Теорема Шредера–Бернштейна для измеримых пространств

Теорема Кантора -Бернштейна-Шредера имеет теории множеств аналог для измеримых пространств , иногда называемый теоремой Бореля Шредера-Бернштейна, поскольку измеримые пространства также называются борелевскими пространствами . Эта теорема, доказательство которой довольно просто, полезна при доказательстве изоморфности двух измеримых пространств. Общая теория стандартных борелевских пространств содержит очень сильные результаты об изоморфных измеримых пространствах, см. теорему Куратовского . Однако (а) последнюю теорему очень трудно доказать, (б) первая теорема удовлетворительна во многих важных случаях (см. Примеры) и (в) первая теорема используется при доказательстве второй теоремы.

Теорема

Позволять $X$ и $Y$ быть измеримыми пространствами. Если существуют инъективные биизмеримые отображения $f:X\to Y,$ $g:Y\to X,$ затем $X$ и $Y$ изоморфны ( свойство Шредера–Бернштейна ).

Фраза " $f$ биизмерима» означает, что, во-первых, $f$ измеримо . (т. е прообраз $f^{-1}(B)$ измеримо для каждого измеримого $B\subset Y$ ), и во-вторых, изображение $f(A)$ измеримо для каждого измеримого $A\subset X$ . (Таким образом, $f(X)$ должно быть измеримым подмножеством $Y,$ не обязательно весь $Y.$ )

Изоморфизм (между двумя измеримыми пространствами) по определению является биизмеримой биекцией . Если оно существует, то эти измеримые пространства называются изоморфными.

Доказательство

Сначала строится биекция $h:X\to Y$ из $f$ и $g$ точно так же, как при доказательстве теоремы Кантора–Бернштейна–Шредера . Второй, $h$ измеримо, так как совпадает с $f$ на измеримом множестве и с $g^{-1}$ по его дополнению. Сходным образом, $h^{-1}$ измерима.

Примеры

Пример 1

Открытый интервал (0, 1) и замкнутый интервал [0, 1], очевидно, неизоморфны как топологические пространства (т. е. не гомеоморфны ). Однако они изоморфны как измеримые пространства. Действительно, отрезок, очевидно, изоморфен более короткому подинтервалу открытого отрезка. Кроме того, открытый интервал, очевидно, изоморфен части замкнутого интервала (например, самому себе).

Пример 2

Настоящая линия $\mathbb {R}$ и самолет $\mathbb {R} ^{2}$ изоморфны как измеримые пространства. Это немедленно встроить $\mathbb {R}$ в $\mathbb {R} ^{2}.$ Обратное, вложение $\mathbb {R} ^{2}.$ в $\mathbb {R}$ (конечно, как измеримые пространства, а не как топологические пространства) можно сделать известным приемом с вкраплениями цифр; например,

г (π,100e) = г ( 3.14159 265… , 271.82818 28… ) = 2 0 7 3 1 . 1 8 4 2 1 8 5 1 9 8 2 2 6 8 5 ….

Карта $g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ явно инъективен. Легко проверить, что оно бимеримо. (Однако оно не является биективным; например, число $1/11=0.090909\dots$ не имеет формы $g(x,y)$ ).

Ссылки

С.М. Шривастава, Курс по борелевским множествам , Springer, 1998.

См. предложение 3.3.6 (на странице 96) и первый абзац раздела 3.3 (на странице 94).