Топологии на пространствах линейных отображений

В математике , особенно в функциональном анализе , пространства линейных отображений между двумя векторными пространствами могут быть наделены разнообразными топологиями . Изучение пространства линейных карт и этих топологий может дать представление о самих пространствах.

В статье «Операторные топологии» обсуждаются топологии пространств линейных отображений между нормированными пространствами , тогда как в этой статье обсуждаются топологии таких пространств в более общей ситуации топологических векторных пространств (TVS).

Топологии равномерной сходимости на произвольных пространствах отображений

Везде предполагается следующее:

1. $T$ любое непустое множество и ${\mathcal {G}}$ представляет собой непустую совокупность подмножеств $T$ направлено включением подмножества (т.е. для любого $G,H\in {\mathcal {G}}$ существует какой-то $K\in {\mathcal {G}}$ такой, что $G\cup H\subseteq K$).
2. $Y$ является топологическим векторным пространством (не обязательно Хаусдорфовым или локально выпуклым).
3. ${\mathcal {N}}$ является базисом окрестностей 0 в $Y.$
4. $F$ является векторным подпространством $Y^{T}=\prod _{t\in T}Y,$ что обозначает множество всех $Y$-значные функции $f:T\to Y$ с доменом $T.$

𝒢-топология

Следующие множества будут составлять основные открытые подмножества топологий пространств линейных отображений.Для любых подмножеств $G\subseteq T$ и $N\subseteq Y,$ позволять $${\mathcal {U}}(G,N):=\{f\in F:f(G)\subseteq N\}.$$

Семья $$\{{\mathcal {U}}(G,N):G\in {\mathcal {G}},N\in {\mathcal {N}}\}$$образует основу соседства в начале уникальной трансляционно-инвариантной топологии на $F,$ где эта топология не обязательно является векторной топологией (т. е. она может не делать $F$ в ТВС). Эта топология не зависит от базиса окрестности. ${\mathcal {N}}$ который был выбран и известен как топология равномерной сходимости на множествах в ${\mathcal {G}}$ или как ${\mathcal {G}}$-топология . Однако это название часто меняется в зависимости от типа наборов, составляющих его. ${\mathcal {G}}$ (например, «топология равномерной сходимости на компактах» или «топология компактной сходимости», более подробную информацию см. в сноске). ).

Подмножество ${\mathcal {G}}_{1}$ из ${\mathcal {G}}$ считается фундаментальным по отношению к ${\mathcal {G}}$ если каждый $G\in {\mathcal {G}}$ является подмножеством некоторого элемента в ${\mathcal {G}}_{1}.$ В этом случае коллекция ${\mathcal {G}}$ можно заменить на ${\mathcal {G}}_{1}$ без изменения топологии на $F.$ Можно также заменить ${\mathcal {G}}$ с совокупностью всех подмножеств всех конечных объединений элементов ${\mathcal {G}}$ без изменения результата ${\mathcal {G}}$-топология на $F.$

Вызов подмножества $B$ из $T$ $F$-ограничено, если $f(B)$ является ограниченным подмножеством $Y$ для каждого $f\in F.$

Теорема — ​ ${\mathcal {G}}$-топология на $F$ совместим со структурой векторного пространства $F$ тогда и только тогда, когда каждый $G\in {\mathcal {G}}$ является $F$-ограниченный; то есть тогда и только тогда, когда для каждого $G\in {\mathcal {G}}$ и каждый $f\in F,$ $f(G)$ ограничен ​ ​ $Y.$

Характеристики

Теперь будут описаны свойства базовых открытых множеств, поэтому предположим, что $G\in {\mathcal {G}}$ и $N\in {\mathcal {N}}.$ Затем ${\mathcal {U}}(G,N)$ представляет собой поглощающее подмножество $F$ тогда и только тогда, когда для всех $f\in F,$ $N$ поглощает $f(G)$. Если $N$ сбалансирован ​ (соответственно выпуклый ) то так же ${\mathcal {U}}(G,N).$

Равенство ${\mathcal {U}}(\varnothing ,N)=F$всегда держит. Если $s$ тогда это скаляр $s{\mathcal {U}}(G,N)={\mathcal {U}}(G,sN),$ так что, в частности, $-{\mathcal {U}}(G,N)={\mathcal {U}}(G,-N).$Более того, $${\mathcal {U}}(G,N)-{\mathcal {U}}(G,N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,N-N)$$и аналогично $${\mathcal {U}}(G,M)+{\mathcal {U}}(G,N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,M+N).$$

Для любых подмножеств $G,H\subseteq X$ и любые непустые подмножества $M,N\subseteq Y,$$${\mathcal {U}}(G\cup H,M\cap N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,M)\cap {\mathcal {U}}(H,N)$$что подразумевает:

• если $M\subseteq N$ затем ${\mathcal {U}}(G,M)\subseteq {\mathcal {U}}(G,N).$
• если $G\subseteq H$ затем ${\mathcal {U}}(H,N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,N).$
• Для любого $M,N\in {\mathcal {N}}$ и подмножества $G,H,K$ из $T,$ если $G\cup H\subseteq K$ затем ${\mathcal {U}}(K,M\cap N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,M)\cap {\mathcal {U}}(H,N).$

Для любой семьи ${\mathcal {S}}$ подмножеств $T$ и любая семья ${\mathcal {M}}$ окрестностей происхождения в $Y,$ $${\mathcal {U}}\left(\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}S,N\right)=\bigcap _{S\in {\mathcal {S}}}{\mathcal {U}}(S,N)\qquad {\text{ and }}\qquad {\mathcal {U}}\left(G,\bigcap _{M\in {\mathcal {M}}}M\right)=\bigcap _{M\in {\mathcal {M}}}{\mathcal {U}}(G,M).$$

Единая структура

См. Также: Единообразное пространство

Для любого $G\subseteq T$ и $U\subseteq Y\times Y$ быть окружением любым $Y$ (где $Y$ наделен своей канонической однородностью ), пусть $${\mathcal {W}}(G,U)~:=~\left\{(u,v)\in Y^{T}\times Y^{T}~:~(u(g),v(g))\in U\;{\text{ for every }}g\in G\right\}.$$ Данный $G\subseteq T,$ семья всех наборов ${\mathcal {W}}(G,U)$ как $U$ охватывает любую фундаментальную систему окружения $Y$ образует фундаментальную систему окружения для единой структуры на $Y^{T}$ называемая равномерностью равномерного, сходится на $G$ или просто $G$-конвергенция однородной структуры . ${\mathcal {G}}$-сходимость равномерная структура является наименьшей верхней границей всех $G$-схождение однородных структур как $G\in {\mathcal {G}}$ колеблется в пределах ${\mathcal {G}}.$

Сети и равномерная сходимость

Позволять $f\in F$ и пусть $f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}$ быть сетью в $F.$ Тогда для любого подмножества $G$ из $T,$ скажи это $f_{\bullet }$ сходится равномерно к $f$ на $G$ если для каждого $N\in {\mathcal {N}}$ существует какой-то $i_{0}\in I$ такой, что для каждого $i\in I$ удовлетворяющий $i\geq i_{0},I$ $f_{i}-f\in {\mathcal {U}}(G,N)$ (или, что то же самое, $f_{i}(g)-f(g)\in N$ для каждого $g\in G$).

Теорема - Если $f\in F$ и если $f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}$ это сеть в $F,$ затем $f_{\bullet }\to f$ в ${\mathcal {G}}$-топология на $F$ тогда и только тогда, когда для каждого $G\in {\mathcal {G}},$ $f_{\bullet }$ сходится равномерно к $f$ на $G.$

Унаследованные свойства

Локальная выпуклость

Если $Y$ , локально выпукла то и ${\mathcal {G}}$-топология на $F$ и если $\left(p_{i}\right)_{i\in I}$ является семейством непрерывных полунорм, порождающих эту топологию на $Y$ тогда ${\mathcal {G}}$-топология индуцируется следующим семейством полунорм: $$p_{G,i}(f):=\sup _{x\in G}p_{i}(f(x)),$$как $G$ варьируется в зависимости от ${\mathcal {G}}$ и $i$ варьируется в зависимости от $I$.

Хаусдорфность

Если $Y$ это Хаусдорф и $T=\bigcup _{G\in {\mathcal {G}}}G$ тогда ${\mathcal {G}}$-топология на $F$ является Хаусдорф.

Предположим, что $T$ является топологическим пространством. Если $Y$ это Хаусдорф и $F$ векторное подпространство $Y^{T}$ состоящее из всех непрерывных отображений, ограниченных на каждом $G\in {\mathcal {G}}$ и если $\bigcup _{G\in {\mathcal {G}}}G$ плотный в $T$ тогда ${\mathcal {G}}$-топология на $F$ является Хаусдорф.

Ограниченность

Подмножество $H$ из $F$ ограничен ​ в ${\mathcal {G}}$-топология тогда и только тогда, когда для каждого $G\in {\mathcal {G}},$ $H(G)=\bigcup _{h\in H}h(G)$ ограничен $Y.$

Примеры 𝒢-топологий

Поточечная сходимость

Если мы позволим ${\mathcal {G}}$ — множество всех конечных подмножеств $T$ тогда ${\mathcal {G}}$-топология на $F$ называется топологией поточечной сходимости . Топология поточечной сходимости на $F$ идентична топологии подпространства, которая $F$ наследует от $Y^{T}$ когда $Y^{T}$ наделен обычной топологией продукта .

Если $X$ — нетривиальное вполне регулярное топологическое пространство Хаусдорфа и $C(X)$ - это пространство всех действительных (или комплексных) непрерывных функций на $X,$ топология поточечной сходимости на $C(X)$ метризуемо когда тогда и только тогда, $X$ является счетным.

𝒢-топологии на пространствах непрерывных линейных отображений

На протяжении всего этого раздела мы будем предполагать, что $X$ и $Y$ являются топологическими векторными пространствами . ${\mathcal {G}}$ будет непустой коллекцией подмножеств $X$ направляется включением. $L(X;Y)$ будет обозначать векторное пространство всех непрерывных линейных отображений из $X$ в $Y.$ Если $L(X;Y)$ предоставляется ${\mathcal {G}}$-топология, унаследованная от $Y^{X}$ то это пространство с такой топологией обозначается через $L_{\mathcal {G}}(X;Y)$.Непрерывное двойственное пространство топологического векторного пространства. $X$ над полем $\mathbb {F}$ (которые мы будем считать действительными или комплексными числами ) — это векторное пространство $L(X;\mathbb {F} )$ и обозначается $X^{\prime }$.

The ${\mathcal {G}}$-топология на $L(X;Y)$ совместим со структурой векторного пространства $L(X;Y)$ тогда и только тогда, когда для всех $G\in {\mathcal {G}}$ и все $f\in L(X;Y)$ набор $f(G)$ ограничен $Y,$ что, как мы предполагаем, и будет иметь место в оставшейся части статьи. Особо отметим, что это имеет место, если ${\mathcal {G}}$ состоит из (фон Неймана) ограниченных подмножеств $X.$

Предположения относительно 𝒢

Предположения, гарантирующие векторную топологию

• ( ${\mathcal {G}}$ направляется): ${\mathcal {G}}$ будет непустой коллекцией подмножеств $X$ направляется включением (подмножества). То есть для любого $G,H\in {\mathcal {G}},$ существует $K\in {\mathcal {G}}$ такой, что $G\cup H\subseteq K$.

Вышеприведенное предположение гарантирует, что совокупность множеств ${\mathcal {U}}(G,N)$ образует основу фильтра . Следующее предположение будет гарантировать, что множества ${\mathcal {U}}(G,N)$ сбалансированы ​ . Каждый TVS имеет базис окрестности в 0, состоящий из сбалансированных наборов, поэтому это предположение не является обременительным.

• ( $N\in {\mathcal {N}}$ сбалансированы): ${\mathcal {N}}$ является базисом окрестностей происхождения в $Y$ который полностью состоит из сбалансированных наборов.

Следующее предположение делается очень часто, поскольку оно гарантирует, что каждый набор ${\mathcal {U}}(G,N)$ поглощает $L(X;Y).$

• ( $G\in {\mathcal {G}}$ ограничены): ${\mathcal {G}}$ предполагается, что он полностью состоит из ограниченных подмножеств $X.$

Следующая теорема дает способы, с помощью которых ${\mathcal {G}}$ могут быть изменены без изменения результата ${\mathcal {G}}$-топология на $Y.$

Теорема - Позволять ${\mathcal {G}}$ быть непустой совокупностью ограниченных подмножеств $X.$ Тогда ${\mathcal {G}}$-топология на $L(X;Y)$ не изменяется, если ${\mathcal {G}}$ заменяется любым из следующих наборов (также ограниченных) подмножеств $X$:

1. все подмножества всех конечных объединений множеств в ${\mathcal {G}}$;
2. все скалярные кратные всех наборов в ${\mathcal {G}}$;
3. все конечные суммы Минковского множеств из ${\mathcal {G}}$;
4. сбалансированный корпус каждого набора в ${\mathcal {G}}$;
5. закрытие каждого сета в ${\mathcal {G}}$;

и если $X$ и $Y$ локально выпуклы, то к этому списку можно добавить:

6. замкнутая выпуклая сбалансированная оболочка каждого множества в ${\mathcal {G}}.$

Общие предположения

Некоторые авторы (например, Наричи) требуют, чтобы ${\mathcal {G}}$ удовлетворяют следующему условию, из которого, в частности, следует, что ${\mathcal {G}}$ направляется включением подмножества:

${\mathcal {G}}$ предполагается замкнутым относительно образования подмножеств конечных объединений множеств в ${\mathcal {G}}$ (т.е. каждое подмножество любого конечного объединения множеств в ${\mathcal {G}}$ принадлежит ${\mathcal {G}}$).

Некоторые авторы (например, Триер ) требуют, чтобы ${\mathcal {G}}$ быть направленным при включении подмножества и удовлетворять следующему условию:

Если $G\in {\mathcal {G}}$ и $s$ является скаляром, то существует $H\in {\mathcal {G}}$ такой, что $sG\subseteq H.$

Если ${\mathcal {G}}$ это борнология на $X,$ что часто бывает, то эти аксиомы выполняются. Если ${\mathcal {G}}$ является насыщенным ограниченных семейством подмножеств $X$ то эти аксиомы также выполняются.

Характеристики

Хаусдорфность

Подмножество TVS $X$ которого линейная оболочка является плотным подмножеством $X$ называется полным подмножеством $X.$ Если ${\mathcal {G}}$ это семейство подмножеств TVS $T$ затем ${\mathcal {G}}$ называется тотальным в $T$ если линейный интервал $\bigcup _{G\in {\mathcal {G}}}G$ плотный в $T.$

Если $F$ векторное подпространство $Y^{T}$ состоящее из всех непрерывных линейных отображений, ограниченных на каждом $G\in {\mathcal {G}},$ тогда ${\mathcal {G}}$-топология на $F$ является Хаусдорфом, если $Y$ это Хаусдорф и ${\mathcal {G}}$ Всего в $T.$

Полнота

Для следующих теорем предположим, что $X$ является топологическим векторным пространством и $Y$ является локально выпуклым хаусдорфовым пространством и ${\mathcal {G}}$ представляет собой совокупность ограниченных подмножеств $X$ который охватывает $X,$ направляется включением подмножества и удовлетворяет следующему условию: если $G\in {\mathcal {G}}$ и $s$ является скаляром, то существует $H\in {\mathcal {G}}$ такой, что $sG\subseteq H.$

• $L_{\mathcal {G}}(X;Y)$ является полным, если
  1. $X$ локально выпукла и хаусдорфова,
  2. $Y$ является полным, и
  3. в любое время $u:X\to Y$ является линейным отображением, тогда $u$ ограничено каждым набором $G\in {\mathcal {G}}$ непрерывно означает, что $u$ является непрерывным,
• Если $X$ является пространством Макки, тогда $L_{\mathcal {G}}(X;Y)$является полным тогда и только тогда, когда оба $X_{\mathcal {G}}^{\prime }$ и $Y$ являются полными.
• Если $X$ в стволе тогда $L_{\mathcal {G}}(X;Y)$ является Хаусдорфом и квазиполным .
• Позволять $X$ и $Y$ быть TVS с $Y$ квазиполным и предположим, что (1) $X$ бочка , или еще (2) $X$ является пространством Бэра и $X$ и $Y$ локально выпуклы. Если ${\mathcal {G}}$ обложки $X$ то каждое замкнутое равнонепрерывное подмножество $L(X;Y)$ завершен в $L_{\mathcal {G}}(X;Y)$ и $L_{\mathcal {G}}(X;Y)$ является квазиполным.
• Позволять $X$ быть борнологическим пространством , $Y$ локально выпуклое пространство и ${\mathcal {G}}$ семейство ограниченных подмножеств $X$ такой, что диапазон каждой нулевой последовательности в $X$ содержится в каком-то $G\in {\mathcal {G}}.$ Если $Y$ является квазиполным (соответственно полным ), то также $L_{\mathcal {G}}(X;Y)$.

Ограниченность

Позволять $X$ и $Y$ быть топологическими векторными пространствами и $H$ быть подмножеством $L(X;Y).$ Тогда следующие условия эквивалентны:

1. $H$ ограничен ​ ​ $L_{\mathcal {G}}(X;Y)$;
2. Для каждого $G\in {\mathcal {G}},$ $H(G):=\bigcup _{h\in H}h(G)$ ограничен $Y$;
3. Для каждого района $V$ происхождения в $Y$ набор $\bigcap _{h\in H}h^{-1}(V)$ поглощает каждый $G\in {\mathcal {G}}.$

Если ${\mathcal {G}}$ представляет собой совокупность ограниченных подмножеств $X$ чей союз тотален в $X$ то каждое равностепенно непрерывное подмножество $L(X;Y)$ ограничен в ${\mathcal {G}}$-топология. Кроме того, если $X$ и $Y$ являются локально выпуклыми хаусдорфовыми пространствами, тогда

• если $H$ ограничен $L_{\sigma }(X;Y)$ (т. е. поточечно ограниченный или просто ограниченный), то он ограничен в топологии равномерной сходимости на выпуклых, сбалансированных, ограниченных, полных подмножествах $X.$
• если $X$ квазиполно (это означает , что замкнутые и ограниченные подмножества полны), то ограниченные подмножества $L(X;Y)$ одинаковы для всех ${\mathcal {G}}$-топологии, где ${\mathcal {G}}$ — любое семейство ограниченных подмножеств $X$ покрытие $X.$

Примеры

${\mathcal {G}}\subseteq \wp (X)$ («топология равномерной сходимости на...»)	Обозначения	Имя («топология...»)	Альтернативное название
конечные подмножества $X$	$L_{\sigma }(X;Y)$	поточечная/простая сходимость	топология простой сходимости
предкомпактные подмножества $X$		предкомпактная сходимость
компактные выпуклые подмножества $X$	$L_{\gamma }(X;Y)$	компактная выпуклая сходимость
компактные подмножества $X$	$L_{c}(X;Y)$	компактная конвергенция
ограниченные подмножества $X$	$L_{b}(X;Y)$	ограниченная сходимость	сильная топология

Топология поточечной сходимости

Позволяя ${\mathcal {G}}$ — множество всех конечных подмножеств $X,$ $L(X;Y)$ будет иметь слабую топологию на $L(X;Y)$ или топология поточечной сходимости или топология простой сходимости и $L(X;Y)$ с этой топологией обозначается $L_{\sigma }(X;Y)$. К сожалению, эту топологию также иногда называют топологией сильного оператора , что может привести к неоднозначности; по этой причине в этой статье мы не будем ссылаться на эту топологию под этим именем.

Подмножество $L(X;Y)$ называется просто ограниченным или слабо ограниченным , если оно ограничено в $L_{\sigma }(X;Y)$.

Слабая топология на $L(X;Y)$ имеет следующие свойства:

• Если $X$ сепарабельно если (т. е. имеет счетное плотное подмножество) и $Y$ является метризуемым топологическим векторным пространством, то каждое равнонепрерывное подмножество $H$ из $L_{\sigma }(X;Y)$ метризуема; если вдобавок $Y$ отделим, то так же $H.$
  • Так, в частности, на каждом равностепенно непрерывном подмножестве $L(X;Y),$ топология поточечной сходимости метризуема.
• Позволять $Y^{X}$ обозначим пространство всех функций из $X$ в $Y.$ Если $L(X;Y)$ задана топология поточечной сходимости, тогда пространство всех линейных отображений (непрерывных или нет) $X$ в $Y$ закрыт в $Y^{X}$.
  • Кроме того, $L(X;Y)$ плотно в пространстве всех линейных отображений (непрерывных или нет) $X$ в $Y.$
• Предполагать $X$ и $Y$ локально выпуклы. Любое просто ограниченное подмножество $L(X;Y)$ ограничен, когда $L(X;Y)$ имеет топологию равномерной сходимости на выпуклых, сбалансированных , ограниченных, полных подмножествах $X.$ Если вдобавок $X$ квазиполно , то семейства ограниченных подмножеств $L(X;Y)$ одинаковы для всех ${\mathcal {G}}$-топологии на $L(X;Y)$ такой, что ${\mathcal {G}}$ представляет собой семейство ограниченных множеств, покрывающих $X.$

Равнонепрерывные подмножества

• Слабое замыкание равнонепрерывного подмножества $L(X;Y)$ является равнонепрерывным.
• Если $Y$ локально выпукло, то выпуклая сбалансированная оболочка равнонепрерывного подмножества $L(X;Y)$ является равнонепрерывным.
• Позволять $X$ и $Y$ будут TVS и предположим, что (1) $X$ бочка , или еще (2) $X$ является пространством Бэра и $X$ и $Y$ локально выпуклы. Тогда каждое просто ограниченное подмножество $L(X;Y)$ является равнонепрерывным.
• На равнонепрерывном подмножестве $H$ из $L(X;Y),$ следующие топологии идентичны: (1) топология поточечной сходимости на полном подмножестве $X$; (2) топология поточечной сходимости; (3) топология предкомпактной сходимости.

Компактная конвергенция

Позволяя ${\mathcal {G}}$ — множество всех компактных подмножеств $X,$ $L(X;Y)$ будет иметь топологию компактной сходимости или топологию равномерной сходимости на компактах и $L(X;Y)$ с этой топологией обозначается $L_{c}(X;Y)$.

Топология компактной сходимости на $L(X;Y)$ имеет следующие свойства:

• Если $X$ является пространством Фреше или LF-пространством , и если $Y$ — полное локально выпуклое хаусдорфово пространство, тогда $L_{c}(X;Y)$ завершен.
• О равнонепрерывных подмножествах $L(X;Y),$ совпадают следующие топологии:
  • Топология поточечной сходимости на плотном подмножестве $X,$
  • Топология поточечной сходимости на $X,$
  • Топология компактной сходимости.
  • Топология предкомпактной сходимости.
• Если $X$ это пространство Montel и $Y$ является топологическим векторным пространством, то $L_{c}(X;Y)$ и $L_{b}(X;Y)$ имеют одинаковую топологию.

Топология ограниченной сходимости

Позволяя ${\mathcal {G}}$ быть множеством всех ограниченных подмножеств $X,$ $L(X;Y)$ будет иметь топологию ограниченной сходимости на $X$ или топология равномерной сходимости на ограниченных множествах и $L(X;Y)$ с этой топологией обозначается $L_{b}(X;Y)$.

Топология ограниченной сходимости на $L(X;Y)$ имеет следующие свойства:

• Если $X$ является борнологическим пространством , и если $Y$ — полное локально выпуклое хаусдорфово пространство, тогда $L_{b}(X;Y)$ завершен.
• Если $X$ и $Y$ оба являются нормированными пространствами, то топология на $L(X;Y)$ индуцированная обычной операторной нормой, идентична топологии на $L_{b}(X;Y)$.
  • В частности, если $X$ является нормированным пространством, то обычная нормированная топология непрерывного дуального пространства $X^{\prime }$ идентична топологии ограниченной сходимости на $X^{\prime }$.
• Каждое эквинепрерывное подмножество $L(X;Y)$ ограничен $L_{b}(X;Y)$.

Полярные топологии

Основная статья: Полярная топология

Всюду мы предполагаем, что $X$ это ТВС.

𝒢-топологии против полярных топологий

Если $X$ является TVS, ограниченные подмножества которого точно такие же, как и его слабо ограниченные подмножества (например, если $X$ является хаусдорфовым локально выпуклым пространством), то ${\mathcal {G}}$-топология на $X^{\prime }$ (как определено в этой статье) является полярной топологией , и наоборот, каждая полярная топология, если ${\mathcal {G}}$-топология. Следовательно, в этом случае результаты, упомянутые в статье, могут быть применены к полярным топологиям.

Однако, если $X$ является TVS, ограниченные подмножества которого не совсем совпадают с его слабо ограниченными подмножествами, тогда понятие «ограниченного в $X$"сильнее, чем понятие " $\sigma \left(X,X^{\prime }\right)$-ограниченный в $X$" (т.е. ограничено $X$ подразумевает $\sigma \left(X,X^{\prime }\right)$-ограниченный в $X$) так, что ${\mathcal {G}}$-топология на $X^{\prime }$ (как определено в этой статье) не обязательно является полярной топологией. Одним из важных отличий является то, что полярные топологии всегда локально выпуклы, в то время как ${\mathcal {G}}$-топологий быть не должно.

Полярные топологии дают более сильные результаты, чем более общие топологии равномерной сходимости, описанные в этой статье, и мы отсылаем прочтение к основной статье: полярная топология . Мы перечисляем здесь некоторые из наиболее распространенных полярных топологий.

Список полярных топологий

Предположим, что $X$ является TVS, ограниченные подмножества которого совпадают с его слабо ограниченными подмножествами.

Обозначение : Если $\Delta (Y,X)$ обозначает полярную топологию на $Y$ затем $Y$ наделенный этой топологией, будем обозначать $Y_{\Delta (Y,X)}$ или просто $Y_{\Delta }$ (например, для $\sigma (Y,X)$ у нас было бы $\Delta =\sigma$ так что $Y_{\sigma (Y,X)}$ и $Y_{\sigma }$ все обозначают $Y$ с наделенным $\sigma (Y,X)$).

> ${\mathcal {G}}\subseteq \wp (X)$ («топология равномерной сходимости на...»)	Обозначения	Имя («топология...»)	Альтернативное название
конечные подмножества $X$	$\sigma (Y,X)$ $s(Y,X)$	поточечная/простая сходимость	слабая/слабая* топология
$\sigma (X,Y)$-компакт- диски	$\tau (Y,X)$		Топология Макки
$\sigma (X,Y)$-компактные выпуклые подмножества	$\gamma (Y,X)$	компактная выпуклая сходимость
$\sigma (X,Y)$-компактные подмножества (или сбалансированный $\sigma (X,Y)$-компактные подмножества)	$c(Y,X)$	компактная конвергенция
$\sigma (X,Y)$-ограниченные подмножества	$b(Y,X)$ $\beta (Y,X)$	ограниченная сходимость	сильная топология

𝒢-ℋ топологии на пространствах билинейных отображений

Мы позволим ${\mathcal {B}}(X,Y;Z)$ обозначаем пространство отдельно непрерывных билинейных отображений и $B(X,Y;Z)$обозначим пространство непрерывных билинейных отображений, где $X,Y,$ и $Z$ являются топологическим векторным пространством над одним и тем же полем (действительными или комплексными числами). Аналогично тому, как мы размещали топологию на $L(X;Y)$ мы можем разместить топологию на ${\mathcal {B}}(X,Y;Z)$ и $B(X,Y;Z)$.

Позволять ${\mathcal {G}}$ (соответственно, ${\mathcal {H}}$) быть семейством подмножеств $X$ (соответственно, $Y$), содержащий хотя бы одно непустое множество. Позволять ${\mathcal {G}}\times {\mathcal {H}}$ обозначаем совокупность всех множеств $G\times H$ где $G\in {\mathcal {G}},$ $H\in {\mathcal {H}}.$ Мы можем разместить на $Z^{X\times Y}$ тот ${\mathcal {G}}\times {\mathcal {H}}$-топологии, а следовательно, и на любом ее подмножестве, в частности на $B(X,Y;Z)$и дальше ${\mathcal {B}}(X,Y;Z)$. Эта топология известна как ${\mathcal {G}}-{\mathcal {H}}$-топология или как топология равномерной сходимости по произведениям $G\times H$ из ${\mathcal {G}}\times {\mathcal {H}}$.

Однако, как и прежде, эта топология не обязательно совместима со структурой векторного пространства ${\mathcal {B}}(X,Y;Z)$ или из $B(X,Y;Z)$без дополнительного требования, чтобы для всех билинейных карт $b$ в этом пространстве (т. ${\mathcal {B}}(X,Y;Z)$ или в $B(X,Y;Z)$) и для всех $G\in {\mathcal {G}}$ и $H\in {\mathcal {H}},$ набор $b(G,H)$ ограничен $X.$ Если оба ${\mathcal {G}}$ и ${\mathcal {H}}$ состоят из ограниченных множеств, то это требование автоматически выполняется, если мы топологизируем $B(X,Y;Z)$но это может быть не так, если мы пытаемся топологизировать ${\mathcal {B}}(X,Y;Z)$. ${\mathcal {G}}-{\mathcal {H}}$-топология на ${\mathcal {B}}(X,Y;Z)$ будет совместим со структурой векторного пространства ${\mathcal {B}}(X,Y;Z)$ если оба ${\mathcal {G}}$ и ${\mathcal {H}}$ состоит из ограниченных множеств и выполняется любое из следующих условий:

• $X$ и $Y$ представляют собой бочкообразные пространства и $Z$ является локально выпуклой.
• $X$ является F-пространством , $Y$ метризуема, и $Z$ является Хаусдорфом, и в этом случае ${\mathcal {B}}(X,Y;Z)=B(X,Y;Z).$
• $X,Y,$ и $Z$ являются сильными двойниками рефлексивных пространств Фреше.
• $X$ является нормированным и $Y$ и $Z$ сильные двойственные рефлексивным пространствам Фреше.

ε-топология

Основная статья: Инъективное тензорное произведение

Предположим, что $X,Y,$ и $Z$ являются локально выпуклыми пространствами и пусть ${\mathcal {G}}^{\prime }$ и ${\mathcal {H}}^{\prime }$ — коллекции равнонепрерывных подмножеств $X^{\prime }$ и $X^{\prime }$, соответственно. Тогда ${\mathcal {G}}^{\prime }-{\mathcal {H}}^{\prime }$-топология на ${\mathcal {B}}\left(X_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Z\right)$ будет топологической топологией векторного пространства. Эта топология называется ε-топологией и ${\mathcal {B}}\left(X_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{b\left(X^{\prime },X\right)};Z\right)$ в этой топологии он обозначается ${\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Z\right)$ или просто по ${\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right).$

Часть важности этого векторного пространства и этой топологии заключается в том, что оно содержит множество подпространств, таких как ${\mathcal {B}}\left(X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Z\right),$ который мы обозначаем ${\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime };Z\right).$ Когда этому подпространству задана топология подпространства ${\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)$ это обозначается ${\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime };Z\right).$

В том случае, когда $Z$ — поле этих векторных пространств, ${\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$ является тензорным произведением $X$ и $Y.$ Фактически, если $X$ и $Y$ являются локально выпуклыми хаусдорфовыми пространствами, тогда ${\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$ векторное пространство изоморфно $L\left(X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Y_{\sigma (Y^{\prime },Y)}\right),$ что, в свою очередь, равно $L\left(X_{\tau \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Y\right).$

Эти пространства обладают следующими свойствами:

• Если $X$ и $Y$ являются локально выпуклыми хаусдорфовыми пространствами, тогда ${\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$ является полным тогда и только тогда, когда оба $X$ и $Y$ являются полными.
• Если $X$ и $Y$ оба нормированы (соответственно оба банаховы), то также ${\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$

См. также

• Борнологическое пространство - Пространство, в котором ограниченные операторы непрерывны.
• Ограниченный линейный оператор — линейное преобразование между топологическими векторными пространствами. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Двойная система
• Двойная топология
• Список топологий - Список конкретных топологий и топологических пространств.
• Способы конвергенции - свойство последовательности или ряда.
• Норма оператора - мера «размера» линейных операторов.
• Полярная топология - топология дуального пространства равномерной сходимости на некотором подмножестве ограниченных подмножеств.
• Сильное двойственное пространство - непрерывное двойственное пространство, наделенное топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах.
• Топологии на множестве операторов в гильбертовом пространстве
• Равномерная сходимость - режим сходимости функциональной последовательности.
• Единообразное пространство - Топологическое пространство с понятием однородных свойств.
• Слабая топология - математический термин
  • Неясная топология

Библиография

• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN  978-0-677-30020-7 . OCLC   886098 .
• Хогбе-Нленд, Анри (1977). Борнологии и функциональный анализ: вводный курс теории двойственности. Топология-борнология и ее использование в функциональном анализе . Математические исследования Северной Голландии. Том. 26. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN  978-0-08-087137-0 . МР   0500064 . OCLC   316549583 .
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN  978-3-519-02224-4 . OCLC   8210342 .
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-11565-6 . OCLC   8588370 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .