Rellich–Kondrachov theorem

В математике теорема Реллиха-Кондрахова представляет собой вложения компактную теорему , касающуюся пространств Соболева . Названа в честь австрийско-немецкого математика Франца Реллиха и русского математика Владимира Иосифовича Кондрашова . Реллих доказал L ² теорема Кондрашова и L ^п теорема.

Формулировка теоремы

Пусть Ω ⊆ R ^н — открытая ограниченная липшицева < область , и пусть 1 p ⩽ n . Набор

$p^{*}:={\frac {np}{n-p}}.$

Тогда пространство Соболева W ^{1, с} (Ω; R ) непрерывно вложено в L ^п пространство L ^{п ∗} (Ω; R ) и компактно вложено в L ^д (Ω; R ) для любого 1 ≤ q < p ^∗ . В символах,

$W^{1,p}(\Omega )\hookrightarrow L^{p^{*}}(\Omega )$

и

$W^{1,p}(\Omega )\subset \subset L^{q}(\Omega ){\text{ for }}1\leq q<p^{*}.$

Kondrachov embedding theorem

На компактном многообразии с C ¹ границе теорема вложения Кондрахова утверждает, что если k > ℓ и k − n / p > ℓ − n / q, то вложение Соболева

$W^{k,p}(M)\subset W^{\ell ,q}(M)$

вполне непрерывен (компакт).

Последствия

Поскольку вложение компактно тогда и только тогда, когда оператор включения (тождества) является компактным оператором , из теоремы Реллиха–Кондрахова следует, что любая равномерно ограниченная последовательность в W ^{1, с} (Ω; R ) имеет подпоследовательность, сходящуюся в L ^д (Ом; Р ). В такой форме раньше этот результат иногда называли теоремой выбора Реллиха – Кондрахова , поскольку «выбирается» сходящаяся подпоследовательность. (Однако сегодня привычное название — «теорема компактности», тогда как «теорема отбора» имеет точный и совсем другой смысл, относящийся к многозначным функциям ).

Теорему Реллиха – Кондрахова можно использовать для доказательства неравенства Пуанкаре , которое гласит, что для u ∈ W ^{1, с} (Ω; R ) (где Ω удовлетворяет тем же гипотезам, что и выше),

$\|u-u_{\Omega }\|_{L^{p}(\Omega )}\leq C\|\nabla u\|_{L^{p}(\Omega )}$

для некоторой константы C, зависящей только от p и геометрии области Ω, где

$u_{\Omega }:={\frac {1}{\operatorname {meas} (\Omega )}}\int _{\Omega }u(x)\,\mathrm {d} x$

обозначает среднее значение u по Ω.

Литература

• Эванс, Лоуренс К. (2010). Уравнения в частных производных (2-е изд.). Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-4974-3 .
• Кондрачев В.И. О некоторых свойствах функций в пространстве L p .Докл. Акад. Наук СССР 48, 563–566 (1945).
• Леони, Джованни (2009). Первый курс по пространствам Соболева . Аспирантура по математике . 105 . Американское математическое общество. стр. xvi+607. ISBN   978-0-8218-4768-8 . МР 2527916 . Збл 1180.46001
• Реллих, Франц (24 января 1930 г.). «Теорема о сходимости средних» . Новости Общества наук в Геттингене, Математик-физический класс (на немецком языке). 1930 : 30–35. ЖФМ   56.0224.02 .