энтальпии. $\rho =\rho (h)$, что, в свою очередь, с помощью уравнения Бернулли можно записать как $\rho =\rho (v)$.

Поскольку течение безвихревое, потенциал скорости $\phi$ существует, и его дифференциал просто $d\phi =v_{x}dx+v_{y}dy$. Вместо лечения $v_{x}=v_{x}(x,y)$ и $v_{y}=v_{y}(x,y)$ в качестве зависимых переменных мы используем преобразование координат такое, что $x=x(v_{x},v_{y})$ и $y=y(v_{x},v_{y})$ становятся новыми зависимыми переменными. Аналогично потенциал скорости заменяется новой функцией ( преобразование Лежандра )

$\Phi =xv_{x}+yv_{y}-\phi$

таково, что его дифференциал равен $d\Phi =xdv_{x}+ydv_{y}$, поэтому

$x={\frac {\partial \Phi }{\partial v_{x}}},\quad y={\frac {\partial \Phi }{\partial v_{y}}}.$

Вводя еще одно преобразование координат для независимых переменных из $(v_{x},v_{y})$ к $(v,\theta )$ согласно отношению $v_{x}=v\cos \theta$ и $v_{y}=v\sin \theta$, где $v$ - величина вектора скорости и $\theta$ - угол, который образует вектор скорости с $v_{x}$-ось, зависимые переменные становятся

${\begin{aligned}x&=\cos \theta {\frac {\partial \Phi }{\partial v}}-{\frac {\sin \theta }{v}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }},\\y&=\sin \theta {\frac {\partial \Phi }{\partial v}}+{\frac {\cos \theta }{v}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }},\\\phi &=-\Phi +v{\frac {\partial \Phi }{\partial v}}.\end{aligned}}$

Уравнение неразрывности в новых координатах примет вид

${\frac {d(\rho v)}{dv}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial v}}+{\frac {1}{v}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \theta ^{2}}}\right)+\rho v{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial v^{2}}}=0.$

Для изоэнтропического течения $dh=\rho ^{-1}c^{2}d\rho$, где $c$ это скорость звука. Используя уравнение Бернулли, находим

${\frac {d(\rho v)}{dv}}=\rho \left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)$

где $c=c(v)$. Следовательно, мы имеем

${\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {v^{2}}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial v^{2}}}+v{\frac {\partial \Phi }{\partial v}}=0.$

См. также

• Уравнение Эйлера – Трикоми