Функция Юнга

В математике некоторые функции, полезные в функциональном анализе, называются функциями Юнга.

Функция $\theta :\mathbb {R} \to [0,\infty ]$ является функцией Юнга тогда и только тогда, когда она выпукла , четна , полунепрерывна снизу и нетривиальна в том смысле, что она не является нулевой функцией $x\mapsto 0$ , и это не выпуклая двойственная нулевая функция $x\mapsto {\begin{cases}0{\text{ if }}x=0,\\+\infty {\text{ else.}}\end{cases}}$

Функция Юнга конечна тогда и только тогда, когда она не принимает значения $\infty$.

Выпуклая двойственная функция Юнга обозначается $\theta ^{*}$.

Функция Юнга $\theta$ является строгим , если оба $\theta$ и $\theta ^{*}$ конечны. То есть, ${\textstyle {\frac {\theta (x)}{x}}\to \infty ,\quad {\text{as }}x\to \infty ,}$

Обратная : функция Юнга $$\theta ^{-1}(y)=\inf\{x:\theta (x)>y\}$$

Определение функций Юнга не полностью стандартизировано, но обычно используется приведенное выше определение. Разные авторы расходятся во мнениях относительно некоторых крайних случаев. Например, нулевая функция $x\mapsto 0$ можно считать «тривиальной функцией Юнга». Некоторые авторы (например, Красносельский и Рутицкий) также требуют $\lim _{x\downarrow 0}{\frac {\theta (x)}{x}}=0$

Ссылки

• Леонард, Кристиан. « Пространства Орлича ». (2007).
• О'Нил, Ричард (1965). «Дробное интегрирование в пространствах Орлича. I» . Труды Американского математического общества . 115 : 300–328. дои : 10.1090/S0002-9947-1965-0194881-0 . ISSN   0002-9947 . . Дает другое определение функции Юнга.
• Красносельский, М.А.; Рутицкий, Я Б. (1961-01-01). Выпуклые функции и пространства Орлича (1-е изд.). Гордон и Брич. ISBN  978-0-677-20210-5 . В книге небольшое усиление функций Юнга изучается как «N-функции».
• Рао, ММ; Рен, З.Д. (1991). Теория пространств Орлича . Чистая и прикладная математика. Марсель Деккер. ISBN  0-8247-8478-2 .