Аксиома симметрии Фрейлинга

Аксиома симметрии Фрейлинга ( ${\texttt {AX}}$) — теоретико-множественная аксиома, предложенная Крисом Фрейлингом . Он основан на интуиции Стюарта Дэвидсона. но математика, стоящая за этим, восходит к Вацлаву Серпинскому .

Позволять $A\subseteq {\mathcal {P}}([0,1])^{[0,1]}$ обозначим множество всех функций из $[0,1]$ счетным подмножествам $[0,1]$. (Другими словами, $A={\big [}[0,1]{\big ]}^{\leq \omega }$.) Аксиома ${\texttt {AX}}$ говорится:

Для каждого $f\in A$, существуют $x,y\in [0,1]$ такой, что $x\not \in f(y)$ и $y\not \in f(x)$.

Теорема Серпинского гласит, что в условиях теории множеств ZFC ${\texttt {AX}}$ эквивалентно отрицанию гипотезы континуума (CH). Теорема Серпинского ответила на вопрос Гуго Штейнгауза и была доказана задолго до того, как независимость CH была установлена Курт Гёдель и Пол Коэн .

Фрейлинг утверждает, что вероятностная интуиция решительно поддерживает это утверждение, в то время как другие с этим не согласны. Существует несколько версий аксиомы, некоторые из которых обсуждаются ниже.

Аргумент Фрейлинга

Зафиксируйте функцию f в A . Мы рассмотрим мысленный эксперимент, который предполагает бросание двух дротиков с единичным интервалом. чисел x и y Мы не можем физически определить с бесконечной точностью действительные значения попадаемых . Аналогично, вопрос о том, находится ли « y в f ( x )» на самом деле не может быть вычислен физически. Тем не менее, если f действительно является функцией, то этот вопрос имеет смысл и будет иметь определенный ответ «да» или «нет».

Теперь подождите, пока будет брошен первый дротик x , а затем оцените вероятность того, что второй дротик y окажется в f ( x ). Поскольку x теперь фиксировано, f ( x ) является фиксированным счетным множеством и имеет нулевую меру Лебега . Следовательно, это событие при фиксированном x имеет нулевую вероятность. Фрейлинг делает теперь два обобщения:

• Поскольку мы можем с виртуальной уверенностью предсказать, что « y не входит в f ( x )» после броска первого дротика, и поскольку это предсказание справедливо независимо от того, что сделает первый дротик, мы должны быть в состоянии сделать это предсказание до того, как будет брошен первый дротик. дротик брошен. Это не значит, что у нас все еще есть измеримое событие, скорее это интуитивное представление о природе предсказуемости.
• Поскольку утверждение « y не находится в f ( x )» предсказуемо верно, то благодаря симметрии порядка, в котором были брошены дротики (отсюда и название «аксиома симметрии»), мы также должны быть в состоянии предсказать с виртуальной уверенностью, что « x не находится в f ( y )».

Аксиома ${\texttt {AX}}$ теперь оправдано тем принципом, что то, что предсказуемо происходит каждый раз, когда проводится этот эксперимент, должно, по крайней мере, быть возможным. Следовательно, должны существовать два действительных числа x , y такие, что x не находится в f ( y ), а y не находится в f ( x ).

Связь с (обобщенной) гипотезой континуума

Исправить $\kappa \,$ бесконечный кардинал ( например, $\aleph _{0}\,$). Позволять ${\texttt {AX}}_{\kappa }.\,$ быть утверждением: карты нет $f:{\mathcal {P}}(\kappa )\to {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\kappa ))\,$ от наборов к наборам размера $\leq \kappa$ для чего $(\forall {x,y\in {\mathcal {P}}(\kappa )})\,$ или $x\in f(y)\,$ или $y\in f(x)\,$.

Требовать: ${\texttt {ZFC}}\vdash 2^{\kappa }=\kappa ^{+}\leftrightarrow \neg {\texttt {AX}}_{\kappa }.\,$.

Доказательство: Часть I ( $\Rightarrow \,$):

Предполагать $2^{\kappa }=\kappa ^{+}\,$. Тогда существует биекция $\sigma :\kappa ^{+}\to {\mathcal {P}}(\kappa )\,$. Параметр $f:{\mathcal {P}}(\kappa )\to {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\kappa ))\,$ определяется через $\sigma (\alpha )\mapsto \{\sigma (\beta ):\beta \preceq \alpha \}\,$, легко видеть, что это демонстрирует несостоятельность аксиомы Фрейлинга.

Часть II ( $\Leftarrow \,$):

Предположим, что аксиома Фрейлинга неверна. Тогда исправьте некоторые $f\,$ чтобы убедиться в этом факте. Определить отношение порядка на ${\mathcal {P}}(\kappa )\,$ к $A\leq _{f}B$ если только $A\in f(B)$. Это отношение тотально, и каждая точка имеет $\leq \kappa$ множество предшественников. Определим теперь строго возрастающую цепь $(A_{\alpha }\in {\mathcal {P}}(\kappa ))_{\alpha <\kappa ^{+}}$ следующим образом: на каждом этапе выбирают $A_{\alpha }\in {\mathcal {P}}(\kappa )\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }f(A_{\xi })$. Этот процесс осуществим, поскольку для каждого порядкового номера $\alpha <\kappa ^{+}\,$, $\bigcup _{\xi <\alpha }f(A_{\xi })\,$ представляет собой союз $\leq \kappa \,$ много наборов размеров $\leq \kappa \,$; таким образом, имеет размер $\leq \kappa <2^{\kappa }\,$ и это строгое подмножество ${\mathcal {P}}(\kappa )\,$. Мы также имеем, что эта последовательность конфинальна в определенном порядке, т. е. каждый член ${\mathcal {P}}(\kappa )\,$ является $\leq _{f}\,$ некоторый $A_{\alpha }\,$. (В противном случае, если $B\in {\mathcal {P}}(\kappa )\,$ не $\leq _{f}\,$ некоторый $A_{\alpha }$, то поскольку заказ полный $(\forall {\alpha <\kappa ^{+}})A_{\alpha }\leq _{f}B\,$; подразумевая $B\,$ имеет $\geq \kappa ^{+}>\kappa \,$ множество предшественников; противоречие.) Таким образом, мы можем корректно определить отображение $g:{\mathcal {P}}(\kappa )\to \kappa ^{+}\,$ к $B\mapsto \operatorname {min} \{\alpha <\kappa ^{+}:B\in f(A_{\alpha })\}$.

Так ${\mathcal {P}}(\kappa )=\bigcup _{\alpha <\kappa ^{+}}g^{-1}\{\alpha \}=\bigcup _{\alpha <\kappa ^{+}}f(A_{\alpha })\,$ что представляет собой союз $\kappa ^{+}\,$ много наборов каждого размера $\leq \kappa \,$. Следовательно $2^{\kappa }\leq \kappa ^{+}\cdot \kappa =\kappa ^{+}\,$.

$\blacksquare$ (Требовать)

Обратите внимание, что $|[0,1]|=|{\mathcal {P}}(\aleph _{0})|\,$ поэтому мы можем легко переставить вещи, чтобы получить это $\neg {\texttt {CH}}\Leftrightarrow \,$ упомянутая выше форма аксиомы Фрейлинга.

Вышесказанное можно уточнить: ${\texttt {ZF}}\vdash ({\texttt {AC}}_{{\mathcal {P}}(\kappa )}+\neg {\texttt {AX}}_{\kappa })\leftrightarrow {\texttt {CH}}_{\kappa }\,$. Это показывает (вместе с тем фактом, что гипотеза континуума не зависит от выбора) точный способ, которым (обобщенная) гипотеза континуума является расширением аксиомы выбора.

Возражения против аргумента Фрейлинга

Аргумент Фрейлинга не получил широкого признания из-за следующих двух проблем, связанных с ним (о которых Фрейлинг хорошо знал и которые обсуждал в своей статье).

• Наивная вероятностная интуиция, используемая Фрейлингом, молчаливо предполагает , что существует разумный способ связать вероятность с любым подмножеством действительных чисел. Но математическая формализация понятия вероятности использует понятие меры , однако аксиома выбора подразумевает существование неизмеримых подмножеств, даже единичного интервала. Некоторыми примерами этого являются парадокс Банаха-Тарского и существование множеств Витали .
• Незначительная вариация его аргумента приводит к противоречию с аксиомой выбора независимо от того, принимается или нет гипотеза континуума, если заменить счетную аддитивность вероятности аддитивностью для кардиналов, меньших, чем континуум. (Фрейлинг использовал аналогичный аргумент, утверждая, что аксиома Мартина ложна.) Неясно, почему интуиция Фрейлинга должна быть менее применима в этом случае, если она вообще применима. ( Maddy 1988 , стр. 500) Таким образом, аргумент Фрейлинга кажется скорее аргументом против возможности хорошо упорядочить реальность, чем против гипотезы континуума.

Связь с теорией графов

Используя тот факт, что в ZFC у нас есть $2^{\kappa }=\kappa ^{+}\Leftrightarrow \neg {\texttt {AX}}_{\kappa }\,$ (см. выше ), нетрудно видеть, что нарушение аксиомы симметрии — и, следовательно, успех $2^{\kappa }=\kappa ^{+}\,$ — эквивалентно следующему комбинаторному принципу для графов:

• Полный график на ${\mathcal {P}}(\kappa )\,$ может быть направлено так, что каждый узел ведет не более чем к $\kappa \,$-много узлов.

В случае $\kappa =\aleph _{0}\,$, это переводится как:

• Полный граф на единичной окружности (или любом наборе того же размера, что и вещественные числа) может быть направлен так, что каждый узел имеет путь не более чем к счетному множеству узлов.

Таким образом, в контексте ZFC несоблюдение аксиомы Фрейлинга эквивалентно существованию определенного вида функции выбора.

Ссылки

• Фрейлинг, Крис (1986), «Аксиомы симметрии: бросание дротиков в линию действительных чисел», Journal of Символическая логика , 51 (1): 190–200, doi : 10.2307/2273955 , JSTOR   2273955 , MR   0830085
• Мэдди, Пенелопа (1988), «Веря в аксиомы. I», Журнал символической логики , 53 (2): 481–511, doi : 10.2307/2274520 , JSTOR   2274520 , MR   0947855
• Мамфорд, Дэвид (2000), «На заре эпохи стохастичности», В. Арнольд, П. Лакс; Б. Мазур, М. Атья (ред.), Математика: границы и перспективы , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 197–218, MR   1754778
• Серпинский, Вацлав (1956) [1934], Hypothèse du continu , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Chelsea Publishing Company, MR   0090558
• Симмс, Джон К. (1989), «Традиционные принципы Кавальери применительно к современному понятию площади», Journal of Philosophical Logic , 18 (3): 275–314, doi : 10.1007/BF00274068 , MR   1008850