Непрерывное встраивание

В математике одно нормированное векторное пространство называется непрерывно вложенным в другое нормированное векторное пространство, если функция включения между ними непрерывна . В некотором смысле эти две нормы «почти эквивалентны», хотя обе они не определены в одном и том же пространстве. Некоторые из теорем вложения Соболева являются непрерывными теоремами вложения.

Определение

Пусть X и Y — два нормированных векторных пространства с нормами ||·|| _X и ||·|| _Y соответственно, такой, что X ⊆ Y . Если карта включения (функция тождества)

$i:X\hookrightarrow Y:x\mapsto x$

непрерывно, т. е. если существует константа C > 0 такая, что

$\|x\|_{Y}\leq C\|x\|_{X}$

для каждого x в X , то X называется непрерывно в Y. вложенным Некоторые авторы используют стрелку с крючком «↪» для обозначения непрерывного вложения, т.е. « X ↪ Y » означает, что « X и Y — нормированные пространства с X, непрерывно вложенным в Y ». Это последовательное использование обозначений с точки зрения категории топологических векторных пространств , в которых морфизмы («стрелки») являются непрерывными линейными отображениями .

Примеры

• Конечномерным примером непрерывного вложения является естественное вложение прямой X = R в плоскость Y = R. ² , где оба пространства имеют евклидову норму:

$i:\mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{2}:x\mapsto (x,0)$

В этом случае || х || _Икс = || х || _Y каждого действительного числа X. для Очевидно, что оптимальным выбором константы C является C = 1.

• Бесконечномерный пример непрерывного вложения даёт теорема Реллиха–Кондрахова : пусть Ω ⊆ R ^н — открытая ограниченная липшицева и область . пусть 1 p < n ⩽ Набор

$p^{*}={\frac {np}{n-p}}.$

Тогда пространство Соболева W ^{1, с} (Ω; R ) непрерывно вложено в L ^п пространство L ^{п ∗} (Ом; Р ). Действительно, при 1 ≤ q < p ^∗ , это вложение компактно . Оптимальная константа C будет зависеть от геометрии области Ω.

• Бесконечномерные пространства также предлагают примеры разрывных вложений. Например, рассмотрим

$X=Y=C^{0}([0,1];\mathbf {R} ),$

пространство непрерывных вещественных функций, определенных на единичном интервале, но X L снабжающее ¹ норма и Y с высшей нормой . Для n ∈ N пусть fn _— непрерывная заданная , кусочно-линейная функция формулой

$f_{n}(x)={\begin{cases}-n^{2}x+n,&0\leq x\leq {\tfrac {1}{n}};\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

Тогда для любого n || ж _н || _Ю = || ж _н || _∞ = n , но

$\|f_{n}\|_{L^{1}}=\int _{0}^{1}|f_{n}(x)|\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}.$

Следовательно, невозможно константу C найти такую, что || ж _н || _Y ≤ С || ж _н || _X , и поэтому вложение X в Y разрывно.

См. также

• Компактное встраивание

Ссылки

• Ренарди, М. и Роджерс, Р.К. (1992). Введение в уравнения в частных производных . Шпрингер-Верлаг, Берлин. ISBN  3-540-97952-2 .