Интегратор дробного порядка

Дополнительная информация: Дробное исчисление.

Интегратор дробного порядка или просто дробный интегратор — это интеграторное устройство, которое вычисляет интеграл или производную дробного порядка (обычно называемую дифференциальным интегралом ) входного сигнала. Дифференциация или интеграция — это реальный или комплексный параметр. Дробный интегратор полезен при управлении дробным порядком , когда история управляемой системы важна для выходных данных системы управления.

Обзор

функция Дифференциальная ,

${}_{a}\mathbb {D} _{t}^{q}\left(f(x)\right)$

включает в себя функции дифференцирования и интегрирования целочисленного порядка и допускает непрерывный диапазон функций вокруг них. Дифференциальными параметрами являются a , t и q . Параметры a и t описывают диапазон, в котором вычисляется результат. Дифференциальный параметр q может быть любым действительным или комплексным числом . Если q больше нуля, дифференциальный интеграл вычисляет производную. Если q меньше нуля, дифференциальный интеграл вычисляет интеграл.Интегрирование целочисленного порядка можно вычислить как дифференциальный интеграл Римана–Лиувилля , где вес каждого элемента в сумме равен постоянному единичному значению 1, что эквивалентно сумме Римана . Чтобы вычислить производную целочисленного порядка, веса при суммировании будут равны нулю, за исключением самых последних точек данных, где (в случае первой единичной производной) вес точки данных в момент t - 1 равен -1. и вес точки данных в момент t равен 1. Сумма точек во входной функции с использованием этих весов приводит к разнице самых последних точек данных.Эти веса рассчитываются с использованием коэффициентов Гамма-функция, включающая количество точек данных в диапазоне [ a , t ] и параметр q .

Цифровые устройства

Преимущество цифровых устройств заключается в их универсальности и невосприимчивости к неожиданным изменениям выходного сигнала из-за нагрева или шума. Однако дискретная природа компьютера не позволяет вычислить всю историю. Должен существовать некоторый конечный диапазон [a,t]. Следовательно, количество точек данных, которые могут быть сохранены в памяти ( N ), определяет самую старую точку данных в памяти, так что значение a никогда не превышает N старых выборок. В результате любая история старше a полностью забывается и больше не влияет на результат.

Решением этой проблемы является аппроксимация Купмана , которая позволяет более изящно забывать старые данные (правда, всё ещё с экспоненциальным затуханием, а не со степенным затуханием чисто аналогового устройства ).

Аналоговые устройства

Аналоговые устройства имеют возможность сохранять историю в течение более длительных интервалов времени. Это приводит к тому, что параметр a остается постоянным, а t увеличивается.

Здесь нет ошибок из-за округления , как в случае с цифровыми устройствами, но в устройстве могут быть ошибки из-за утечек , а также неожиданных изменений в поведении, вызванных нагревом и шумом.

Примером интегратора дробного порядка является модификация стандартной схемы интегратора , где конденсатор используется в качестве сопротивления обратной связи на операционном усилителе . Заменив конденсатор RC-лестничной схемой, интегратор половинного порядка, то есть с

$q=-{\frac {1}{2}},$

можно построить.

См. также

• Анализ сигналов
• ряд Фурье