Преаддитивная категория

В математике , особенно в теории категорий , предаддитивная категория — это другое название Ab-категории , т. е. категории обогащенной , категорией абелевых групп Ab .То есть Ab-категория C — это такая категория , чтокаждое hom-множество Hom( A , B ) в C имеет структуру абелевой группы, а композиция морфизмов билинейна в том смысле, что композиция морфизмов распределяется по групповой операции.В формулах: $f\circ (g+h)=(f\circ g)+(f\circ h)$ и $(f+g)\circ h=(f\circ h)+(g\circ h),$ где + — групповая операция.

Некоторые авторы использовали термин «аддитивная категория» для обозначения предаддитивных категорий, но здесь мы следуем современной тенденции резервирования этого термина для определенных специальных предаддитивных категорий (см. § Особые случаи ниже).

Примеры

Наиболее очевидным примером преаддитивной категории является сама категория Ab . Точнее, Ab — замкнутая моноидальная категория . Обратите внимание, что коммутативность здесь решающее значение имеет ; это гарантирует, что сумма двух групповых гомоморфизмов снова является гомоморфизмом. Напротив, категория всех групп не является замкнутой. См. категорию «Медиальная» .

Другие распространенные примеры:

Категория (левых) модулей над кольцом R , в частности:
- категория векторных пространств над полем K .
Алгебра матриц над кольцом, рассматриваемая как категория, описанная в статье Аддитивная категория .
Любое кольцо, рассматриваемое как категория только с одним объектом, является преаддитивной категорией. Здесь композиция морфизмов представляет собой просто умножение колец, а единственное hom-множество является базовой абелевой группой.

Это даст вам представление о том, о чем подумать; Дополнительные примеры можно найти по ссылкам на § Особые случаи ниже.

Элементарные свойства

Поскольку каждое hom-множество Hom( A , B ) является абелевой группой, оно имеет нулевой элемент 0. Это нулевой морфизм из A в B . Поскольку композиция морфизмов билинейна, композиция нулевого морфизма и любого другого морфизма (с обеих сторон) должна быть другим нулевым морфизмом. Если вы думаете о композиции как об аналоге умножения, то это говорит о том, что умножение на ноль всегда приводит к нулевому произведению, что является знакомой интуицией. Продолжая эту аналогию, тот факт, что композиция в целом билинейна, становится дистрибутивностью умножения над сложением.

Сосредоточив внимание на одном объекте A в преаддитивной категории, эти факты говорят, что эндоморфизм hom-множества Hom( A , A ) является кольцом , если мы определяем умножение в кольце как композицию. Это кольцо является эндоморфизмов A . кольцом И наоборот, каждое кольцо (с единицей ) является кольцом эндоморфизмов некоторого объекта в некоторой преаддитивной категории. Действительно, учитывая кольцо R , мы можем определить преаддитивную категорию R так, чтобы она имела единственный объект A , пусть Hom( A , A ) будет R , а композиция — это умножение колец. Поскольку R — абелева группа, а умножение в кольце билинейно (дистрибутивно), это делает R преаддитивной категорией. Теоретики категорий часто думают о кольце R и категории R как о двух разных представлениях одного и того же объекта, так что особенно извращенный теоретик категорий может определить кольцо как предаддитивную категорию ровно с одним объектом (так же, как моноид может рассматриваться как категория только с одним объектом — и забвение аддитивной структуры кольца дает нам моноид).

Таким образом, преаддитивные категории можно рассматривать как обобщение колец. Многие понятия из теории колец, такие как идеалы , радикалы Джекобсона и факторкольца , можно напрямую обобщить на этот случай. Пытаясь записать эти обобщения, следует думать о морфизмах преаддитивной категории как об «элементах» «обобщенного кольца».

Аддитивные функторы

Если $C$ и $D$ являются предаддитивными категориями, то функтор $F:C\rightarrow D$ является аддитивным, если он также обогащен по категории $Ab$ . То есть, $F$ является аддитивным тогда и только тогда , когда для любых объектов $A$ и $B$ из $C$ , функция $F:{\text{Hom}}(A,B)\rightarrow {\text{Hom}}(F(A),F(B))$ является групповым гомоморфизмом . Большинство функторов, изучаемых между предаддитивными категориями, являются аддитивными.

Простой пример: если кольца $R$ и $S$ представлены однообъектными предаддитивными категориями $C_{R}$ и $C_{S}$ , то кольцевой гомоморфизм из $R$ к $S$ представляется аддитивным функтором из $C_{R}$ к $C_{S}$ , и наоборот.

Если $C$ и $D$ являются категориями и $D$ предаддитивна, то категория функтора $D^{C}$ также является преаддитивным, поскольку естественные преобразования могут быть добавлены естественным путем.Если $C$ также предаддитивна, то категория ${\text{Add}}(C,D)$ аддитивных функторов и всех естественных преобразований между ними также является преаддитивным.

Последний пример приводит к обобщению модулей над кольцами: если $C$ является предаддитивной категорией, то ${\text{Mod}}(C)\mathbin {:=} {\text{Add}}(C,Ab)$ называется категорией модуля над $C$ . ^{[ нужна ссылка ]} Когда $C$ — однообъектная преаддитивная категория, соответствующая кольцу $R$ , это сводится к обычной категории (слева) $R$ -модули . Опять же, практически все понятия теории модулей можно обобщить на этот случай.

$R$ -линейные категории

В более общем смысле можно рассмотреть категорию $C,$ обогащенную моноидальной категорией модулей над коммутативным кольцом $R$ , называемую $R$ -линейной категорией . Другими словами, каждый hom-множество ${\text{Hom}}(A,B)$ в $C$ имеет структуру $R$ -модуля, а композиция морфизмов $R$ -билинейна.

При рассмотрении функторов между двумя $R$ -линейными категориями часто ограничиваются теми, которые являются $R$ -линейными, то есть теми, которые индуцируют $R$ -линейные отображения на каждом hom-множестве.

Бипродукты

Любой конечный продукт в предаддитивной категории должен также быть копродукцией , и наоборот. Фактически, конечные продукты и копродукции в предаддитивных категориях могут быть охарактеризованы следующим условием бипродукта :

Объект B является побочным произведением объектов A ₁ , ..., An _{тогда и} только тогда, когда существуют морфизмы проекции p _j : B → A _j и морфизмы вложения i _j : A _j → B такие, что ( i ₁ ∘ p ₁ ··· + ( i _n ∘ p _n ) — тождественный морфизм B , p _j ∘ i _j — тождественный морфизм A ) + _j , а p _j ∘ i _k — нулевой морфизм из A _k в A _j всякий раз, j и k различны когда .

двойное произведение часто записывают A ₁ ⊕ ··· ⊕ An _Это , заимствуя обозначение прямой суммы . Это связано с тем, что бипродукт в хорошо известных предаддитивных категориях, таких как Ab, представляет собой прямую сумму. Однако, хотя бесконечные прямые суммы имеют смысл в некоторых категориях, таких как Ab , бесконечные двойные произведения не имеют смысла (см . § Свойства абелевых групп ).

Условие двойного произведения в случае n = 0 существенно упрощается; B является нулевым бипроизведением тогда и только тогда, когда тождественный морфизм B является нулевым морфизмом из B в себя или, что то же самое, если hom-множество Hom( B , B ) является тривиальным кольцом . Обратите внимание: поскольку нулевой бипродукт будет одновременно конечным (нулевой продукт) и начальным (нулевой копродукцией), фактически он будет нулевым объектом .Действительно, термин «нулевой объект» возник при изучении преаддитивных категорий, таких как Ab , где нулевой объект — это нулевая группа .

Преаддитивная категория, в которой существует каждый бипродукт (включая нулевой объект), называется аддитивной . Дополнительные факты о побочных продуктах, которые в основном полезны в контексте категорий добавок, можно найти в этом разделе.

Ядра и коядра

Поскольку hom-множества в преаддитивной категории имеют нулевые морфизмы,понятие ядра и коядра имеет смысл. То есть, если f : A → B являетсяморфизма в преаддитивной категории, то ядро f является эквалайзер f f и нулевого морфизма из A в B а коядро и этого является коэквалайзером f , нулевого морфизма. В отличие от произведений и сопутствующих произведений, ядро и коядро f обычно не равны в предаддитивной категории.

При специализации на преаддитивных категориях абелевых групп или модулей над кольцом это понятие ядра совпадает с обычным понятием ядра гомоморфизма , если отождествить обычное ядро K функции f : A → B с его вложением K → A. . Однако в общей преаддитивной категории могут существовать морфизмы без ядер и/или коядер.

Существует удобная связь между ядром и коядром и структурой абелевой группы на hom-множествах. Учитывая параллельные морфизмы f и g , эквалайзер f и g является просто ядром g − f , если таковое существует, и аналогичный факт верен для коэквалайзеров. Альтернативный термин «разностное ядро» для двоичных эквалайзеров возник из этого факта.

Преаддитивная категория, в которой существуют все бипродукты, ядра и коядра, называется преабелевой . Дополнительные факты о ядрах и коядрах в предаддитивных категориях, которые в основном полезны в контексте преабелевых категорий, можно найти в этом разделе.

Особые случаи

Большинство из этих особых случаев преаддитивных категорий были упомянуты выше, но здесь они собраны для справки.

Кольцо . — это преаддитивная категория, содержащая ровно один объект
Аддитивная категория — это преаддитивная категория со всеми конечными бипродуктами.
Преабелева категория — это аддитивная категория со всеми ядрами и коядрами.
Абелева категория — это предабелева категория, такая, что мономорфизм и эпиморфизм нормален любой .

Наиболее часто изучаемые преаддитивные категории на самом деле являются абелевыми категориями; например, Ab — абелева категория.

Ссылки

Николае Попеску ; 1973 год; Абелевы категории с приложениями к кольцам и модулям ; Академик Пресс, Инк.; распродано
Чарльз Вейбель ; 1994 год; Введение в гомологическую алгебру ; Кембриджский университет. Нажимать