Теория множеств действительной линии

Теория множеств действительной линии — это область математики, занимающаяся применением теории множеств к аспектам действительных чисел .

Например, известно, что все счетные множества действительных чисел равны нулю , т. е. имеют меру Лебега 0; поэтому можно было бы задать вопрос о минимально возможном размере наборачто не является нулем Лебега. Этот инвариант называется равномерностью идеала нулевых множеств и обозначается $non({\mathcal {N}})$ . Существует множество таких инвариантов, связанных с этим и другими идеалами, например идеал скудных множеств , а также другие, не имеющие характеристики в терминах идеалов. Если верна гипотеза континуума (CH), то все такие инварианты равны $\aleph _{1}$ , наименьший несчетный кардинал . Например, мы знаем $non({\mathcal {N}})$ несчетно , но , будучи размером с некоторый набор действительных чисел в CH, он может быть не более $\aleph _{1}$ .

С другой стороны, если принять аксиому Мартина (МА), все общие инварианты «большие», что равно ${\mathfrak {c}}$ , мощность континуума . Аксиома Мартина согласуется с ${\mathfrak {c}}>\aleph _{1}$ . Фактически, следует рассматривать аксиому Мартина как аксиому принуждения , которая отрицает необходимость выполнения определенных воздействий определенного класса (тех, которые удовлетворяют ccc , поскольку согласованность MA с большим континуумом доказывается выполнением всех таких воздействий (вплоть до определенного размера). показано, что достаточно). Каждый инвариант можно сделать большим с помощью некоторого воздействия ccc, таким образом, каждый инвариант является большим при заданном MA.

Если ограничиться конкретными воздействиями, некоторые инварианты станут большими, а другие останутся малыми. Анализ этих эффектов является основной работой в этой области, направленной на определение того, какие неравенства между инвариантами доказуемы, а какие несовместимы с ZFC. Неравенства между идеалами меры (нулевые множества) и категории (милые множества) отражены на диаграмме Сишона . Семнадцать моделей (вынуждающих конструкций) были созданы в 1980-е годы, начиная с работы Арнольда Миллера, чтобы продемонстрировать, что никакие другие неравенства не доказуемы. Они подробно анализируются в книге Томека Бартошинского и Хаима Джуды, двух выдающихся специалистов в этой области.

Один любопытный результат заключается в том, что если вы можете покрыть реальную линию $\kappa$ скудные наборы (где $\aleph _{1}\leq \kappa \leq {\mathfrak {c}}$ ) затем $non({\mathcal {N}})\geq \kappa$ ; и наоборот, если вы можете покрыть реальную линию $\kappa$ нулевые множества, то наименьший не скудный набор имеет размер не менее $\kappa$ ; оба эти результата следуют из существования разложения $\mathbb {R}$ как объединение скудного множества и нулевого множества.

Одной из последних больших нерешенных проблем региона была последовательность

{\mathfrak {d}}<{\mathfrak {a}},

доказано в 1998 году Сахароном Шелахом .

См. также

Ссылки

Бартошинский, Томек и Джуда, Хаим Теория множеств: О структуре вещественной прямой AK Peters Ltd. (1995). ISBN 1-56881-044-X
Миллер, Арнольд Некоторые свойства меры и категории. Труды Американского математического общества, 266 (1): 93–114, (1981).