Компактный оператор

В функциональном анализе , разделе математики , компактный оператор — это линейный оператор. $T:X\to Y$, где $X,Y$ являются нормированными векторными пространствами со свойством, что $T$ отображает ограниченные подмножества $X$ относительно компактным подмножествам $Y$ (подмножества с компактным замыканием в $Y$). Такой оператор обязательно является ограниченным оператором и, следовательно, непрерывен. Некоторые авторы требуют, чтобы $X,Y$ являются банаховыми, но это определение можно распространить на более общие пространства.

Любой ограниченный оператор $T$ имеющий конечный ранг — компактный оператор; действительно, класс компактных операторов является естественным обобщением класса операторов конечного ранга в бесконечномерной ситуации. Когда $Y$ является гильбертовым пространством , то верно, что любой компактный оператор является пределом операторов конечного ранга, так что класс компактных операторов можно альтернативно определить как замыкание множества операторов конечного ранга в топологии нормы . Верно ли это вообще для банаховых пространств ( свойство аппроксимации ) было нерешенным вопросом в течение многих лет; в 1973 году Пер Энфло привел контрпример, основанный на работе Гротендика и Банаха .

Истоки теории компактных операторов лежат в теории интегральных уравнений , где интегральные операторы дают конкретные примеры таких операторов. Типичное интегральное уравнение Фредгольма порождает компактный оператор K в функциональных пространствах ; свойство компактности проявляется равностепенной непрерывностью . Метод аппроксимации операторами конечного ранга является основным при численном решении таких уравнений. абстрактная идея оператора Фредгольма Из этой связи вытекает .

Эквивалентные составы

Линейная карта $T:X\to Y$ между двумя топологическими векторными пространствами называется компактным, если существует окрестность $U$ происхождения в $X$ такой, что $T(U)$ представляет собой относительно компактное подмножество $Y$.

Позволять $X,Y$ быть нормированными пространствами и $T:X\to Y$ линейный оператор. Тогда следующие утверждения эквивалентны, и некоторые из них используются разными авторами в качестве основных определений.

• $T$ – компактный оператор;
• изображение единичного шара $X$ под $T$ относительно компактен в $Y$;
• образ любого ограниченного подмножества $X$ под $T$ относительно компактен в $Y$;
• существует район $U$ происхождения в $X$ и компактное подмножество $V\subseteq Y$ такой, что $T(U)\subseteq V$;
• для любой ограниченной последовательности $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ в $X$, последовательность $(Tx_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ содержит сходящуюся подпоследовательность.

Если вдобавок $Y$ является Банахом, эти утверждения также эквивалентны:

• образ любого ограниченного подмножества $X$ под $T$ ограничен полностью ​ $Y$.

Если линейный оператор компактен, то он непрерывен.

Важные свойства

В дальнейшем $X,Y,Z,W$ являются банаховыми пространствами, $B(X,Y)$ — пространство ограниченных операторов $X\to Y$ по операторной норме и $K(X,Y)$ обозначает пространство компактных операторов $X\to Y$. $\operatorname {Id} _{X}$ обозначает тождественный оператор на $X$, $B(X)=B(X,X)$, и $K(X)=K(X,X)$.

• $K(X,Y)$ является замкнутым подпространством $B(X,Y)$ (в нормальной топологии). Эквивалентно,
  • задана последовательность компактных операторов $(T_{n})_{n\in \mathbf {N} }$ картографирование $X\to Y$ (где $X,Y$являются Банахом) и учитывая, что $(T_{n})_{n\in \mathbf {N} }$ сходится к $T$ относительно операторной нормы , $T$ тогда компактен.
• И наоборот, если $X,Y$ являются гильбертовыми пространствами, то каждый компактный оператор из $X\to Y$ является пределом операторов конечного ранга. Примечательно, что это « свойство аппроксимации » неверно для общих банаховых X и Y. пространств
• $B(Y,Z)\circ K(X,Y)\circ B(W,X)\subseteq K(W,Z).$ В частности, $K(X)$ образует двусторонний идеал в $B(X)$.
• Любой компактный оператор строго сингулярен , но не наоборот.
• Ограниченный линейный оператор между банаховыми пространствами компактен тогда и только тогда, когда его сопряженный компакт компактен ( теорема Шаудера ).
  • Если $T:X\to Y$ ограничен и компактен, то:
    • закрытие диапазона $T$ является отделимым .
    • если диапазон $T$ замкнуто в Y , то диапазон $T$ является конечномерным.
• Если $X$ является банаховым пространством и существует обратимый ограниченный компактный оператор $T:X\to X$ затем $X$ обязательно конечномерен.

Теперь предположим, что $X$ является банаховым пространством и $T\colon X\to X$ — компактный линейный оператор, и $T^{*}\colon X^{*}\to X^{*}$ является сопряженным или транспонированным T ​ .

• Для любого $T\in K(X)$, ${\operatorname {Id} _{X}}-T$ является фредгольмовым оператором индекса 0. В частности, $\operatorname {Im} ({\operatorname {Id} _{X}}-T)$ закрыт. Это существенно для развития спектральных свойств компактных операторов. Можно заметить сходство между этим свойством и тем фактом, что если $M$ и $N$ являются подпространствами $X$ где $M$ закрыт и $N$ конечномерна, то $M+N$ также закрыт.
• Если $S\colon X\to X$ — любой ограниченный линейный оператор, то оба $S\circ T$ и $T\circ S$ являются компактными операторами.
• Если $\lambda \neq 0$ тогда диапазон $T-\lambda \operatorname {Id} _{X}$ закрыто и ядро $T-\lambda \operatorname {Id} _{X}$ является конечномерным.
• Если $\lambda \neq 0$ тогда следующие конечны и равны: $\dim \ker \left(T-\lambda \operatorname {Id} _{X}\right)=\dim {\big (}X/\operatorname {Im} \left(T-\lambda \operatorname {Id} _{X}\right){\big )}=\dim \ker \left(T^{*}-\lambda \operatorname {Id} _{X^{*}}\right)=\dim {\big (}X^{*}/\operatorname {Im} \left(T^{*}-\lambda \operatorname {Id} _{X^{*}}\right){\big )}$
• Спектр ​ $\sigma (T)$ из $T$ компактно, счетно и имеет не более одной предельной точки , которая обязательно должна быть началом координат.
• Если $X$ бесконечномерен, то $0\in \sigma (T)$.
• Если $\lambda \neq 0$ и $\lambda \in \sigma (T)$ затем $\lambda$ является собственным значением обоих $T$ и $T^{*}$.
• Для каждого $r>0$ набор $E_{r}=\left\{\lambda \in \sigma (T):|\lambda |>r\right\}$ конечно, и для любого ненулевого $\lambda \in \sigma (T)$ диапазон $T-\lambda \operatorname {Id} _{X}$ является подмножеством X собственным .

Истоки теории интегральных уравнений

Важнейшим свойством компактных операторов является альтернатива Фредгольма , которая утверждает, что существование решения линейных уравнений вида

$(\lambda K+I)u=f$

(где K — компактный оператор, f — заданная функция, а u — неизвестная функция, которую нужно решить) ведет себя так же, как и в конечных измерениях. Далее следует спектральная теория компактных операторов , автор которой Фридьес Рисс (1918). Он показывает, что компактный оператор K в бесконечномерном банаховом пространстве имеет спектр, который является либо конечным подмножеством C , включающим 0, либо спектром является счетно-бесконечное подмножество C , имеющее 0 в качестве единственной предельной точки . Более того, в любом случае ненулевые элементы спектра являются собственными значениями оператора K с конечной кратностью (так что K − λ I имеет конечномерное ядро ​​для всех комплексных λ ≠ 0).

Важным примером компактного оператора является компактное вложение пространств Соболева , которое, наряду с неравенством Гординга и теоремой Лакса–Милгрэма , может быть использовано для преобразования эллиптической краевой задачи в интегральное уравнение Фредгольма. Существование решения и спектральные свойства тогда следуют из теории компактных операторов; в частности, эллиптическая краевая задача в ограниченной области имеет бесконечное число изолированных собственных значений. Одним из следствий является то, что твердое тело может вибрировать только на изолированных частотах, определяемых собственными значениями, и всегда существуют сколь угодно высокие частоты колебаний.

Компактные операторы банахова пространства в себя образуют двусторонний идеал в алгебре всех ограниченных операторов в этом пространстве. Действительно, компактные операторы в бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве образуют максимальный идеал, поэтому фактор-алгебра , известная как алгебра Калкина , проста . В более общем смысле компактные операторы образуют операторный идеал .

Компактный оператор в гильбертовых пространствах

Основная статья: Компактный оператор в гильбертовом пространстве

Для гильбертовых пространств другое эквивалентное определение компактных операторов дается следующим образом.

Оператор $T$ в бесконечномерном гильбертовом пространстве $({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle )$,

$T\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}$,

называется компактным, если его можно записать в виде

$T=\sum _{n=1}^{\infty }\lambda _{n}\langle f_{n},\cdot \rangle g_{n}$,

где $\{f_{1},f_{2},\ldots \}$ и $\{g_{1},g_{2},\ldots \}$ являются ортонормированными множествами (не обязательно полными) и $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots$ представляет собой последовательность положительных чисел с нулевым пределом, называемую сингулярными значениями оператора, а ряд в правой части сходится по операторной норме. Сингулярные значения могут накапливаться только в нуле. Если последовательность становится стационарной в нуле, то есть $\lambda _{N+k}=0$ для некоторых $N\in \mathbb {N}$ и каждый $k=1,2,\dots$, то оператор имеет конечный ранг, т. е . конечномерный диапазон, и может быть записан как

$T=\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}\langle f_{n},\cdot \rangle g_{n}$.

Важным подклассом компактных операторов являются ядерные операторы или ядерные операторы , т. е. такие, что $\operatorname {Tr} (|T|)<\infty$. Хотя все операторы трассового класса являются компактными операторами, обратное не обязательно верно. Например ${\textstyle \lambda _{n}={\frac {1}{n}}}$ стремится к нулю для $n\to \infty$ пока ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }|\lambda _{n}|=\infty }$.

Полностью непрерывные операторы

Пусть X и Y — банаховы пространства. Ограниченный линейный оператор T : X → Y называется вполне непрерывным , если для любой слабо сходящейся последовательности $(x_{n})$ из X последовательность $(Tx_{n})$ сходится по норме в Y ( Conway 1985 , §VI.3). Компактные операторы в банаховом пространстве всегда вполне непрерывны. Если X — рефлексивное банахово пространство , то всякий вполне непрерывный оператор T : X → Y компактен.

Несколько сбивает с толку то, что компактные операторы иногда называют «полностью непрерывными» в старой литературе, хотя они не обязательно полностью непрерывны по определению этой фразы в современной терминологии.

Примеры

• Любой оператор конечного ранга компактен.
• Для $\ell ^{p}$ и последовательность (t _n ), сходящаяся к нулю, оператор умножения ( Tx ) _n = t _n x _n компактен.
• Для некоторого фиксированного g ∈ C ([0, 1]; R ) определим линейный оператор T из C ([0, 1]; R ) в C ([0, 1]; R ) формулой $$(Tf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)g(t)\,\mathrm {d} t.$$То, что оператор Т действительно компактен, следует из теоремы Асколи .
• В более общем смысле, если Ω — любая область в R ^н и интегральное ядро ​​k : Ω × Ω → R является ядром Гильберта–Шмидта , то оператор T на L ² (Ω; R ), определяемый формулой $$(Tf)(x)=\int _{\Omega }k(x,y)f(y)\,\mathrm {d} y$$ является компактным оператором.
• По лемме Рисса тождественный оператор является компактным тогда и только тогда, когда пространство конечномерно.

См. также

• Компактное встраивание
• Компактный оператор в гильбертовом пространстве
• Альтернатива Фредгольма - математическая теорема. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Интегральное уравнение Фредгольма
• Фредгольмский оператор
• Строго сингулярный оператор
• Спектральная теория компактных операторов

Ссылки

• Конвей, Джон Б. (1985). Курс функционального анализа . Спрингер-Верлаг. Раздел 2.4. ISBN  978-3-540-96042-3 .
• Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Том. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-97245-9 . OCLC   21195908 .
• Энфло, П. (1973). «Контрпример к задаче аппроксимации в банаховых пространствах» . Акта Математика . 130 (1): 309–317. дои : 10.1007/BF02392270 . ISSN   0001-5962 . МР   0402468 .
• Крейциг, Эрвин (1978). Вводный функциональный анализ с приложениями . Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-50731-4 .
• Кутателадзе, С.С. (1996). Основы функционального анализа . Тексты по математическим наукам. Том. 12 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Publishing. п. 292. ИСБН  978-0-7923-3898-7 .
• Лакс, Питер (2002). Функциональный анализ . Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN  978-0-471-55604-6 . OCLC   47767143 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Ренарди, М.; Роджерс, RC (2004). Введение в уравнения в частных производных . Тексты по прикладной математике. Том. 13 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . п. 356. ИСБН  978-0-387-00444-0 . (раздел 7.5)
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .