Sobolev conjugate

Соболевское сопряжение p для $1\leq p<n$ , где n — размерность пространства, равна

p^{*}={\frac {pn}{n-p}}>p

Это важный параметр в неравенствах Соболева .

Мотивация

Возникает вопрос, принадлежат ли u из пространства Соболева $W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})$ принадлежит $L^{q}(\mathbb {R} ^{n})$ для некоторого q > p . Точнее, когда $\|Du\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ контроль $\|u\|_{L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}$ ? Легко проверить, что выполняется следующее неравенство

\|u\|_{L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}\leq C(p,q)\|Du\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}\qquad \qquad (*)

не может быть верным для произвольного q . Учитывать $u(x)\in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ , бесконечно дифференцируемая функция с компактным носителем. Представлять $u_{\lambda }(x):=u(\lambda x)$ . У нас есть это:

{\begin{aligned}\|u_{\lambda }\|_{L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}^{q}&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u(\lambda x)|^{q}dx={\frac {1}{\lambda ^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u(y)|^{q}dy=\lambda ^{-n}\|u\|_{L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}^{q}\\\|Du_{\lambda }\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}^{p}&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\lambda Du(\lambda x)|^{p}dx={\frac {\lambda ^{p}}{\lambda ^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|Du(y)|^{p}dy=\lambda ^{p-n}\|Du\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}^{p}\end{aligned}}

Неравенство (*) для $u_{\lambda }$ приводит к следующему неравенству для $u$

\|u\|_{L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}\leq \lambda ^{1-{\frac {n}{p}}+{\frac {n}{q}}}C(p,q)\|Du\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}

Если $1-{\frac {n}{p}}+{\frac {n}{q}}\neq 0,$ затем, позволив $\lambda$ переходя к нулю или бесконечности, мы получаем противоречие. Таким образом, неравенство (*) может быть справедливым только для

q={\frac {pn}{n-p}}

,

что является сопряжением Соболева.

См. также

Ссылки

Лоуренс К. Эванс. Уравнения в частных производных. Аспирантура по математике , Том 19. Американское математическое общество. 1998. ISBN 0-8218-0772-2