Решатель икры

Приближенный решатель Римана Роу , разработанный Филом Роу , представляет собой приближенный решатель Римана, основанный на схеме Годунова и включает в себя поиск оценки межячеечного числового потока или потока Годунова. $F_{i+{\frac {1}{2}}}$ на границе двух вычислительных ячеек $U_{i}$ и $U_{i+1}$ , в некоторой дискретизированной вычислительной области пространства-времени.

Схема Роу

Квазилинейная гиперболическая система

Нелинейная система гиперболических уравнений в частных производных, представляющая собой набор законов сохранения в одном пространственном измерении. можно записать в форме

{\frac {\partial {\boldsymbol {U}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {U}})}{\partial x}}=0.

Применяя цепное правило ко второму члену, получаем квазилинейную гиперболическую систему

{\frac {\partial {\boldsymbol {U}}}{\partial t}}+A({\boldsymbol {U}}){\frac {\partial {\boldsymbol {U}}}{\partial x}}=0,

где $A$ - матрица Якоби вектора потока ${\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {U}})$ .

Матрица Роу

Метод Роу заключается в нахождении матрицы ${\tilde {A}}({\boldsymbol {U}}_{i},{\boldsymbol {U}}_{i+1})$ это считается постоянным между двумя ячейками. Тогда задача Римана может быть решена как истинно линейная гиперболическая система на границе каждой ячейки. Матрица Роу должна подчиняться следующим условиям:

Диагонализуемая с действительными собственными значениями: гарантирует, что новая линейная система действительно гиперболическая.
Соответствие точному якобиану: когда ${\boldsymbol {U}}_{i},{\boldsymbol {U}}_{i+1}\rightarrow {\boldsymbol {U}}$ мы требуем этого ${\tilde {A}}({\boldsymbol {U}}_{i},{\boldsymbol {U}}_{i+1})=A({\boldsymbol {U}})$
Сохранение: ${\boldsymbol {F}}_{i+1}-{\boldsymbol {F}}_{i}={\tilde {A}}({\boldsymbol {U}}_{i+1}-{\boldsymbol {U}}_{i})$

Фил Роу представил метод векторов параметров, чтобы найти такую матрицу для некоторых систем законов сохранения. ^[1]

Межклеточный поток

Как только матрица Роу, соответствующая границе раздела между двумя ячейками, найдена, поток между ячейками определяется путем решения квазилинейной системы как истинно линейной системы.

См. также

Решатель Римана

Ссылки

^ П. Л. Роу (1981). «Приближенные решатели Римана, векторы параметров и разностные схемы». Журнал вычислительной физики . 43 (2): 357–372. дои : 10.1016/0021-9991(81)90128-5 .

Дальнейшее чтение

Торо, Э.Ф. (1999), Решатели Римана и численные методы гидродинамики , Springer-Verlag.

[1] П. Л. Роу (1981). «Приближенные решатели Римана, векторы параметров и разностные схемы». Журнал вычислительной физики . 43 (2): 357–372. дои : 10.1016/0021-9991(81)90128-5 .

[1]