Неравенство Харди

Неравенство Харди — неравенство в математике , названное в честь Г.Х. Харди . В нем говорится, что если $a_{1},a_{2},a_{3},\dots$ является последовательностью неотрицательных > действительных чисел , то для каждого действительного числа p 1 имеется

$\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right)^{p}\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}.$

Если правая часть конечна, равенство имеет место тогда и только тогда, когда $a_{n}=0$ для всех н .

Интегральная f версия неравенства Харди гласит следующее: если — измеримая функция с неотрицательными значениями, то

$\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p}\,dx\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx.$

Если правая часть конечна, равенство выполняется тогда и только тогда, когда f ( x ) = 0 почти всюду .

Неравенство Харди было впервые опубликовано и доказано (по крайней мере, дискретная версия с худшей константой) в 1920 году в заметке Харди. Исходная формулировка имела интегральную форму, несколько отличавшуюся от приведенной выше.

Общая одномерная версия

Общая взвешенная одномерная версия выглядит следующим образом:

• Если $\alpha +{\tfrac {1}{p}}<1$, затем

$\int _{0}^{\infty }{\biggl (}y^{\alpha -1}\int _{0}^{y}x^{-\alpha }f(x)\,dx{\biggr )}^{p}\,dy\leq {\frac {1}{{\bigl (}1-\alpha -{\frac {1}{p}}{\bigr )}^{p}}}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx$

• Если $\alpha +{\tfrac {1}{p}}>1$, затем

$\int _{0}^{\infty }{\biggl (}y^{\alpha -1}\int _{y}^{\infty }x^{-\alpha }f(x)\,dx{\biggr )}^{p}\,dy\leq {\frac {1}{{\bigl (}\alpha +{\frac {1}{p}}-1{\bigr )}^{p}}}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx.$

Многомерные версии

Многомерное неравенство Харди вокруг точки

В многомерном случае неравенство Харди можно расширить до $L^{p}$-пространства, принимающие вид

$\left\|{\frac {f}{|x|}}\right\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}\leq {\frac {p}{n-p}}\|\nabla f\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})},2\leq n,1\leq p<n,$

где $f\in C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$, и где константа ${\frac {p}{n-p}}$ известен как острый; по плотности оно простирается тогда до пространства Соболева $W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})$.

Аналогично, если $p>n\geq 2$, то для каждого $f\in C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$

${\Big (}1-{\frac {n}{p}}{\Big )}^{p}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {\vert f(x)-f(0)\vert ^{p}}{|x|^{p}}}dx\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}\vert \nabla f\vert ^{p}.$

Многомерное неравенство Харди вблизи границы

Если $\Omega \subsetneq \mathbb {R} ^{n}$ — непустое выпуклое открытое множество, то для любого $f\in W^{1,p}(\Omega )$,

${\Big (}1-{\frac {1}{p}}{\Big )}^{p}\int _{\Omega }{\frac {\vert f(x)\vert ^{p}}{\operatorname {dist} (x,\partial \Omega )^{p}}}\,dx\leq \int _{\Omega }\vert \nabla f\vert ^{p},$

и константа не может быть улучшена.

Дробное неравенство Харди

Если $1\leq p<\infty$ и $0<\lambda <\infty$, $\lambda \neq 1$, существует константа $C$ такой, что для каждого $f:(0,\infty )\to \mathbb {R}$ удовлетворяющий $\int _{0}^{\infty }\vert f(x)\vert ^{p}/x^{\lambda }\,dx<\infty$, у одного есть

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\vert f(x)\vert ^{p}}{x^{\lambda }}}\,dx\leq C\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {\vert f(x)-f(y)\vert ^{p}}{\vert x-y\vert ^{1+\lambda }}}\,dx\,dy.$

Доказательство неравенства

Интегральная версия

Замена переменных дает

$\left(\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p}\ dx\right)^{1/p}=\left(\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{1}f(sx)\,ds\right)^{p}\,dx\right)^{1/p},$

что меньше или равно $\int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{\infty }f(sx)^{p}\,dx\right)^{1/p}\,ds$ по интегральному неравенству Минковского . Наконец, после еще одной замены переменных последнее выражение равно

$\int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx\right)^{1/p}s^{-1/p}\,ds={\frac {p}{p-1}}\left(\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx\right)^{1/p}.$

Дискретная версия: от непрерывной версии

Предполагая, что правая часть конечна, мы должны иметь $a_{n}\to 0$ как $n\to \infty$. Следовательно, для любого положительного целого числа j существует лишь конечное число членов, больших, чем $2^{-j}$. Это позволяет построить убывающую последовательность $b_{1}\geq b_{2}\geq \dotsb$ содержащая те же положительные члены, что и исходная последовательность (но, возможно, не имеющая нулевых членов). С $a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{n}\leq b_{1}+b_{2}+\dotsb +b_{n}$ для каждого n достаточно показать неравенство для новой последовательности. Это следует непосредственно из интегральной формы, определяющей $f(x)=b_{n}$ если $n-1<x<n$ и $f(x)=0$ в противном случае. Действительно, у человека есть

$\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}^{p}$

и, для $n-1<x<n$, там держится

${\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt={\frac {b_{1}+\dots +b_{n-1}+(x-n+1)b_{n}}{x}}\geq {\frac {b_{1}+\dots +b_{n}}{n}}$

(последнее неравенство эквивалентно $(n-x)(b_{1}+\dots +b_{n-1})\geq (n-1)(n-x)b_{n}$, что верно, поскольку новая последовательность уменьшается) и, таким образом,

$\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {b_{1}+\dots +b_{n}}{n}}\right)^{p}\leq \int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p}\,dx$.

Дискретная версия: прямое доказательство

Позволять $p>1$ и пусть $b_{1},\dots ,b_{n}$ быть положительными действительными числами. Набор $S_{k}=\sum _{i=1}^{k}b_{i}$. Сначала докажем неравенство

$\sum _{n=1}^{N}{\frac {S_{n}^{p}}{n^{p}}}\leq {\frac {p}{p-1}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {b_{n}S_{n}^{p-1}}{n^{p-1}}},$ ( * )

Позволять $T_{n}={\frac {S_{n}}{n}}$ и пусть $\Delta _{n}$ быть разницей между $n$-е слагаемые в правой и левой частях * , т.е. $\Delta _{n}:=T_{n}^{p}-{\frac {p}{p-1}}b_{n}T_{n}^{p-1}$. У нас есть:

$\Delta _{n}=T_{n}^{p}-{\frac {p}{p-1}}b_{n}T_{n}^{p-1}=T_{n}^{p}-{\frac {p}{p-1}}(nT_{n}-(n-1)T_{n-1})T_{n}^{p-1}$

или

$\Delta _{n}=T_{n}^{p}\left(1-{\frac {np}{p-1}}\right)+{\frac {p(n-1)}{p-1}}T_{n-1}T_{n}^{p}.$

Согласно неравенству Юнга имеем:

$T_{n-1}T_{n}^{p-1}\leq {\frac {T_{n-1}^{p}}{p}}+(p-1){\frac {T_{n}^{p}}{p}},$

из чего следует, что:

$\Delta _{n}\leq {\frac {n-1}{p-1}}T_{n-1}^{p}-{\frac {n}{p-1}}T_{n}^{p}.$

Телескопируя, мы имеем:

${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\Delta _{n}&\leq 0-{\frac {1}{p-1}}T_{1}^{p}+{\frac {1}{p-1}}T_{1}^{p}-{\frac {2}{p-1}}T_{2}^{p}+{\frac {2}{p-1}}T_{2}^{p}-{\frac {3}{p-1}}T_{3}^{p}+\dotsb +{\frac {N-1}{p-1}}T_{N-1}^{p}-{\frac {N}{p-1}}T_{N}^{p}\\&=-{\frac {N}{p-1}}T_{N}^{p}<0,\end{aligned}}$

доказательство * . Применяя неравенство Гёльдера к правой части *, имеем:

$\sum _{n=1}^{N}{\frac {S_{n}^{p}}{n^{p}}}\leq {\frac {p}{p-1}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {b_{n}S_{n}^{p-1}}{n^{p-1}}}\leq {\frac {p}{p-1}}\left(\sum _{n=1}^{N}b_{n}^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{n=1}^{N}{\frac {S_{n}^{p}}{n^{p}}}\right)^{(p-1)/p}$

откуда сразу получаем:

$\sum _{n=1}^{N}{\frac {S_{n}^{p}}{n^{p}}}\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{N}b_{n}^{p}.$

Сдача в аренду $N\rightarrow \infty$ получаем неравенство Харди.

См. также

• Неравенство Карлемана

Ссылки

• Харди, GH; Литтлвуд, Дж. Э.; Полиа, Г. (1952). Неравенства (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-35880-9 .

• Куфнер, Алоис; Перссон, Ларс-Эрик (2003). Весовые неравенства типа Харди . Мировое научное издательство. ISBN  981-238-195-3 .

• Масмуди, Надер (2011), «О неравенстве Харди», Дирка Шлейхера; Мальте Лакманн (ред.), Приглашение к математике , Springer Berlin Heidelberg, ISBN  978-3-642-19533-4 .
• Ружанский, Михаил; Сураган, Дурвудхан (2019). Неравенства Харди на однородных группах: 100 лет неравенства Харди . Биркхойзер Базель. ISBN  978-3-030-02895-4 .

Внешние ссылки

• «Неравенство Харди» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]