Теорема Фреше – Колмогорова

В функциональном анализе теорема Фреше –Колмогорова (иногда добавляются также имена Рисса или Вейля множества функций ) дает необходимое и достаточное условие относительно компактности в L ^п космос . Его можно представить как букву L. ^п версия теоремы Арсела-Асколи , из которой ее можно вывести. Теорема названа в честь Мориса Рене Фреше и Андрея Колмогорова .

Заявление

Позволять $B$ быть подмножеством $L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$ с $p\in [1,\infty )$ , и пусть $\tau _{h}f$ обозначают перевод $f$ к $h$ , то есть, $\tau _{h}f(x)=f(x-h).$

Подмножество $B$ тогда относительно компактен и только тогда, когда выполняются следующие свойства:

(Равнонепрерывный) $\lim _{|h|\to 0}\Vert \tau _{h}f-f\Vert _{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}=0$ равномерно на $B$ .
(Справедливый) $\lim _{r\to \infty }\int _{|x|>r}\left|f\right|^{p}=0$ равномерно на $B$ .

Первое свойство можно сформулировать как $\forall \varepsilon >0\,\,\exists \delta >0$ такой, что $\Vert \tau _{h}f-f\Vert _{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}<\varepsilon \,\,\forall f\in B,\forall h$ с $|h|<\delta .$

Обычно теорему Фреше–Колмогорова формулируют с дополнительным предположением, что $B$ ограничено (т.е. $\Vert f\Vert _{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}<\infty$ равномерно на $B$ ). Однако было показано, что равноправность и равнонепрерывность подразумевают это свойство. ^{[ 1 ]}

Особый случай

Для подмножества $B$ из $L^{p}(\Omega )$ , где $\Omega$ является ограниченным подмножеством $\mathbb {R} ^{n}$ , условие равноправности не требуется. Следовательно, необходимым и достаточным условием $B$ быть относительно компактным — это то, что выполняется свойство равнонепрерывности. Однако это свойство следует интерпретировать с осторожностью, как показано в примере ниже.

Примеры

Существование решений УЧП

Позволять $(u_{\epsilon })_{\epsilon }$ — последовательность решений вязкого уравнения Бюргерса, поставленного в $\mathbb {R} \times (0,T)$ :

{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial u^{2}}{\partial x}}=\epsilon \Delta u,\quad u(x,0)=u_{0}(x),

с $u_{0}$ достаточно гладкий. Если решения $(u_{\epsilon })_{\epsilon }$ наслаждайтесь $L^{1}$ -сокращение и $L^{\infty }$ -связанные свойства, ^{[ 2 ]} покажем существование решений невязкого уравнения Бюргерса

{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial u^{2}}{\partial x}}=0,\quad u(x,0)=u_{0}(x).

Первое свойство можно сформулировать следующим образом: если $u,v$ являются решениями уравнения Бюргерса с $u_{0},v_{0}$ в качестве исходных данных, то

\int _{\mathbb {R} }|u(x,t)-v(x,t)|dx\leq \int _{\mathbb {R} }|u_{0}(x)-v_{0}(x)|dx.

Второе свойство просто означает, что $\Vert u(\cdot ,t)\Vert _{L^{\infty }(\mathbb {R} )}\leq \Vert u_{0}\Vert _{L^{\infty }(\mathbb {R} )}$ .

Теперь позвольте $K\subset \mathbb {R} \times (0,T)$ быть любым компактом и определить

w_{\epsilon }(x,t):=u_{\epsilon }(x,t)\mathbf {1} _{K}(x,t),

где $\mathbf {1} _{K}$ является $1$ на съемочной площадке $K$ и 0 в противном случае. Автоматически, $B:=\{(w_{\epsilon })_{\epsilon }\}\subset L^{1}(\mathbb {R} ^{2})$ с

\int _{\mathbb {R} ^{2}}|w_{\epsilon }(x,t)|dxdt=\int _{\mathbb {R} ^{2}}|u_{\epsilon }(x,t)\mathbf {1} _{K}(x,t)|dxdt\leq \Vert u_{0}\Vert _{L^{\infty }(\mathbb {R} )}|K|<\infty .

Равнонепрерывность является следствием $L^{1}$ -сокращение, так как $u_{\epsilon }(x-h,t)$ является решением уравнения Бюргерса с $u_{0}(x-h)$ в качестве исходных данных и поскольку $L^{\infty }$ -связанные удержания: у нас есть это

\Vert w_{\epsilon }(\cdot -h,\cdot -h)-w_{\epsilon }\Vert _{L^{1}(\mathbb {R} ^{2})}\leq \Vert w_{\epsilon }(\cdot -h,\cdot -h)-w_{\epsilon }(\cdot ,\cdot -h)\Vert _{L^{1}(\mathbb {R} ^{2})}+\Vert w_{\epsilon }(\cdot ,\cdot -h)-w_{\epsilon }\Vert _{L^{1}(\mathbb {R} ^{2})}.

Продолжаем рассматривать

{\begin{aligned}&\Vert w_{\epsilon }(\cdot -h,\cdot -h)-w_{\epsilon }(\cdot ,\cdot -h)\Vert _{L^{1}(\mathbb {R} ^{2})}\\&\leq \Vert (u_{\epsilon }(\cdot -h,\cdot -h)-u_{\epsilon }(\cdot ,\cdot -h))\mathbf {1} _{K}(\cdot -h,\cdot -h)\Vert _{L^{1}(\mathbb {R} ^{2})}+\Vert u_{\epsilon }(\cdot ,\cdot -h)(\mathbf {1} _{K}(\cdot -h,\cdot -h)-\mathbf {1} _{K}(\cdot ,\cdot -h)\Vert _{L^{1}(\mathbb {R} ^{2})}.\end{aligned}}

Первое слагаемое в правой части удовлетворяет

\Vert (u_{\epsilon }(\cdot -h,\cdot -h)-u_{\epsilon }(\cdot ,\cdot -h))\mathbf {1} _{K}(\cdot -h,\cdot -h)\Vert _{L^{1}(\mathbb {R} ^{2})}\leq T\Vert u_{0}(\cdot -h)-u_{0}\Vert _{L^{1}(\mathbb {R} )}

путем замены переменной и $L^{1}$ -сокращение. Второй член удовлетворяет

\Vert u_{\epsilon }(\cdot ,\cdot -h)(\mathbf {1} _{K}(\cdot -h,\cdot -h)-\mathbf {1} _{K}(\cdot ,\cdot -h))\Vert _{L^{1}(\mathbb {R} ^{2})}\leq \Vert u_{0}\Vert _{L^{\infty }(\mathbb {R} )}\Vert \mathbf {1} _{K}(\cdot -h,\cdot )-\mathbf {1} _{K}\Vert _{L^{1}(\mathbb {R} ^{2})}

путем замены переменной и $L^{\infty }$ -граница. Более того,

\Vert w_{\epsilon }(\cdot ,\cdot -h)-w_{\epsilon }\Vert _{L^{1}(\mathbb {R} ^{2})}\leq \Vert (u_{\epsilon }(\cdot ,\cdot -h)-u_{\epsilon })\mathbf {1} _{K}(\cdot ,\cdot -h)\Vert _{L^{1}(\mathbb {R} ^{2})}+\Vert u_{\epsilon }(\mathbf {1} _{K}(\cdot ,\cdot -h)-\mathbf {1} _{K})\Vert _{L^{1}(\mathbb {R} ^{2})}.

Оба члена можно оценить, как и раньше, если заметить, что равнонепрерывность во времени снова следует за $L^{1}$ -сокращение. ^{[ 3 ]} Непрерывность отображения трансляции в $L^{1}$ тогда дает равностепенную непрерывность равномерно на $B$ .

Справедливость сохраняется по определению $(w_{\epsilon })_{\epsilon }$ взяв $r$ достаточно большой.

Следовательно, $B$ относительно компактен в $L^{1}(\mathbb {R} ^{2})$ , и тогда существует сходящаяся подпоследовательность $(u_{\epsilon })_{\epsilon }$ в $L^{1}(K)$ . По покрывающему аргументу последняя сходимость находится в $L_{loc}^{1}(\mathbb {R} \times (0,T))$ .

Для заключения о существовании осталось проверить, что предельная функция, как $\epsilon \to 0^{+}$ , из подпоследовательности $(u_{\epsilon })_{\epsilon }$ удовлетворяет

{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial u^{2}}{\partial x}}=0,\quad u(x,0)=u_{0}(x).

См. также

Ссылки

^ Судаков В. Н. (1957). «Критерии компактности в функциональных пространствах». (на русском языке), Упсехи Матем. Наук. 12: 221–224. {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )
^ Некас, Дж.; Малек, Дж.; Рокита, М.; Ружичка, М. (1996). Слабые и мерозначные решения эволюционных уравнений в уравнениях . Прикладная математика и математические вычисления 13. Чепмен и Холл/CRC. ISBN 978-0412577505 .
^ Кружков, С. Н. (1970). «Квазилинейные уравнения первого порядка с несколькими независимыми переменными» . Математика. Сборник СССР . 10 (2): 217–243. дои : 10.1070/SM1970v010n02ABEH002156 .

Литература

Брезис, Хаим (2010). Функциональный анализ, пространства Соболева и уравнения в частных производных . Университеттекст. Спрингер . п. 111. ИСБН 978-0-387-70913-0 .
Рисс, Марсель (1933). «О компактах суммируемых функций» (PDF) . Акта Наука. Математика. 6 :136–142.
Пречап, Раду (2002). Методы нелинейных интегральных уравнений . Спрингер . п. 21 . ISBN 978-1-4020-0844-3 .

[1] Судаков В. Н. (1957). «Критерии компактности в функциональных пространствах». (на русском языке), Упсехи Матем. Наук. 12: 221–224. {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )

[2] Некас, Дж.; Малек, Дж.; Рокита, М.; Ружичка, М. (1996). Слабые и мерозначные решения эволюционных уравнений в уравнениях . Прикладная математика и математические вычисления 13. Чепмен и Холл/CRC. ISBN 978-0412577505 .

[3] Кружков, С. Н. (1970). «Квазилинейные уравнения первого порядка с несколькими независимыми переменными» . Математика. Сборник СССР . 10 (2): 217–243. дои : 10.1070/SM1970v010n02ABEH002156 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]