Дифференциальный

«Дробная интеграция» перенаправляется сюда. Не путать с авторегрессионным дробно-интегрированным скользящим средним .

В дробном исчислении , области математического анализа , дифференциальный интеграл представляет собой комбинированный оператор дифференцирования / интегрирования . Применительно к функции ƒ q -дифференциальный интеграл от f , обозначенный здесь как

$\mathbb {D} ^{q}f$

— дробная производная (если q > 0) или дробный интеграл (если q < 0). Если q = 0, то q -й разностный интеграл функции является самой функцией. В контексте дробного интегрирования и дифференцирования существует несколько определений дифференцированного интеграла.

Стандартные определения

Четыре наиболее распространенные формы:

• Дифференциальный интеграл Римана – Лиувилля
  Это самый простой и легкий в использовании вариант, и, следовательно, он используется чаще всего. Это обобщение формулы Коши для повторного интегрирования в произвольном порядке. Здесь, $n=\lceil q\rceil$. $${\begin{aligned}{}_{a}^{RL}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&={\frac {1}{\Gamma (n-q)}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\int _{a}^{t}(t-\tau )^{n-q-1}f(\tau )d\tau \end{aligned}}$$
• The Grunwald–Letnikov differintegral
  Дифференциал Грюнвальда–Летникова является прямым обобщением определения производной . Его сложнее использовать, чем дифференциал Римана–Лиувилля, но иногда его можно использовать для решения задач, которые не может использовать дифференциал Римана–Лиувилля. $${\begin{aligned}{}_{a}^{GL}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&=\lim _{N\to \infty }\left[{\frac {t-a}{N}}\right]^{-q}\sum _{j=0}^{N-1}(-1)^{j}{q \choose j}f\left(t-j\left[{\frac {t-a}{N}}\right]\right)\end{aligned}}$$
• Вейля Дифференциал
  Формально это похоже на дифференциальный интеграл Римана – Лиувилля, но применимо к периодическим функциям с нулевым целым за период.
• Капуто Дифференциальный
  В отличие от дифференциального интеграла Римана-Лиувилля, производная Капуто константы $f(t)$ равен нулю. Более того, форма преобразования Лапласа позволяет просто оценивать начальные условия путем вычисления конечных производных целого порядка в точке $a$. $${\begin{aligned}{}_{a}^{C}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&={\frac {1}{\Gamma (n-q)}}\int _{a}^{t}{\frac {f^{(n)}(\tau )}{(t-\tau )^{q-n+1}}}d\tau \end{aligned}}$$

Определения через преобразования

Определения дробных производных, данные Лиувиллем, Фурье, Грюнвальдом и Летниковым, совпадают. Их можно представить с помощью преобразований Лапласа, Фурье или разложения в ряд Ньютона.

Напомним непрерывное преобразование Фурье , здесь обозначенное ${\mathcal {F}}$: $$F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt$$

Используя непрерывное преобразование Фурье, в пространстве Фурье дифференцирование преобразуется в умножение: $${\mathcal {F}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=i\omega {\mathcal {F}}[f(t)]$$

Так, $${\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n}}}={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{n}{\mathcal {F}}[f(t)]\right\}$$который обобщает $$\mathbb {D} ^{q}f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{q}{\mathcal {F}}[f(t)]\right\}.$$

При двустороннем преобразовании Лапласа , здесь обозначенном ${\mathcal {L}}$ и определяется как ${\textstyle {\mathcal {L}}[f(t)]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt}$, дифференцирование переходит в умножение $${\mathcal {L}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=s{\mathcal {L}}[f(t)].$$

Обобщая до произвольного порядка и решая $\mathbb {D} ^{q}f(t)$, получается $$\mathbb {D} ^{q}f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{q}{\mathcal {L}}[f(t)]\right\}.$$

Представление через ряд Ньютона — это интерполяция Ньютона по последовательным целочисленным порядкам:

$$\mathbb {D} ^{q}f(t)=\sum _{m=0}^{\infty }{\binom {q}{m}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}(-1)^{m-k}f^{(k)}(x).$$

Для определений дробной производной, описанных в этом разделе, выполняются следующие тождества:

$\mathbb {D} ^{q}(t^{n})={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (n+1-q)}}t^{n-q}$

$\mathbb {D} ^{q}(\sin(t))=\sin \left(t+{\frac {q\pi }{2}}\right)$

$\mathbb {D} ^{q}(e^{at})=a^{q}e^{at}$

Основные формальные свойства

• линейности Правила $$\mathbb {D} ^{q}(f+g)=\mathbb {D} ^{q}(f)+\mathbb {D} ^{q}(g)$$

$$\mathbb {D} ^{q}(af)=a\mathbb {D} ^{q}(f)$$

• Нулевое правило $$\mathbb {D} ^{0}f=f$$
• Правило продукта $$\mathbb {D} _{t}^{q}(fg)=\sum _{j=0}^{\infty }{q \choose j}\mathbb {D} _{t}^{j}(f)\mathbb {D} _{t}^{q-j}(g)$$

В общем, правило композиции (или полугруппы ) является желательным свойством, но его трудно достичь математически и, следовательно, не всегда полностью удовлетворяет каждый предлагаемый оператор; это является частью процесса принятия решения, какой из них выбрать:

• ${\textstyle \mathbb {D} ^{a}\mathbb {D} ^{b}f=\mathbb {D} ^{a+b}f}$ (в идеале)
• ${\textstyle \mathbb {D} ^{a}\mathbb {D} ^{b}f\neq \mathbb {D} ^{a+b}f}$ (на практике)

См. также

• Интегратор дробного порядка

Ссылки

• Миллер, Кеннет С. (1993). Росс, Бертрам (ред.). Введение в дробное исчисление и дробные дифференциальные уравнения . Уайли. ISBN  0-471-58884-9 .
• Олдхэм, Кейт Б.; Спаниер, Джером (1974). Дробное исчисление; Теория и приложения дифференциации и интеграции в произвольном порядке . Математика в науке и технике. Том. В. Академическая пресса. ISBN  0-12-525550-0 .
• Подлубный, Игорь (1998). Дробные дифференциальные уравнения. Введение в дробные производные, дробно-дифференциальные уравнения, некоторые методы их решения и некоторые их приложения . Математика в науке и технике. Том. 198. Академик Пресс. ISBN  0-12-558840-2 .
• Карпинтери, А.; Майнарди, Ф., ред. (1998). Фракталы и дробное исчисление в механике сплошных сред . Спрингер-Верлаг. ISBN  3-211-82913-Х .
• Майнарди, Ф. (2010). Дробное исчисление и волны в линейной вязкоупругости: введение в математические модели . Издательство Имперского колледжа. ISBN  978-1-84816-329-4 . Архивировано из оригинала 19 мая 2012 г.
• Тарасов, В.Е. (2010). Дробная динамика: приложения дробного исчисления к динамике частиц, полей и сред . Нелинейная физика. Спрингер. ISBN  978-3-642-14003-7 .
• Учайкин, В.В. (2012). Дробные производные для физиков и инженеров . Нелинейная физика. Спрингер. Бибкод : 2013fdpe.book.....U . ISBN  978-3-642-33910-3 .
• Уэст, Брюс Дж.; Болонья, Мауро; Григолини, Паоло (2003). Физика фрактальных операторов . Спрингер Верлаг. ISBN  0-387-95554-2 .

Внешние ссылки

• MathWorld – Дробное исчисление
• MathWorld – Дробная производная
• Специализированный журнал: Дробное исчисление и прикладной анализ (1998-2014) и Дробное исчисление и прикладной анализ (с 2015).
• Специализированный журнал: Дробные дифференциальные уравнения (ДДЭ)
• Специализированный журнал: Communications in Fractional Calculus ( ISSN   2218-3892 )
• Специализированный журнал: Журнал дробного исчисления и приложений (JFCA)
• Лоренцо, Карл Ф.; Хартли, Том Т. (2002). «Инициализированное дробное исчисление» . Информационные технологии . Медиа-группа Tech Briefs.
• https://web.archive.org/web/20040502170831/http://unr.edu/homepage/mcubed/FRG.html
• Коллекция Игоря Подлубного связанных книг, статей, ссылок, программного обеспечения и т. д.
• Подлубный, И. (2002). «Геометрическая и физическая интерпретация дробного интегрирования и дробного дифференцирования» (PDF) . Дробное исчисление и прикладной анализ . 5 (4): 367–386. arXiv : math.CA/0110241 . Бибкод : 2001math.....10241P . Архивировано из оригинала (PDF) 7 апреля 2006 г. Проверено 18 мая 2004 г.
• Завада, П. (1998). «Оператор дробной производной в комплексной плоскости». Связь в математической физике . 192 (2): 261–285. arXiv : funct-an/9608002 . Бибкод : 1998CMaPh.192..261Z . дои : 10.1007/s002200050299 . S2CID   1201395 .