Индекс Коши

В математическом анализе индекс Коши представляет собой целое число, соответствующее действительной рациональной функции на интервале . По теореме Рауса–Гурвица имеем следующую интерпретацию: индекс Коши

р ( Икс ) знак равно п ( Икс )/ q ( Икс )

над вещественной прямой — это разница между количеством корней f ( z ), расположенных в правой полуплоскости, и корней, расположенных в левой полуплоскости. Комплексный полином f ( z ) таков, что

ж ( iy ) знак равно q ( y ) + ip ( y ).

Мы также должны предположить, что степень p меньше степени q .

Определение

• Индекс Коши был впервые определен для полюса s рациональной функции r Огюстеном -Луи Коши в 1837 году с использованием односторонних пределов как:

$I_{s}r={\begin{cases}+1,&{\text{if }}\displaystyle \lim _{x\uparrow s}r(x)=-\infty \;\land \;\lim _{x\downarrow s}r(x)=+\infty ,\\-1,&{\text{if }}\displaystyle \lim _{x\uparrow s}r(x)=+\infty \;\land \;\lim _{x\downarrow s}r(x)=-\infty ,\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

• Обобщение на компактный интервал [ a , b ] является прямым (когда ни a, ни b не являются полюсами r ( x )): это сумма индексов Коши $I_{s}$ r находящегося для каждого s, в интервале. Обычно мы обозначаем его $I_{a}^{b}r$.
• Затем мы можем обобщить интервалы типа $[-\infty ,+\infty ]$ поскольку количество полюсов r является конечным числом (путем принятия предела индекса Коши по [ a , b ] для a и b, стремящихся к бесконечности).

Примеры

Рациональная функция

• Рассмотрим рациональную функцию:

$r(x)={\frac {4x^{3}-3x}{16x^{5}-20x^{3}+5x}}={\frac {p(x)}{q(x)}}.$

Узнаем в p ( x ) и q ( x ) соответственно полиномы Чебышева степени 3 и 5. Следовательно, r ( x ) имеет полюсы $x_{1}=0.9511$, $x_{2}=0.5878$, $x_{3}=0$, $x_{4}=-0.5878$ и $x_{5}=-0.9511$, то есть $x_{j}=\cos((2i-1)\pi /2n)$ для $j=1,...,5$. На картинке мы видим, что $I_{x_{1}}r=I_{x_{2}}r=1$ и $I_{x_{4}}r=I_{x_{5}}r=-1$. Для полюса в нуле имеем $I_{x_{3}}r=0$ поскольку левый и правый пределы равны (это потому, что p ( x ) также имеет корень из нуля). Мы заключаем, что $I_{-1}^{1}r=0=I_{-\infty }^{+\infty }r$ поскольку q ( x ) имеет только пять корней, все из [−1,1]. Мы не можем здесь использовать теорему Рауса–Гурвица, поскольку каждый комплексный многочлен с f ( iy ) = q ( y ) + ip ( y ) имеет нуль на мнимой прямой (а именно в начале координат).

Внешние ссылки

• Индекс Коши