Теорема Арсела – Асколи

Теорема Арзела -Асколи — фундаментальный результат математического анализа, дающий необходимые и достаточные условия ли каждая последовательность данного семейства действительных равномерно непрерывных функций, определенных на замкнутом и ограниченном интервале, для того, чтобы решить, имеет сходящую подпоследовательность . Основным условием является равнонепрерывность семейства функций. Теорема является основой многих доказательств в математике, в том числе доказательства теоремы существования Пеано в теории обыкновенных дифференциальных уравнений , теоремы Монтеля в комплексном анализе , теоремы Питера-Вейля в гармоническом анализе и различных результатов, касающихся компактности интегральных операторов .

Понятие равнонепрерывности было введено в конце 19 века итальянскими математиками Чезаре Арзела и Джулио Асколи . Слабая форма теоремы была доказана Асколи (1883–1884) , установившим достаточное условие компактности, и Арзела (1895) , установившим необходимое условие и давшим первое ясное изложение результата. Дальнейшее обобщение теоремы было доказано Фреше (1906) на множества вещественнозначных непрерывных функций с областью определения в виде компактного метрического пространства ( Данфорд и Шварц 1958 , стр. 382). Современные формулировки теоремы позволяют считать область компактной по Хаусдорфу , а диапазон — произвольным метрическим пространством. Существуют более общие формулировки теоремы, которые дают необходимые и достаточные условия для того, чтобы семейство функций из компактно порожденного хаусдорфова пространства в равномерное пространство было компактным в компактно-открытой топологии ; см. Келли (1991 , стр. 234).

Заявление и первые последствия

По определению, последовательность $\{f_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ непрерывных функций на интервале I = [ a , b ] , равномерно ограничено если существует число M такое, что

$\left|f_{n}(x)\right|\leq M$

для каждой функции   f _n,   принадлежащей последовательности, и каждого x ∈ [ a , b ] . (Здесь M должно быть независимым от n и x .)

Последовательность называется равномерно равнонепрерывной , если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что

$\left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right|<\varepsilon$

всякий раз, когда | х - у | < δ   для всех функций   f _n   последовательности. (Здесь δ может зависеть от ε , но не от x , y или n .)

Один из вариантов теоремы можно сформулировать следующим образом:

Рассмотрим последовательность вещественнозначных непрерывных функций { f _n } _{n ∈ N,} определенных на замкнутом и ограниченном интервале [ a , b ] вещественной прямой . Если эта последовательность равномерно ограничена и равномерно равностепенно непрерывна , то существует подпоследовательность { f _{n k} } _{k ∈ N} , сходящаяся равномерно .

Обратное также верно в том смысле, что если каждая подпоследовательность { f _n } сама по себе имеет равномерно сходящую подпоследовательность, то { f _n } равномерно ограничена и равностепенно непрерывна.

Доказательство

Доказательство по существу основано на аргументе диагонализации . Самый простой случай - вещественные функции на замкнутом и ограниченном интервале:

• Пусть I = [ a , b ] ⊂ R — замкнутый и ограниченный интервал. Если F — бесконечное множество функций   f : I → R , равномерно ограниченное и равнонепрерывное, то существует последовательность f _n элементов F такая, что f _n сходится равномерно на I .

Зафиксируйте нумерацию { x _i } _{i ∈ N} рациональных чисел в I . Поскольку F равномерно ограничено, множество точек { f ( x ₁ )} _{f ∈ F} ограничено, и, следовательно, по теореме Больцано–Вейерштрасса существует последовательность { f _{n 1} } различных функций в F такая, что { f _{n 1} ( x ₁ )} сходится. Повторяя тот же аргумент для последовательности точек { f _{n 1} ( x ₂ )} , существует подпоследовательность { f _{n 2} } из { f _{n 1} } такая, что { f _{n 2} ( x ₂ )} сходится.

По индукции этот процесс можно продолжать бесконечно, поэтому существует цепочка подпоследовательностей

$\left\{f_{n_{1}}\right\}\supseteq \left\{f_{n_{2}}\right\}\supseteq \cdots$

такой, что для каждого k = 1, 2, 3, ... подпоследовательность { f _{n k} } сходится в точке x ₁ , ..., x _k . Теперь сформируйте диагональную подпоследовательность { f }, m - член fm _чей является m -м членом в m й подпоследовательности { fnm _{} -} й . построению f _m сходится в каждой рациональной точке I . По

Следовательно, для любого ε > 0 и рационального xk _, в I существует целое число N = N ( ε , xk _что ) такое

$|f_{n}(x_{k})-f_{m}(x_{k})|<{\tfrac {\varepsilon }{3}},\qquad n,m\geq N.$

Поскольку семейство F равностепенно непрерывно, для этого фиксированного ε и для каждого x из I существует открытый интервал U _x, содержащий x такой, что

$|f(s)-f(t)|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}$

для всех f ∈ F и всех s , t в I таких, что s , t ∈ U _x .

Совокупность интервалов U _x , x ∈ I , открытое I. образует покрытие Поскольку I замкнуто и ограничено, по теореме Гейне–Бореля I компактно , а это означает, что это накрытие допускает конечное подпокрытие U ₁ , ..., U _J . Существует целое число K такое, что каждый открытый интервал U _j , 1 ≤ j ≤ J , содержит рациональное число x _k с ≤ k ≤ K. 1 Наконец, для любого ∈ I существуют j и k, так что t и xk принадлежат одному _{интервалу} и тому же Uj _. t выборе k При таком

${\begin{aligned}\left|f_{n}(t)-f_{m}(t)\right|&\leq \left|f_{n}(t)-f_{n}(x_{k})\right|+|f_{n}(x_{k})-f_{m}(x_{k})|+|f_{m}(x_{k})-f_{m}(t)|\\&<{\tfrac {\varepsilon }{3}}+{\tfrac {\varepsilon }{3}}+{\tfrac {\varepsilon }{3}}\end{aligned}}$

для всех n , m > N = max{ N ( ε , x ₁ ), ..., N ( ε , x _K )}. Следовательно, последовательность { f _n } является равномерно Коши и, следовательно, сходится к непрерывной функции, как утверждается. Это завершает доказательство.

Непосредственные примеры

Дифференцируемые функции

Условиям теоремы удовлетворяет равномерно ограниченная последовательность { f _n } дифференцируемых функций с равномерно ограниченными производными. Действительно, равномерная ограниченность производных по теореме о среднем значении что для всех x и y означает ,

$\left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right|\leq K|x-y|,$

где K — верхняя грань производных функций последовательности и не зависит от n . Итак, учитывая ε > 0 , пусть δ = ⁠ ε / 2 K ⁠ для проверки определения равнонепрерывности последовательности. Это доказывает следующее следствие:

• Пусть { f _n } — равномерно ограниченная последовательность вещественнозначных дифференцируемых функций на [ a , b ] такая, что производные { f _n ′} равномерно ограничены. Тогда существует подпоследовательность { fn _{, которая k} } сходится равномерно на [ a , b ] .

Если, кроме того, последовательность вторых производных еще и равномерно ограничена, то и производные сходятся равномерно (с точностью до подпоследовательности) и т. д. Другое обобщение справедливо для непрерывно дифференцируемых функций . Предположим, что функции   f _n   непрерывно дифференцируемы с производными f _n ′ . Предположим, что f _n ′ равномерно равностепенно непрерывны и равномерно ограничены, и что последовательность { f _n } поточечно ограничена (или ограничена только в одной точке). Тогда существует подпоследовательность { f _n } , равномерно сходящаяся к непрерывно дифференцируемой функции.

Аргумент диагонализации также можно использовать, чтобы показать, что семейство бесконечно дифференцируемых функций, производные каждого порядка которых равномерно ограничены, имеет равномерно сходящуюся подпоследовательность, все производные которой также равномерно сходятся. Это особенно важно в теории распределений.

Непрерывные функции Липшица и Гёльдера

Аргумент, приведенный выше, доказывает немного больше, в частности

• Если { f _n } — равномерно ограниченная последовательность вещественнозначных функций на [ a , b ] такая, что каждая f непрерывна по Липшицу с той же константой Липшица K :

$\left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right|\leq K|x-y|$

для всех x , y ∈ [ a , b ] и всех   fn _{существует}   подпоследовательность, которая сходится равномерно на [ a , b ] .

Предельная функция также является непрерывной по Липшицу с тем же значением K для константы Липшица. Небольшое уточнение есть

• Множество F функций   f   на [ a , b ] , которое равномерно ограничено и удовлетворяет условию Гёльдера порядка α , 0 <α ≤ 1 , с фиксированной константой M ,

$\left|f(x)-f(y)\right|\leq M\,|x-y|^{\alpha },\qquad x,y\in [a,b]$

относительно компактен в C([ a , b ]) . В частности, единичный шар пространства Гёльдера C ^{0, а} ([ a , b ]) компактен в C([ a , b ]) .

В более общем смысле это справедливо для скалярных функций на компактном метрическом пространстве X, удовлетворяющих условию Гельдера относительно метрики на X .

Обобщения

Евклидовы пространства

В более общем смысле, теорема Арзела–Асколи справедлива, если функции   f _n   принимают значения в d -мерном евклидовом пространстве R ^д , а доказательство очень простое: просто примените R -значную версию теоремы Арзела–Асколи d раз, чтобы выделить подпоследовательность, которая сходится равномерно по первой координате, затем подпоследовательность, которая сходится равномерно по первым двум координатам, и скоро. Приведенные выше примеры легко обобщаются на случай функций со значениями в евклидовом пространстве.

Компактные метрические пространства и компакты Хаусдорфа.

Определения ограниченности и равностепенной непрерывности можно обобщить на случай произвольных компактных метрических пространств и, в более общем плане, на бикомпакты Хаусдорфа . Пусть X — компактное хаусдорфово пространство, и пусть C ( X ) — пространство вещественнозначных функций на X. непрерывных Подмножество F ⊂ C ( X ) называется равнонепрерывным если для каждого x ∈ X и любого ε > 0 x , имеет окрестность U _x такую, что

$\forall y\in U_{x},\forall f\in \mathbf {F} :\qquad |f(y)-f(x)|<\varepsilon .$

Множество F ⊂ C ( X , R ) называется поточечно ограниченным, для каждого x ∈ X если

$\sup\{|f(x)|:f\in \mathbf {F} \}<\infty .$

Версия теоремы справедлива также в пространстве C ( X ) вещественнозначных непрерывных функций на компакте Хаусдорфа X ( Данфорд и Шварц 1958 , §IV.6.7):

Пусть X — хаусдорфов бикомпакт. Тогда подмножество F в C ( X ) относительно компактно в топологии, индуцированной равномерной нормой , тогда и только тогда, когда оно равностепенно непрерывно и поточечно ограничено.

Таким образом, теорема Арзела-Асколи является фундаментальным результатом в изучении алгебры непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве .

Возможны различные обобщения приведенного выше результата. Например, функции могут принимать значения в метрическом пространстве или (Хаусдорфовом) топологическом векторном пространстве с минимальными изменениями в формулировке (см., например, Келли и Намиока (1982 , §8), Келли (1991 , глава 7)) :

Пусть X — хаусдорфов компакт, а Y — метрическое пространство. Тогда F ⊂ C ( X , Y ) компактно в компактно-открытой топологии тогда и только тогда, когда оно равностепенно непрерывно , поточечно относительно компактно и замкнуто.

Здесь поточечная относительно компактность означает, что для каждого x ∈ X множество F _x = { f ( x ) : f ∈ F } относительно компактно в Y .

В случае, когда , приведенное Y полно выше доказательство можно обобщить таким образом, чтобы не опираться на сепарабельность области. Например, в компактном хаусдорфовом пространстве X равнонепрерывность используется для извлечения для каждого ε = 1/ n конечного открытого покрытия X такого, что колебание любой функции в семействе меньше ε на каждом открытом множестве в обложка. Роль рациональных чисел тогда может играть набор точек, взятых из каждого открытого множества в каждом из счетного числа полученных таким образом покрытий, и основная часть доказательства проводится точно так же, как указано выше. Аналогичное рассуждение используется как часть доказательства общей версии, не предполагающей полноты Y .

Функции на некомпактных пространствах

Теорема Арцела-Асколи обобщается на функции $X\rightarrow Y$ где $X$ не компактен. Особенно важны случаи, когда $X$ является топологическим векторным пространством . Напомним, что если $X$является топологическим пространством и $Y$ является равномерным пространством (например, любым метрическим пространством или любой топологической группой , метризуемой или нет), существует топология компактной сходимости на множестве ${\mathfrak {F}}(X,Y)$ функций $X\rightarrow Y$; он устроен так, что последовательность (или, в более общем смысле, фильтр или сеть ) функций сходится тогда и только тогда, когда он сходится равномерно на каждом компактном подмножестве $X$. Позволять ${\mathcal {C}}_{c}(X,Y)$ быть подпространством ${\mathfrak {F}}(X,Y)$ состоящая из непрерывных функций, наделенная топологией компактной сходимости.Тогда одна из форм теоремы Арцелы-Асколи выглядит следующим образом:

Позволять $X$ быть топологическим пространством, $Y$ однородное Хаусдорфово пространство и $H\subset {\mathcal {C}}_{c}(X,Y)$ эквинепрерывное что множество непрерывных функций такое, $H(x)$ относительно компактен в $Y$ для каждого $x\in X$. Затем $H$ относительно компактен в $H\subset {\mathcal {C}}_{c}(X,Y)$.

Эта теорема немедленно дает более специализированные утверждения, приведенные выше, в тех случаях, когда $X$ компактени однородная структура $Y$ задается метрикой. Есть еще несколько вариантов с точки зрениятопология предкомпактной сходимости или другие родственные топологии на ${\mathfrak {F}}(X,Y)$. Также возможно распространить это утверждение на функции, которые непрерывны только тогда, когда они ограничены множествами покрытия $X$ по компактным подмножествам. За подробностями можно обратиться к Бурбаки (1998), глава X, § 2, № 5.

Ненепрерывные функции

Решения численных схем параболических уравнений обычно кусочно-постоянны и, следовательно, не непрерывны во времени. Поскольку их скачки, тем не менее, имеют тенденцию становиться малыми по мере того, как шаг по времени приближается к $0$, можно установить свойства сходимости, равномерные во времени, используя обобщение на ненепрерывные функции классической теоремы Арсела–Асколи (см., например, Droniou & Eymard (2016 , Приложение)).

Обозначим через $S(X,Y)$ пространство функций из $X$ к $Y$ наделен единой метрикой

$d_{S}(v,w)=\sup _{t\in X}d_{Y}(v(t),w(t)).$

Тогда мы имеем следующее:

Позволять $X$ быть компактным метрическим пространством и $Y$ полное метрическое пространство. Позволять $\{v_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ быть последовательностью в $S(X,Y)$ такая, что существует функция $\omega :X\times X\to [0,\infty ]$ и последовательность $\{\delta _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset [0,\infty )$ удовлетворяющий

$\lim _{d_{X}(t,t')\to 0}\omega (t,t')=0,\quad \lim _{n\to \infty }\delta _{n}=0,$

$\forall (t,t')\in X\times X,\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\quad d_{Y}(v_{n}(t),v_{n}(t'))\leq \omega (t,t')+\delta _{n}.$

Предположим также, что для всех $t\in X$, $\{v_{n}(t):n\in \mathbb {N} \}$ относительно компактен в $Y$. Затем $\{v_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ относительно компактен в $S(X,Y)$и любой предел $\{v_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ в этом пространстве находится в $C(X,Y)$.

Необходимость

Хотя большинство формулировок теоремы Арзела-Асколи утверждают достаточные условия для того, чтобы семейство функций было (относительно) компактным в некоторой топологии, эти условия обычно также необходимы. Например, если множество F компактно в C ( X ), банаховом пространстве вещественнозначных непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве относительно его равномерной нормы, то оно ограничено в равномерной норме на C ( X ) и в частности, точечно ограничено. Пусть N ( ε , U ) — множество всех функций из F которых , колебание на открытом подмножестве U ⊂ X меньше ε :

$N(\varepsilon ,U)=\{f\mid \operatorname {osc} _{U}f<\varepsilon \}.$

При фиксированных x ∈ X и ε множества N ( ε , U ) образуют открытое покрытие F, поскольку U изменяется во всех открытых окрестностях x . Тогда выбор конечного подпокрытия дает равнонепрерывность.

Дальнейшие примеры

• Каждой функции g на , p -интегрируемой [ 0, 1] с 1 < p ≤ ∞ , сопоставьте функцию G, определенную на [0, 1] формулой

$G(x)=\int _{0}^{x}g(t)\,\mathrm {d} t.$

Пусть F — множество функций G, соответствующих функциям g в единичном шаре пространства L ^п ([0, 1]) . Если q является сопряженным по Гельдеру p , определяемым формулой ⁠ 1 / p ⁠ + ⁠ 1 / q ⁠ = 1 , то из неравенства Гёльдера следует, что все функции из F удовлетворяют условию Гёльдера с α = ⁠ 1 / q ⁠ и константа M знак равно 1 .

Отсюда следует, что F компактно в C ([0, 1]) . Это означает, что соответствие g → G определяет компактный линейный оператор T между банаховыми пространствами L ^п ([0, 1]) и C ([0, 1]) . Композиция с инъекцией C ([0, 1]) в L ^п ([0, 1]) , видим, что T действует компактно из L ^п ([0, 1]) самому себе. Случай p = 2 можно рассматривать как простой пример того, что инъекция из пространства Соболева $H_{0}^{1}(\Omega )$ в Л ² (Ω) , для Ω — ограниченное открытое множество в R ^д , компактен.

• Когда T — компактный линейный оператор из банахова пространства X в банахово пространство Y , его транспонирование T ^∗ компактен из (непрерывного) двойственного Y ^∗ до Х ^∗ . Это можно проверить с помощью теоремы Арсела–Асколи.

образ T ( B ) замкнутого единичного шара B пространства X содержится в компактном подмножестве K множества Y. Действительно , Единичный шар B ^∗ из Y ^∗ определяет, ограничивая Y до K , множество F (линейных) непрерывных функций на K , которое ограничено и равностепенно непрерывно. По Арзела–Асколи, для каждой последовательности { y ^∗
_n }, в B ^∗ , существует подпоследовательность, сходящаяся равномерно на K , а это означает, что образ $T^{*}(y_{n_{k}}^{*})$ этой подпоследовательности является Коши в X ^∗ .

• Когда   f   голоморфен , в открытом диске D ₁ = B ( z ₀ , r ) с модулем, ограниченным M тогда (например, по формуле Коши ) ее производная   f ′ имеет модуль, ограниченный ⁠ 2 M / r ⁠ в меньшем круге D ₂ = B ( z ₀ , ⁠ р / 2 ⁠ ). семейство голоморфных функций на D1 _Если ограничено M на D1 _{равностепенно} то семейство F ограничений на D2 _, непрерывно D2 _на . последовательность, сходящаяся равномерно на . _D2 Следовательно, может быть выделена Это первый шаг в направлении теоремы Монтеля .
• Позволять $C([0,T],L^{1}(\mathbb {R} ^{N}))$ иметь единую метрику $\textstyle \sup _{t\in [0,T]}\|v(\cdot ,t)-w(\cdot ,t)\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{N})}.$ Предположим, что $u_{n}=u_{n}(x,t)\subset C([0,T];L^{1}(\mathbb {R} ^{N}))$ представляет собой последовательность решений некоторого уравнения в частных производных (ЧДУ), где УЧП обеспечивает следующие априорные оценки: $x\mapsto u_{n}(x,t)$ является равнонепрерывным для всех $t$, $x\mapsto u_{n}(x,t)$ является справедливым для всех $t$, и для всех $(t,t')\in [0,T]\times [0,T]$ и все $n\in \mathbb {N}$, $\|u_{n}(\cdot ,t)-u_{n}(\cdot ,t')\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{N})}$ достаточно мал, когда $|t-t'|$ достаточно мал. Тогда по теореме Фреше–Колмогорова можно заключить, что $\{x\mapsto u_{n}(x,t):n\in \mathbb {N} \}$ относительно компактен в $L^{1}(\mathbb {R} ^{N})$. Следовательно, мы можем, посредством (обобщения) теоремы Арсела–Асколи, заключить, что $\{u_{n}:n\in \mathbb {N} \}$ относительно компактен в $C([0,T],L^{1}(\mathbb {R} ^{N})).$

См. также

• Теорема выбора Хелли
• Теорема Фреше – Колмогорова

Ссылки

• Арсела, Чезаре (1895), «О функциях линий», Mem. Болонский кл. Науч. Мэтт. , 5 (5): 55–74 .
• Арсела, Чезаре (1882–1883), «Наблюдение о ряде функций», Ренд. Из Аккад. R. Delle Sci из Болонского института : 142–159 .
• Асколи, Г. (1883–1884), «Предельные кривые данного множества кривых», Атти делла Р. Аккад. Деи Линчеи Воспоминания о CL. Науч. Мэтт. Нат. , 18 (3): 521–586 .
• Бурбаки, Николя (1998), Общая топология. Главы 5–10 , Элементы математики, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-64563-4 , МР   1726872 .
• Дьедонне, Жан (1988), Основы современного анализа , Academic Press, ISBN  978-0-12-215507-9
• Дрониу, Жером; Эймард, Роберт (2016), «Равномерная по времени сходимость численных методов для нелинейных вырождающихся параболических уравнений», Numer. Математика. , 132 (4): 721–766, arXiv : 2003.09067 , doi : 10.1007/s00211-015-0733-6 , S2CID   5287603 .
• Данфорд, Нельсон; Шварц, Джейкоб Т. (1958), Линейные операторы, том 1 , Wiley-Interscience .
• Фреше, Морис (1906), «О некоторых моментах функционального расчета» , Ренд. Цирк. Мачта. Палермо , 22 :1–74, doi : 10.1007/BF03018603 , hdl : 10338.dmlcz/100655 , S2CID   123251660 .
• Теорема Арсела-Асколи в математической энциклопедии
• Келли, Дж. Л. (1991), Общая топология , Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90125-1
• Келли, Дж. Л.; Намиока, И. (1982), Линейные топологические пространства , Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90169-5
• Рудин, Уолтер (1976), Принципы математического анализа , McGraw-Hill, ISBN  978-0-07-054235-8

Эта статья включает в себя материал из теоремы Асколи-Арзела по PlanetMath , которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .