Гомоморфизм Черна – Вейля

В математике гомоморфизм Черна-Вейля является базовой конструкцией в теории Черна-Вейля , которая вычисляет топологические инварианты векторных расслоений и главных расслоений на гладком многообразии M в терминах связностей и кривизны, представляющих классы в когомологий де кольцах M. Рама То есть теория образует мост между областями алгебраической топологии и дифференциальной геометрии . Он был разработан в конце 1940-х годов Шиинг-Шеном Черном и Андре Вейлем после доказательства обобщенной теоремы Гаусса-Бонне . Эта теория явилась важным шагом в теории характеристических классов .

Пусть G — действительная или комплексная группа Ли с алгеброй Ли ${\mathfrak {g}}$, и пусть $\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]$ обозначим алгебру $\mathbb {C}$-значные полиномы на ${\mathfrak {g}}$ (точно тот же аргумент работает, если мы использовали $\mathbb {R}$ вместо $\mathbb {C}$). Позволять $\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}$ — подалгебра неподвижных точек в $\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]$ при действии G ; присоединенном то есть подалгебра, состоящая из всех многочленов f таких, что $f(\operatorname {Ad} _{g}x)=f(x)$, для всех g в G и x в ${\mathfrak {g}}$,

Для главного G-расслоения P на M существует ассоциированный гомоморфизм $\mathbb {C}$-алгебры,

$\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to H^{*}(M;\mathbb {C} )$,

называется гомоморфизмом Черна–Вейля , где на правых когомологиях находятся когомологии де Рама . Этот гомоморфизм получается взятием инвариантных полиномов кривизны любой связности данного расслоения. Если G компактна или полупроста, то кольцо когомологий пространства -расслоений G классифицирующего $BG$, изоморфна алгебре $\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}$ инвариантных полиномов:

$H^{*}(BG;\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}.$

(Кольцо когомологий BG все еще может быть задано в смысле де Рама:

$H^{k}(BG;\mathbb {C} )=\varinjlim \operatorname {ker} (d\colon \Omega ^{k}(B_{j}G)\to \Omega ^{k+1}(B_{j}G))/\operatorname {im} d.$

когда $BG=\varinjlim B_{j}G$ и $B_{j}G$ являются многообразиями.)

Определение гомоморфизма

Выберите любую форму связности ω в P , и пусть Ω — соответствующая форма кривизны ; то есть, $\Omega =D\omega$, внешняя ковариантная производная ω. Если $f\in \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}$ — однородная полиномиальная функция степени k ; то есть, $f(ax)=a^{k}f(x)$ для любого комплексного числа a и x в ${\mathfrak {g}}$, то, рассматривая f как симметричный полилинейный функционал на ${\textstyle \prod _{1}^{k}{\mathfrak {g}}}$ (см. кольцо полиномиальных функций ), пусть

$f(\Omega )$

— (скалярная) 2 k -форма на P , заданная формулой

$f(\Omega )(v_{1},\dots ,v_{2k})={\frac {1}{(2k)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{2k}}\epsilon _{\sigma }f(\Omega (v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)}),\dots ,\Omega (v_{\sigma (2k-1)},v_{\sigma (2k)}))$

где vi _— касательные векторы к P , $\epsilon _{\sigma }$ это знак перестановки $\sigma$ в симметричной группе на 2k числах ${\mathfrak {S}}_{2k}$ (см. формы со значениями алгебры Ли#Операции , а также пфаффиан ).

Если, кроме того, f инвариантно; то есть, $f(\operatorname {Ad} _{g}x)=f(x)$, то можно показать, что $f(\Omega )$ является замкнутой формой , она сводится к единственной форме на M и что класс когомологий де Рама формы не зависит от $\omega$. Во-первых, это $f(\Omega )$ является замкнутой формой, следует из следующих двух лемм:

Лемма 1: Форма $f(\Omega )$ на P сводится к (уникальной) форме ${\overline {f}}(\Omega )$ на М ; т. е. существует форма на M , которая возвращается к $f(\Omega )$.

Лемма 2: Если форма $\varphi$ на P спускается к форме на M , то $d\varphi =D\varphi$.

Действительно, вторая личность Бьянки говорит $D\Omega =0$ и, поскольку D является градуированным выводом, $Df(\Omega )=0.$ Наконец, лемма 1 гласит $f(\Omega )$ удовлетворяет условию леммы 2.

Чтобы увидеть лемму 2, пусть $\pi \colon P\to M$ быть проекцией, а h - проекцией $T_{u}P$ на горизонтальное подпространство. Тогда лемма 2 является следствием того, что $d\pi (hv)=d\pi (v)$ (ядро $d\pi$ является в точности вертикальным подпространством.) Что касается леммы 1, сначала отметим

$f(\Omega )(dR_{g}(v_{1}),\dots ,dR_{g}(v_{2k}))=f(\Omega )(v_{1},\dots ,v_{2k}),\,R_{g}(u)=ug;$

это потому что $R_{g}^{*}\Omega =\operatorname {Ad} _{g^{-1}}\Omega$ и f инвариантен. Таким образом, можно определить ${\overline {f}}(\Omega )$ по формуле:

${\overline {f}}(\Omega )({\overline {v_{1}}},\dots ,{\overline {v_{2k}}})=f(\Omega )(v_{1},\dots ,v_{2k}),$

где $v_{i}$ есть ли лифты ${\overline {v_{i}}}$: $d\pi (v_{i})={\overline {v}}_{i}$.

Далее мы покажем, что класс когомологий де Рама ${\overline {f}}(\Omega )$ на M не зависит от выбора соединения. Позволять $\omega _{0},\omega _{1}$ — произвольные формы связности на P и пусть $p\colon P\times \mathbb {R} \to P$ быть проекцией. Помещать

$\omega '=t\,p^{*}\omega _{1}+(1-t)\,p^{*}\omega _{0}$

где t — гладкая функция на $P\times \mathbb {R}$ данный $(x,s)\mapsto s$. Позволять $\Omega ',\Omega _{0},\Omega _{1}$ быть формами кривизны $\omega ',\omega _{0},\omega _{1}$. Позволять $i_{s}:M\to M\times \mathbb {R} ,\,x\mapsto (x,s)$ быть включениями. Затем $i_{0}$ гомотопен $i_{1}$. Таким образом, $i_{0}^{*}{\overline {f}}(\Omega ')$ и $i_{1}^{*}{\overline {f}}(\Omega ')$ принадлежат одному и тому же классу когомологий де Рама в силу гомотопической инвариантности когомологий де Рама . Наконец, по естественности и единственности происхождения,

$i_{0}^{*}{\overline {f}}(\Omega ')={\overline {f}}(\Omega _{0})$

и то же самое для $\Omega _{1}$. Следовательно, ${\overline {f}}(\Omega _{0}),{\overline {f}}(\Omega _{1})$ принадлежат одному и тому же классу когомологий.

Таким образом, конструкция дает линейное отображение: (см. лемму 1)

$\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]_{k}^{G}\to H^{2k}(M;\mathbb {C} ),\,f\mapsto \left[{\overline {f}}(\Omega )\right].$

Фактически, можно проверить, что полученная таким образом карта:

$\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to H^{*}(M;\mathbb {C} )$

является гомоморфизмом алгебры .

Пример: классы Черна и персонаж Черна.

Позволять $G=\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ и ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )$ это алгебра Ли. Для каждого х в ${\mathfrak {g}}$, мы можем рассмотреть его характеристический полином по t :

$\det \left(I-t{x \over 2\pi i}\right)=\sum _{k=0}^{n}f_{k}(x)t^{k},$

где я — квадратный корень из -1. Затем $f_{k}$ являются инвариантными полиномами от ${\mathfrak {g}}$, поскольку левая часть уравнения равна. k -й E класс Чженя гладкого комплексно-векторного расслоения ранга n на многообразии M :

$c_{k}(E)\in H^{2k}(M,\mathbb {Z} )$

представлен как образ $f_{k}$ при гомоморфизме Черна–Вейля, определенном E (точнее, расслоении реперов E ). Если т = 1, то $\det \left(I-{x \over 2\pi i}\right)=1+f_{1}(x)+\cdots +f_{n}(x)$ является инвариантным полиномом. Полный класс Чженя E ; является образом этого многочлена то есть,

$c(E)=1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E).$

Непосредственно из определения можно показать, что $c_{j}$ и c, приведенные выше, удовлетворяют аксиомам классов Чженя. Например, для формулы суммы Уитни мы рассматриваем

$c_{t}(E)=[\det \left(I-t{\Omega /2\pi i}\right)],$

где мы написали $\Omega$ для 2-формы кривизны на M векторного расслоения E (поэтому она является потомком формы кривизны на расслоении реперов E ). Гомоморфизм Черна–Вейля будет таким же, если использовать этот $\Omega$. Теперь предположим, что E — прямая сумма векторных расслоений $E_{i}$'песок $\Omega _{i}$ форма кривизны $E_{i}$ так что в матричном члене $\Omega$ - это блочная диагональная матрица с Ω _I на диагонали. Тогда, поскольку ${\textstyle \det(I-t{\frac {\Omega }{2\pi i}})=\det(I-t{\frac {\Omega _{1}}{2\pi i}})\wedge \dots \wedge \det(I-t{\frac {\Omega _{m}}{2\pi i}})}$, у нас есть:

$c_{t}(E)=c_{t}(E_{1})\cdots c_{t}(E_{m})$

где справа умножение — это умножение кольца когомологий: произведение чашки . Для свойства нормализации вычисляется первый класс Чженя комплексной проективной прямой ; см. класс Черна # Пример: комплексное касательное расслоение сферы Римана .

С $\Omega _{E\otimes E'}=\Omega _{E}\otimes I_{E'}+I_{E}\otimes \Omega _{E'}$, у нас также есть:

$c_{1}(E\otimes E')=c_{1}(E)\operatorname {rank} (E')+\operatorname {rank} (E)c_{1}(E').$

Наконец, Черна E характер определяется выражением

$\operatorname {ch} (E)=[\operatorname {tr} (e^{-\Omega /2\pi i})]\in H^{*}(M,\mathbb {Q} )$

где $\Omega$ есть форма кривизны некоторой связности на E (поскольку $\Omega$ нильпотентен, это полином от $\Omega$.) Тогда ch — кольцевой гомоморфизм :

$\operatorname {ch} (E\oplus F)=\operatorname {ch} (E)+\operatorname {ch} (F),\,\operatorname {ch} (E\otimes F)=\operatorname {ch} (E)\operatorname {ch} (F).$

Предположим теперь, что в некотором кольце R, содержащем кольцо когомологий $H^{*}(M,\mathbb {C} )$, существует факторизация полинома по t :

$c_{t}(E)=\prod _{j=0}^{n}(1+\lambda _{j}t)$

где $\lambda _{j}$ находятся в R (иногда их называют корнями Черна). Тогда $\operatorname {ch} (E)=e^{\lambda _{j}}$.

Пример: классы Понтрягина

Если E вещественное векторное расслоение на многообразии M , то k -й класс Понтрягина E — гладкое задается как:

$p_{k}(E)=(-1)^{k}c_{2k}(E\otimes \mathbb {C} )\in H^{4k}(M;\mathbb {Z} )$

где мы написали $E\otimes \mathbb {C}$ для комплексификации E ​ . Эквивалентно, это образ при гомоморфизме Черна – Вейля инвариантного многочлена $g_{2k}$ на ${\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )$ предоставлено:

$\operatorname {det} \left(I-t{x \over 2\pi }\right)=\sum _{k=0}^{n}g_{k}(x)t^{k}.$

Гомоморфизм голоморфных векторных расслоений

Пусть E — голоморфное (комплексное) векторное расслоение на комплексном многообразии M . Форма кривизны $\Omega$ формы E относительно некоторой эрмитовой метрики не просто 2-форма, но фактически (1, 1)-форма (см. голоморфное векторное расслоение#Эрмитовы метрики на голоморфном векторном расслоении ). Следовательно, гомоморфизм Черна–Вейля принимает вид: при $G=\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$,

$\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]_{k}\to H^{k,k}(M;\mathbb {C} ),f\mapsto [f(\Omega )].$

Ссылки

• Ботт, Рауль (1973), «О гомоморфизме Черна – Вейля и непрерывных когомологиях групп Ли», Advances in Mathematics , 11 (3): 289–303, doi : 10.1016/0001-8708(73)90012-1 .
• Черн, Шиинг-Шен (1951), Темы дифференциальной геометрии , Институт перспективных исследований, конспекты лекций, отпечатанные на мимеографе .
• Черн, Шиинг-Шен (1995), Комплексные многообразия без теории потенциала , Springer-Verlag , ISBN  0-387-90422-0 , ISBN   3-540-90422-0 . (Приложение к этой книге «Геометрия характеристических классов» представляет собой очень аккуратное и глубокое введение в развитие идей характеристических классов.)
• Черн, Шиинг-Шен ; Саймонс, Джеймс (1974), «Характеристические формы и геометрические инварианты», Annals of Mathematics , Second Series, 99 (1): 48–69, doi : 10.2307/1971013 , JSTOR   1971013 .
• Кобаяши, Сошичи ; Номидзу, Кацуми (1969), Основы дифференциальной геометрии , том. 2 (новое издание), Wiley-Interscience (опубликовано в 2004 г.), MR   0152974 .
• Нарасимхан, MS ; Раманан, С. (1961), «Существование универсальных связей» (PDF) , American Journal of Mathematics , 83 (3): 563–572, doi : 10.2307/2372896 , hdl : 10338.dmlcz/700905 , JSTOR   2372896 , MR   0133772 .
• Морита, Сигэюки (2000), «Геометрия дифференциальных форм», Переводы математических монографий , 201 , MR   1851352 .

Дальнейшее чтение

• Фрид, Дэниел С .; Хопкинс, Майкл Дж. (2013). «Формы Черна-Вейля и абстрактная теория гомотопий». Бюллетень Американского математического общества . (НС). 50 (3): 431–468. arXiv : 1301.5959 . дои : 10.1090/S0273-0979-2013-01415-0 . МР   3049871 . S2CID   51755613 .