Чехарда интеграции
В численном анализе чехарда — это метод численного интегрирования дифференциальных уравнений вида или эквивалент формы особенно в случае динамической системы классической механики .
В разных дисциплинах этот метод известен под разными названиями. В частности, он похож на скоростной метод Верле , который является вариантом интегрирования Верле . Интеграция Leapfrog эквивалентна обновлению позиций и скорости в разные чередующиеся моменты времени расположены в шахматном порядке так, что « перепрыгивают » друг через друга.
Интегрирование чехарды — это метод второго порядка , в отличие от интегрирования Эйлера , который является только первым порядком, но требует такого же количества вычислений функции на шаг. В отличие от интегрирования Эйлера, оно устойчиво при колебательном движении, пока шаг по времени является постоянным, и . [1]
Используя коэффициенты Йошиды и многократно применяя интегратор чехарды с правильными временными шагами, можно создать интегратор гораздо более высокого порядка.
Алгоритм
[ редактировать ]При скачкообразном интегрировании уравнения для обновления положения и скорости имеют вид
где это позиция на шаге , это скорость или первая производная от , на шаге , ускорение или вторая производная , на шаге , и - размер каждого временного шага. Эти уравнения можно выразить в форме, которая также дает скорость с целыми шагами: [2]
Однако в этой синхронизированной форме временной шаг должна быть постоянной для поддержания стабильности. [3]
Синхронизированную форму можно преобразовать в форму «удар-дрейф-удар»;
который в основном используется там, где требуются переменные временные шаги. Разделение расчета ускорения на начало и конец шага означает, что если временное разрешение увеличивается в два раза ( ), то потребуется только один дополнительный (затратный в вычислительном отношении) расчет ускорения.
Одно из применений этого уравнения - моделирование гравитации, поскольку в этом случае ускорение зависит только от положения гравитирующих масс (а не от их скоростей), хотя интеграторы более высокого порядка (такие как методы Рунге – Кутты чаще используются ). .
Есть два основных преимущества отказа от интеграции применительно к задачам механики. Во-первых, это обратимость во времени метода чехарды. Можно интегрировать n шагов вперед, а затем изменить направление интегрирования и интегрировать n шагов назад, чтобы прийти к той же исходной позиции. Вторая сильная сторона — это ее симплектическая природа, которая иногда допускает сохранение (слегка измененной) энергии динамической системы ( это верно только для некоторых простых систем ). Это особенно полезно при вычислении орбитальной динамики, поскольку многие другие схемы интегрирования, такие как метод Рунге – Кутты (четвертого порядка) , не сохраняют энергию и позволяют системе существенно дрейфовать с течением времени.
Из-за своей обратимости во времени и того, что это симплектический интегратор , чехарда также используется в гамильтониане Монте-Карло , методе извлечения случайных выборок из распределения вероятностей, общая нормализация которого неизвестна. [4]
Алгоритмы Йошиды
[ редактировать ]Интегратор-чехарда может быть преобразован в интеграторы более высокого порядка, используя методы Харуо Ёсиды . В этом подходе чехарда применяется на нескольких различных временных шагах. Оказывается, что при последовательном использовании правильных временных шагов ошибки компенсируются, и можно легко создать интеграторы гораздо более высокого порядка. [5] [6]
Интегратор Йошида 4-го порядка
[ редактировать ]Один шаг в рамках интегратора Йошида 4-го порядка требует четырех промежуточных шагов. Положение и скорость вычисляются в разное время. Требуется всего три (дорогих в вычислительном отношении) расчета ускорения.
Уравнения для интегратора 4-го порядка для обновления положения и скорости:
где - исходное положение и скорость, — промежуточное положение и скорость на промежуточном этапе , это ускорение в положении , и — конечное положение и скорость при одном шаге Йошиды четвертого порядка.
Коэффициенты и получены в [6] (см. уравнение (4.6))
Все промежуточные этапы образуют один шаг, который подразумевает, что сумма коэффициентов равна единице: и . Обратите внимание, что положение и скорость вычисляются в разное время, а некоторые промежуточные шаги выполняются в обратном направлении во времени. Для иллюстрации этого приведем числовые значения коэффициенты: , , ,
См. также
[ редактировать ]- Численные методы для решения обыкновенных дифференциальных уравнений
- Симплектическая интеграция
- Интегрирование Эйлера
- Интеграция Верлет
- Интеграция Рунге – Кутты
Ссылки
[ редактировать ]- ^ К.К. Бердсолл и А.Б. Лэнгдон, Физика плазмы с помощью компьютерного моделирования , McGraw-Hill Book Company, 1985, стр. 56.
- ^ 4.1 Два способа написать чехарду
- ^ Скил, Р.Д., «Переменный размер шага дестабилизирует метод Штёмера/чехарды/Верле», BIT Numerical Mathematics , Vol. 33, 1993, с. 172–175.
- ^ Бишоп, Кристофер (2006). Распознавание образов и машинное обучение . Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. 548–554. ISBN 978-0-387-31073-2 .
- ^ "./Ch07.HTML" .
- ^ Jump up to: а б Ёсида, Харуо (1990). «Построение симплектических интеграторов высшего порядка». Буквы по физике А. 150 (5–7): 262–268. дои : 10.1016/0375-9601(90)90092-3 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- [1] , Физика Университета Дрекселя .