Предел потока

Ограничители потока используются в схемах высокого разрешения — числовых схемах, используемых для решения задач в науке и технике, особенно в гидродинамике , описываемых уравнениями в частных производных (PDE). Они используются в схемах высокого разрешения, таких как схема MUSCL , чтобы избежать паразитных колебаний (покачиваний), которые в противном случае возникали бы в схемах пространственной дискретизации высокого порядка из-за потрясений, разрывов или резких изменений в области решения. Использование ограничителей потока вместе с соответствующей схемой высокого разрешения позволяет уменьшить общую вариацию решений (TVD).

Обратите внимание, что ограничители потока также называются ограничителями наклона , поскольку они оба имеют одинаковую математическую форму и оба имеют эффект ограничения градиента решения вблизи скачков напряжения или разрывов. В общем, термин «ограничитель потока» используется, когда ограничитель действует на потоки системы , а термин «ограничитель наклона» используется, когда ограничитель действует на состояния системы (например, давление, скорость и т. д.).

Как они работают

Основная идея построения схем ограничителя потока состоит в том, чтобы ограничить пространственные производные реалистичными значениями - для научных и инженерных задач это обычно означает физически реализуемые и значимые значения. Они используются в схемах высокого разрешения для решения задач, описываемых УЧП, и вступают в действие только при наличии острых волновых фронтов. Для плавно изменяющихся волн ограничители потока не действуют и пространственные производные могут быть представлены приближениями более высокого порядка без введения побочных колебаний. Рассмотрим одномерную полудискретную схему ниже:

${\frac {du_{i}}{dt}}+{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left[F\left(u_{i+{1}/{2}}\right)-F\left(u_{i-{1}/{2}}\right)\right]=0,$

где, $F\left(u_{i+{1}/{2}}\right)$ и $F\left(u_{i-1/2}\right)$ представляют собой краевые потоки для i -й ячейки. Если эти краевые потоки могут быть представлены схемами с низким и высоким разрешением, то ограничитель потока может переключаться между этими схемами в зависимости от градиентов, близких к конкретной ячейке, следующим образом:

$$F\left(u_{i+1/2}\right)=f_{i+1/2}^{\text{low}}-\phi \left(r_{i}\right)\left(f_{i+1/2}^{\text{low}}-f_{i+1/2}^{\text{high}}\right),$$$$F\left(u_{i-1/2}\right)=f_{i-1/2}^{\text{low}}-\phi \left(r_{i-1}\right)\left(f_{i-1/2}^{\text{low}}-f_{i-1/2}^{\text{high}}\right),$$

где

• $f^{\text{low}}$ — поток низкого разрешения,
• $f^{\text{high}}$ — поток высокого разрешения,
• $\phi \ (r)$ — функция ограничителя потока, а
• $r$ представляет собой отношение последовательных градиентов на сетке решения, т. е. $$r_{i}={\frac {u_{i}-u_{i-1}}{u_{i+1}-u_{i}}}.$$

Функция ограничителя должна быть больше или равна нулю, т.е. $\phi \ (r)\geq 0$. Поэтому, когда ограничитель равен нулю (резкий градиент, противоположные наклоны или нулевой градиент), поток представляется схемой с низким разрешением . Аналогично, когда лимитер равен 1 (плавное решение), он представляется схемой высокого разрешения . Различные ограничители имеют разные характеристики переключения и выбираются в соответствии с конкретной проблемой и схемой решения. Не было обнаружено ни одного конкретного ограничителя, который бы хорошо справлялся со всеми задачами, и конкретный выбор обычно делается методом проб и ошибок.

Функции лимитера

Ниже приведены распространенные формы функции ограничителя потока/нарастания: $\phi (r)$:

• ШАРМ [не ТВД 2-го порядка] $$\phi _{cm}(r)={\begin{cases}{\frac {r\left(3r+1\right)}{\left(r+1\right)^{2}}},&r>0,&\lim _{r\to \infty }\phi _{cm}(r)=3\\0\quad \quad \,,&r\leq 0\end{cases}}$$
• HCUS [не TVD 2-го порядка] $$\phi _{hc}(r)={\frac {1.5\left(r+\left|r\right|\right)}{\left(r+2\right)}};\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{hc}(r)=3.$$
• HQUICK [не TVD 2-го порядка] $$\phi _{hq}(r)={\frac {2\left(r+\left|r\right|\right)}{\left(r+3\right)}};\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{hq}(r)=4.$$
• Корен – точность третьего порядка для достаточно гладких данных $$\phi _{kn}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,\min \left({\dfrac {(1+2r)}{3}},2\right)\right)\right];\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{kn}(r)=2.$$
• минмод – симметричный $$\phi _{mm}(r)=\max \left[0,\min \left(1,r\right)\right];\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{mm}(r)=1.$$
• монотонизированный центральный (MC) – симметричный $$\phi _{mc}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,0.5(1+r),2\right)\right];\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{mc}(r)=2.$$
• Ошер $$\phi _{os}(r)=\max \left[0,\min \left(r,\beta \right)\right],\quad \left(1\leq \beta \leq 2\right);\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{os}(r)=\beta .$$
• оспре – симметричный $$\phi _{op}(r)={\frac {1.5\left(r^{2}+r\right)}{\left(r^{2}+r+1\right)}};\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{op}(r)=1.5\,.$$
• умный [не TVD 2-го порядка] $$\phi _{sm}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,\left(0.25+0.75r\right),4\right)\right];\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{sm}(r)=4.$$
• суперби – симметричный $$\phi _{sb}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,1\right),\min \left(r,2\right)\right];\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{sb}(r)=2.$$
• Свеби – симметричный $$\phi _{sw}(r)=\max \left[0,\min \left(\beta r,1\right),\min \left(r,\beta \right)\right],\quad \left(1\leq \beta \leq 2\right);\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{sw}(r)=\beta .$$
• УМИСТ – симметричный $$\phi _{um}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,\left(0.25+0.75r\right),\left(0.75+0.25r\right),2\right)\right];\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{um}(r)=2.$$
• ван Альбада 1 – симметричный $$\phi _{va1}(r)={\frac {r^{2}+r}{r^{2}+1}};\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{va1}(r)=1.$$
• ван Альбада 2 - альтернативная форма [не TVD 2-го порядка], используемая в схемах высокого пространственного порядка $$\phi _{va2}(r)={\frac {2r}{r^{2}+1}};\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{va2}(r)=0.$$
• ван Леер – симметричный $$\phi _{vl}(r)={\frac {r+\left|r\right|}{1+\left|r\right|}};\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{vl}(r)=2.$$
• Все вышеуказанные ограничители, обозначенные как симметричные , обладают следующим свойством симметрии: $${\frac {\phi \left(r\right)}{r}}=\phi \left({\frac {1}{r}}\right).$$

Это желательное свойство, поскольку оно гарантирует, что ограничивающие действия для прямых и обратных градиентов действуют одинаково.

Допустимая область ограничителя для TVD-схем второго порядка.

Если не указано иное, вышеуказанные функции ограничителя являются TVD второго порядка . Это означает, что они спроектированы таким образом, что проходят через определенную область решения, известную как область TVD, чтобы гарантировать стабильность схемы. Ограничители TVD второго порядка удовлетворяют как минимум следующим критериям:

• $r\leq \phi (r)\leq 2r,\left(0\leq r\leq 1\right)\$,
• $1\leq \phi (r)\leq r,\left(1\leq r\leq 2\right)\$,
• $1\leq \phi (r)\leq 2,\left(r>2\right)\$,
• $\phi (1)=1\$,

Допустимая область ограничения для схем TVD второго порядка показана на диаграмме Свеби напротив: а графики, показывающие функции ограничителя, наложенные на область TVD, показаны ниже. На этом изображении графики для ограничителей Osher и Sweby были созданы с использованием $\beta =1.5$.

Функции ограничителя наложены на область TVD второго порядка.

Обобщенный ограничитель минмодов

Дополнительным ограничителем интересной формы является семейство однопараметрических ограничителей minmod Ван-Леера. Это определяется следующим образом $$\phi _{mg}(r,\theta )=\max \left(0,\min \left(\theta r,{\frac {1+r}{2}},\theta \right)\right),\quad \theta \in \left[1,2\right].$$

Примечание: $\phi _{mg}$ является наиболее диссипативным для $\theta =1,$ когда оно сводится к $\phi _{mm},$ и является наименее диссипативным для $\theta =2$.

См. также

• Godunov's theorem
• Схема высокого разрешения
• Схема MUSCL
• Sergei K. Godunov
• Общая вариация уменьшается

Ссылки

• Хирш, К. (1990), Численный расчет внутренних и внешних потоков, Том 2: Методы расчета невязких и вязких потоков , Wiley, ISBN  978-0-471-92452-4
• Леонард, BP; Лешзинер, Массачусетс; МакГирк, Дж. (1978), «Алгоритм QUICK: метод конечных разностей равномерно 3-го порядка для потоков с высокой конвекцией», Proc. 1-я Конф. «Численные методы в ламинарных и турбулентных потоках» , Суонси, с. 807 {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

Дальнейшее чтение

• Лэйни, Калберт Б. (1998), Вычислительная газовая динамика , Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-57069-5
• ЛеВек, Рэндалл (1990), Численные методы определения законов сохранения , Серия лекций ETH по математике, Birkhauser-Verlag, ISBN  3-7643-2464-3
• ЛеВек, Рэндалл (2002), Методы конечных объемов для гиперболических задач , Cambridge University Press, ISBN  0-521-00924-3
• Торо, EF (1999), Решатели Римана и численные методы гидродинамики (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  3-540-65966-8
• Таннехилл, Джон К.; Андерсон, Дейл Арден; Плетчер, Ричард Х. (1997), Вычислительная механика жидкостей и теплопередача (2-е изд.), Тейлор и Фрэнсис, ISBN  1-56032-046-Х
• Весселинг, Питер (2001), Принципы вычислительной гидродинамики , Springer-Verlag, ISBN  3-540-67853-0