Нормальный морфизм

В теории категорий и ее приложениях к математике нормальный мономорфизм или конормальный эпиморфизм — это тип морфизма с особенно хорошим поведением . — Нормальная категория это категория, в которой каждый мономорфизм нормален. — Конормальная категория это категория, в которой каждый эпиморфизм конормален.

Определение

Мономорфизм нормален , если он является ядром некоторого морфизма, а эпиморфизм конормален, если он является коядром некоторого морфизма.

Категория C является бинормальной , если она одновременно нормальна и конормальна.Но обратите внимание, что некоторые авторы будут использовать слово «нормальный» только для того, чтобы указать, что C является бинормальным.

Примеры

В категории групп мономорфизм f из H в G нормален тогда и только тогда, когда образ является нормальной подгруппой группы G. его В частности, если H — подгруппа G H , то отображение включения i из H в G мономорфизмом и будет нормальным тогда и только тогда, когда — нормальная подгруппа G. является Фактически отсюда и произошел термин «нормальный» для мономорфизмов.

С другой стороны, каждый эпиморфизм в категории групп конормален (поскольку он является коядром своего собственного ядра), поэтому эта категория конормальна.

В абелевой категории каждый мономорфизм является ядром своего коядра, а каждый эпиморфизм является коядром своего ядра.Таким образом, абелевы категории всегда бинормальны.Категория абелевых групп является фундаментальным примером абелевой категории, и, соответственно, каждая подгруппа абелевой группы является нормальной подгруппой.

Ссылки

• Раздел I.14 Митчелл, Барри (1965). Теория категорий . Чистая и прикладная математика. Том. 17. Академическая пресса. ISBN  978-0-124-99250-4 . МР   0202787 .