Приближение Купмана

Приближение Купмана — это метод аппроксимации интегратора дробного порядка в непрерывном процессе с постоянной пространственной сложностью . Наиболее правильные и точные методы вычисления дробного интеграла требуют записи всей предыдущей истории и, следовательно, потребуют решения сложности линейного пространства O( n ), где n — количество выборок, измеренных для полной истории.

Фрактор системах (дробный конденсатор) является аналоговым компонентом, полезным в управления . Для моделирования поведения компонентов в цифровом моделировании или замены фрактора в цифровом контроллере линейное решение, как правило, неприемлемо. Однако, чтобы уменьшить сложность пространства, необходимо каким-то образом потерять информацию.

Приближение Купмана — это надежный и простой метод, который использует простую свертку для вычисления дробного интеграла, а затем возвращает старые данные через свертку. Свертка создает таблицу весов, как описано в дробном исчислении , которая варьируется в зависимости от размера таблицы, частоты дискретизации системы и порядка интеграла. После расчета таблица весов остается статичной.

Таблица данных инициализируется нулями, что означает отсутствие активности за все предыдущее время. Новые данные добавляются в буфер данных по принципу кольцевого буфера, так что самая новая точка записывается поверх самой старой точки данных.Свертка решается путем умножения соответствующих элементов из таблиц весов и данных и суммирования полученных продуктов. Как уже говорилось, потеря старых данных из-за перезаписи новыми данными вызовет эхо в непрерывной системе, поскольку помехи, поглощенные системой, внезапно исчезнут.

Решением этой проблемы является суть аппроксимации Купмана, в которой старая точка данных, умноженная на соответствующий весовой член, добавляется непосредственно к новейшей точке данных. Это обеспечивает плавное (хотя и экспоненциальное, а не степенное) затухание истории системы. Это приближение дает желаемый эффект устранения эха, сохраняя при этом пространственную сложность решения.

Негативный эффект аппроксимации состоит в потере фазового характера решения при приближении частоты системы к постоянному току. Однако все цифровые системы гарантированно страдают от этого недостатка, поскольку все цифровые системы имеют ограниченную память и, следовательно, выйдут из строя, когда потребность в памяти приближается к бесконечности.