Логарифмические неравенства Соболева

В математике логарифмические неравенства Соболева — это класс неравенств, включающий норму функции f , ее логарифм и ее градиент. $\nabla f$. Эти неравенства были открыты и названы Леонардом Гроссом , который установил их в независимой от размерности форме: в контексте конструктивной квантовой теории поля . Подобные результаты ранее были обнаружены другими математиками, и известно множество вариаций таких неравенств.

Валовой доказал неравенство:

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big |}f(x){\big |}^{2}\log {\big |}f(x){\big |}\,d\nu (x)\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big |}\nabla f(x){\big |}^{2}\,d\nu (x)+\|f\|_{2}^{2}\log \|f\|_{2},$

где $\|f\|_{2}$ это $L^{2}(\nu )$-норма $f$, с $\nu$ стандартная гауссова мера на $\mathbb {R} ^{n}.$ В отличие от классических неравенств Соболева , лог-неравенство Соболева Гросса не имеет константы, зависящей от размерности, что делает его применимым в бесконечномерном пределе.

В частности, вероятностная мера $\mu$ на $\mathbb {R} ^{n}$ Говорят, что он удовлетворяет лог-неравенству Соболева с постоянной $C>0$ если для любой гладкой функции f

$\operatorname {Ent} _{\mu }(f^{2})\leq C\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big |}\nabla f(x){\big |}^{2}\,d\mu (x),$

где $\operatorname {Ent} _{\mu }(f^{2})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f^{2}\log {\frac {f^{2}}{\int _{\mathbb {R} ^{n}}f^{2}\,d\mu (x)}}\,d\mu (x)$ – функционал энтропии.

Ссылки

• Гросс, Леонард (1975a), «Логарифмические неравенства Соболева», American Journal of Mathematics , 97 (4): 1061–1083, doi : 10.2307/2373688 , JSTOR   2373688
• Гросс, Леонард (1975b), «Гиперконтрактивность и логарифмические неравенства Соболева для формы Клиффорда-Дирихле» , Duke Mathematical Journal , 42 (3): 383–396, doi : 10.1215/S0012-7094-75-04237-4