Критерий устойчивости Бистрица

В теории обработки сигналов и управления — критерий Бистрица это простой метод определения дискретной линейной инвариантной во времени (LTI) системы, устойчивости предложенный Ювалем Бистрицем . Устойчивость дискретной системы LTI требует, чтобы ее характеристический полином

$D_{n}(z)=d_{0}+d_{1}z+d_{2}z^{2}+\cdots +d_{n-1}z^{n-1}+d_{n}z^{n}$

(полученный из его разностного уравнения , его динамической матрицы или появляющийся как знаменатель его передаточной функции) является устойчивым полиномом , где $D_{n}(z)$ называется устойчивым, если все его корни (нули) находятся внутри единичного круга, т.е.

$|z_{k}|<1,k=1,\dots ,n$,

где $D_{n}(z)=d_{n}\prod _{k=1}^{n}(z-z_{k})$. Тест определяет, является ли $D_{n}(z)$ алгебраически устойчива (т.е. без численного определения нулей). Этот метод также решает проблему полного нулевого местоположения (ZL). А именно, он может подсчитать количество нулей внутри единичного круга (IUC) ( $|z_{k}|<1$), на нулях единичного круга (UC) нулях ( $|z_{k}|=1$) и вне нулей единичного круга (OUC) ( $|z_{k}|>1$) для любого вещественного или комплексного полинома . Тест Бистрица — это дискретный эквивалент критерия Рауса, используемый для проверки устойчивости непрерывных систем LTI. Это название было введено вскоре после его презентации. Также было признано, что он более эффективен, чем ранее доступные тесты стабильности для дискретных систем, такие как тест Шура-Кона и тест Жюри .

Далее основное внимание уделяется только тому, как проверить устойчивость действительного полинома. Однако до тех пор, пока базовая рекурсия, необходимая для проверки стабильности, остается в силе, правила ZL также применяются.

Алгоритм

Учитывать $D_{n}(z)$ как указано выше, и предположим $D_{n}(1)\neq 0$. (Если $D_{n}(1)=0$ полином не является устойчивым.) Рассмотрим его обратный многочлен

$D_{n}^{\sharp }(z)=z^{n}D_{n}(1/z)=d_{n}+d_{n-1}z+d_{n-2}z^{2}+\cdots +d_{n-1}z^{n-1}+d_{0}z^{n}$.

Алгоритм назначает $D_{n}(z)$ последовательность симметричных полиномов

$T_{m}(z)=T_{m}^{\sharp }(z),\ m=n,n-1,\ldots ,0$

созданный трехчленной полиномиальной рекурсией. Выпишите многочлены по их коэффициентам ,

$T_{m}(z)=\sum _{k=0}^{m}t_{m,k}z^{k}$,

симметрия означает, что

$T_{m}(z)=t_{m,0}+t_{m,1}z+\cdots +t_{m,1}z^{m-1}+t_{m,0}z^{m}$,

так что достаточно вычислить для каждого многочлена только около половины коэффициентов. Рекурсия начинается с двух начальных полиномов, полученных из суммы и разности проверяемого полинома и обратного ему полинома, затем каждый последующий полином уменьшенной степени получается из двух последних известных полиномов.

Инициирование:

$T_{n}(z)=D_{n}(z)+D_{n}^{\sharp }(z),\quad T_{n-1}(z)={\frac {D_{n}(z)-D_{n}^{\sharp }(z)}{z-1}}$

Рекурсия: для $m=n-1,\ldots ,1$ делать:

$\delta _{m+1}={\frac {T_{m+1}(0)}{T_{m}(0)}}$

$T_{m-1}(z)={\frac {\delta _{m+1}(1+z)T_{m}(z)-T_{m+1}(z)}{z}}$

Условие устойчивости

Успешное завершение последовательности с помощью указанной выше рекурсии требует $T_{m}(0)\neq 0,\ m=n-1,\dots ,1$. Распространение этих условий на $T_{m}(0)\neq 0,\ m=n,\dots ,0$ называются нормальными условиями.

Для стабильности необходимы нормальные условия. Это означает, что тестируемый полином можно объявить неустойчивым, как только $T_{m}(0)=t_{m,0}=t_{m,m}=0$ наблюдается. Отсюда также следует, что приведенная выше рекурсия достаточно широка для проверки устойчивости, поскольку полином можно объявить нестабильным до того, как произойдет деление на ноль.

Теорема . Если последовательность не является нормальной, то $D_{n}(z)$ не является стабильным. Если выполняются нормальные условия, то полная последовательность симметричных многочленов корректно определена. Позволять

$\nu =Var\{T_{n}(1),T_{n-1}(1),\ldots ,T_{1}(1),t_{0,0}\}$

обозначают подсчет количества вариаций знака в указанной последовательности. Затем $D_{n}(z)$ устойчив тогда и только тогда, когда $\nu =0$. В более общем смысле, если соблюдаются нормальные условия, то $D_{n}(z)$ не имеет нулей UC, $\nu$ нули OUC и $n-\nu$ нули IUC.

Нарушение различных необходимых условий стабильности может быть выгодно использовано как ранний признак того, что полином нестабилен (имеет по крайней мере один ноль UC или OUC). Полином можно объявить неустойчивым, как только $T_{m}(0)=0$или $\delta _{m}<0$, или сменой знака в последовательности $T_{m}(1)$s наблюдается.

Пример

Рассмотрим полином $D_{3}(z)=2+Kz-22z^{2}+24z^{3}$, где $K$ это реальный параметр.

Q1: Для каких значений $K$ полином устойчив?

Постройте последовательность:

$T_{3}(z)=26+(K-22)z+(K-22)z^{2}+26z^{3}$

$T_{2}(z)=22-Kz+22z^{2}$

$T_{1}(z)={\frac {24(22-K)}{11}}(1+z)$

$T_{0}(z)=44+K$

Используйте их значения при z = 1, чтобы сформировать

$\operatorname {Var} (8+2K,44-K,48(22-K)/11,44+K)$

Все элементы последовательности положительны при −4 < K < 22 (и ни при каком K они все не отрицательны). Следовательно, D( z ) стабильна при −4 < K < 22.

Вопрос 2: Найдите ZL для K = 33 Var { 71, 11, −48, 11 } = 2 ⇒ 2 OUC, 1 нуля IUC.

Вопрос 3: Найдите ZL для K = −11 Var{ −14, 55, 144, 33 } = 1 ⇒ 1 OUC, 2 нуля IUC.

Комментарии

(1) Этот тест имеет удивительное сходство с тестом Рауса . Лучше всего это наблюдается, когда тест Рауса соответствующим образом организован в соответствующую трехчленную полиномиальную рекурсию.

(2) Тест Бистрица использует трехчленную полиномиальную рекурсию, которая распространяет полиномы с симметрией, в отличие от ранее доступных классических тестов для дискретных систем, которые распространяют полиномы без определенной структуры с использованием двухчленной рекурсии. Это стимулировало открытие большего количества алгоритмов в области цифровой обработки сигналов (например, решения задачи линейного прогнозирования ) и дискретных систем (например, проверки стабильности многомерных систем), которые в совокупности называются алгоритмами «иммитанса» или «разделения», которые использовали этот метод для более эффективные аналоги других классических алгоритмов так называемого «рассеяния». Тест Бистрица представляет собой «иммитансный» аналог классических тестов Шура – ​​Кона и Жюри типа «рассеяния» .