Субэкспоненциальное распределение (светлохвостое)

В теории вероятностей одно из определений субэкспоненциального распределения — это распределение вероятностей , хвосты которого затухают с экспоненциальной скоростью или быстрее: вещественное распределение. ${\cal {D}}$ называется субэкспоненциальным, если для случайной величины $X\sim {\cal {D}}$ ,

{\mathbb {P}}(|X|\geq x)=O(e^{-Kx})

, для большого

x

и некоторая константа

K>0

.

норма Субэкспоненциальная , $\|\cdot \|_{\psi _{1}}$ , случайной величины определяется выражением

\|X\|_{\psi _{1}}:=\inf \ \{K>0\mid {\mathbb {E}}(e^{|X|/K})\leq 2\},

где нижняя грань принимается за

+\infty

если нет такого

K

существует.

Это пример нормы Орлича . Эквивалентное условие для распределения ${\cal {D}}$ быть субэкспоненциальным - это то, что $\|X\|_{\psi _{1}}<\infty .$ ^[1]^: §2.7

Субэкспоненциальность также можно выразить следующими эквивалентными способами: ^[1]^: §2.7

${\mathbb {P}}(|X|\geq x)\leq 2e^{-Kx},$ для всех $x\geq 0$ и некоторая константа $K>0$ .
${\mathbb {E}}(|X|^{p})^{1/p}\leq Kp,$ для всех $p\geq 1$ и некоторая константа $K>0$ .
Для некоторой константы $K>0$ , ${\mathbb {E}}(e^{\lambda |X|})\leq e^{K\lambda }$ для всех $0\leq \lambda \leq 1/K$ .
${\mathbb {E}}(X)$ существует и для некоторой постоянной $K>0$ , ${\mathbb {E}}(e^{\lambda (X-{\mathbb {E}}(X))})\leq e^{K^{2}\lambda ^{2}}$ для всех $-1/K\leq \lambda \leq 1/K$ .
${\sqrt {|X|}}$ является субгауссовым .