Фильтр (теория множеств)

В математике фильтр на множестве $X$ это семья ${\mathcal {B}}$ подмножеств таких , что: ^[1]

$X\in {\mathcal {B}}$ и $\emptyset \notin {\mathcal {B}}$
если $A\in {\mathcal {B}}$ и $B\in {\mathcal {B}}$ , затем $A\cap B\in {\mathcal {B}}$
Если $A\subset B\subset X$ и $A\in {\mathcal {B}}$ , затем $B\in {\mathcal {B}}$

Фильтр набора можно рассматривать как представляющий «коллекцию больших подмножеств». ^[2] Одним из интуитивно понятных примеров является фильтр соседства . Фильтры появляются в теории порядка , теории моделей и теории множеств , но их также можно найти в топологии , из которой они произошли. Двойное понятие фильтра является идеальным .

Фильтры были представлены Анри Картаном в 1937 году. ^[3]^[4] и, как описано в статье, посвященной фильтрам в топологии , они впоследствии были использованы Николя Бурбаки в его книге «Общая топология» как альтернатива родственному понятию сети, разработанному в 1922 году Германом Э. Х. Муром и Л. Смитом . Фильтры порядка — это обобщения фильтров от множеств до произвольных частично упорядоченных множеств . В частности, фильтр на множестве — это просто фильтр правильного порядка в особом случае, когда частично упорядоченный набор состоит из степенного набора , упорядоченного путем включения множества .

Предварительные сведения, обозначения и основные понятия

В этой статье латинские буквы в верхнем регистре, например $S$ и $X$ обозначают множества (но не семейства, если не указано иное) и $\wp (X)$ будет обозначать мощности набор $X.$ Подмножество степенного множества называется семейством множеств (или просто семейством ), где оно находится над $X$ если это подмножество $\wp (X).$ Семейства наборов будут обозначаться заглавными каллиграфическими буквами, например: ${\mathcal {B}},{\mathcal {C}},{\text{ and }}{\mathcal {F}}.$ Всякий раз, когда необходимы эти предположения, следует предполагать, что $X$ непусто и что ${\mathcal {B}},{\mathcal {F}},$ и т. д. являются семействами множеств над $X.$

Термины «предварительный фильтр» и «основа фильтра» являются синонимами и будут использоваться как взаимозаменяемые.

Предупреждение о конкурирующих определениях и обозначениях

К сожалению, в теории фильтров есть несколько терминов, которые разные авторы определяют по-разному. К ним относятся некоторые из наиболее важных терминов, таких как «фильтр». Хотя разные определения одного и того же термина обычно существенно совпадают из-за очень технической природы фильтров (и топологии набора точек), эти различия в определениях, тем не менее, часто имеют важные последствия. При чтении математической литературы читателям рекомендуется проверять, как терминология, относящаяся к фильтрам, определяется автором. По этой причине в этой статье будут четко изложены все определения по мере их использования. К сожалению, не все обозначения, связанные с фильтрами, хорошо известны, а некоторые обозначения сильно различаются в литературе (например, обозначение набора всех предфильтров в наборе), поэтому в таких случаях в этой статье используются любые обозначения, которые наиболее легко описываются или легко поддаются описанию. вспомнил.

Теория фильтров и предфильтров хорошо разработана и имеет множество определений и обозначений, многие из которых теперь бесцеремонно перечислены, чтобы не допустить, чтобы эта статья стала многословной и чтобы облегчить поиск обозначений и определений. Их важные свойства описаны ниже.

Устанавливает операции

The закрытие или изотонизация вверх $X$ ^[5]^[6] из семейства наборов ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)$ является

${\mathcal {B}}^{\uparrow X}:=\{S\subseteq X~:~B\subseteq S{\text{ for some }}B\in {\mathcal {B}}\,\}=\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}\{S~:~B\subseteq S\subseteq X\}$

и аналогично вниз закрытие ${\mathcal {B}}$ является ${\mathcal {B}}^{\downarrow }:=\{S\subseteq B~:~B\in {\mathcal {B}}\,\}=\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}\wp (B).$


Обозначения и определения	Имя
$\ker {\mathcal {B}}=\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}B$	Ядро ${\mathcal {B}}$ ^[6]
$S\setminus {\mathcal {B}}:=\{S\setminus B~:~B\in {\mathcal {B}}\}=\{S\}\,(\setminus )\,{\mathcal {B}}$	Двойной из ${\mathcal {B}}{\text{ in }}S$ где $S$ это набор. ^[7]
${\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}:=\{B\cap S~:~B\in {\mathcal {B}}\}={\mathcal {B}}\,(\cap )\,\{S\}$	След ${\mathcal {B}}{\text{ on }}S$ ^[7] или ограничение ${\mathcal {B}}{\text{ to }}S$ где $S$ представляет собой набор; иногда обозначается ${\mathcal {B}}\cap S$
${\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {C}}=\{B\cap C~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}\}$ ^[8]	Поэлементное ( множество ) пересечение ( ${\mathcal {B}}\cap {\mathcal {C}}$ будет обозначать обычный перекрёсток)
${\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {C}}=\{B\cup C~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}\}$ ^[8]	Поэлементное ( множество ) объединение ( ${\mathcal {B}}\cup {\mathcal {C}}$ будет обозначать обычный союз)
${\mathcal {B}}\,(\setminus )\,{\mathcal {C}}=\{B\setminus C~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}\}$	Поэлементное ( set ) вычитание ( ${\mathcal {B}}\setminus {\mathcal {C}}$ будет обозначать обычное вычитание множества )
${\mathcal {B}}^{\#X}={\mathcal {B}}^{\#}=\{S\subseteq X~:~S\cap B\neq \varnothing {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}\}$	Гриль ${\mathcal {B}}{\text{ in }}X$ ^[9]
$\wp (X)=\{S~:~S\subseteq X\}$	Силовой набор набора $X$ ^[6]

Для любых двух семей ${\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}},$ заявить, что ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}$ тогда и только тогда, когда для каждого $C\in {\mathcal {C}}$ существует какой-то $F\in {\mathcal {F}}{\text{ such that }}F\subseteq C,$ в этом случае говорят, что ${\mathcal {C}}$ грубее , чем ${\mathcal {F}}$ и это ${\mathcal {F}}$ тоньше ( или подчиняется ) ${\mathcal {C}}.$ ^[10]^[11]^[12] Обозначения ${\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {C}}{\text{ or }}{\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}}$ также может использоваться вместо ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}.$
Две семьи ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}$ сетка , ^[7] написано ${\mathcal {B}}\#{\mathcal {C}},$ если $B\cap C\neq \varnothing {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}.$

Через, $f$ это карта и $S$ это набор.


Обозначения и определения	Имя
$f^{-1}({\mathcal {B}})=\left\{f^{-1}(B)~:~B\in {\mathcal {B}}\right\}$ ^[13]	Изображение ${\mathcal {B}}{\text{ under }}f^{-1},$ или прообраз ${\mathcal {B}}$ под $f$
$f^{-1}(S)=\{x\in \operatorname {domain} f~:~f(x)\in S\}$	Изображение $S{\text{ under }}f^{-1},$ или прообраз $S{\text{ under }}f$
$f({\mathcal {B}})=\{f(B)~:~B\in {\mathcal {B}}\}$ ^[14]	Изображение ${\mathcal {B}}$ под $f$
$f(S)=\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {domain} f\}$	Изображение $S{\text{ under }}f$
$\operatorname {image} f=f(\operatorname {domain} f)$	Изображение (или диапазон) $f$

Сети и их хвосты

– Ориентированное множество это множество $I$ вместе с предзаказом , который будет обозначаться $\,\leq \,$ (если явно не указано иное), что делает $(I,\leq )$ в ( вверх ) направленное множество ; ^[15] это означает, что для всех $i,j\in I,$ существует какой-то $k\in I$ такой, что $i\leq k{\text{ and }}j\leq k.$ Для любых индексов $i{\text{ and }}j,$ обозначение $j\geq i$ определяется как означает $i\leq j$ пока $i<j$ определяется как означает, что $i\leq j$ имеет место, но это неправда , что $j\leq i$ (если $\,\leq \,$ антисимметричен , то это эквивалентно $i\leq j{\text{ and }}i\neq j$ ).

Сеть  в $X$ ^[15] есть отображение непустого направленного множества в $X.$ Обозначения $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ будет использоваться для обозначения сети с доменом $I.$


Обозначения и определения	Имя
$I_{\geq i}=\{j\in I~:~j\geq i\}$	Хвост или часть $I$ начиная с $i\in I$ где $(I,\leq )$ представляет собой направленное множество .
$x_{\geq i}=\left\{x_{j}~:~j\geq i{\text{ and }}j\in I\right\}$	Хвост или часть $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ начиная с $i\in I$
$\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)=\left\{x_{\geq i}~:~i\in I\right\}$	Установить или хвостов / секций предварительный фильтр $x_{\bullet }.$ Также называется базой фильтра событий, созданной (хвостами) $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}.$ Если $x_{\bullet }$ это последовательность, то $\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)$ еще называют последовательная база фильтра . ^[16]
$\operatorname {TailsFilter} \left(x_{\bullet }\right)=\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)^{\uparrow X}$	( Случайность ) фильтр /сгенерирован (хвосты) $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ ^[16]
$f\left(I_{\geq i}\right)=\{f(j)~:~j\geq i{\text{ and }}j\in I\}$	Хвост или часть сети $f:I\to X$ начиная с $i\in I$ ^[16] где $(I,\leq )$ представляет собой направленное множество.

Предупреждение об использовании строгого сравнения

Если $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ представляет собой сеть и $i\in I$ тогда это возможно для набора $x_{>i}=\left\{x_{j}~:~j>i{\text{ and }}j\in I\right\},$ который называется хвостом $x_{\bullet }$ после $i$ , быть пустым (например, это происходит, если $i$ является верхней границей множества ориентированного $I$ ). В этом случае семья $\left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}$ будет содержать пустой набор, что не позволит ему быть предварительным фильтром (определенным позже). Это (важная) причина определения $\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)$ как $\left\{x_{\geq i}~:~i\in I\right\}$ скорее, чем $\left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}$ или даже $\left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}\cup \left\{x_{\geq i}~:~i\in I\right\}$ и именно по этой причине, вообще говоря, когда речь идет о предварительном фильтре хвостов сети, строгое неравенство $\,<\,$ не может использоваться взаимозаменяемо с неравенством $\,\leq .$

Фильтры и префильтры

Семьи ${\mathcal {F}}$ сетов закончилось $\Omega$ v т и
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	Directed by $\,\supseteq$	$A\cap B$	$A\cup B$	$B\setminus A$	$\Omega \setminus A$	$A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots$	$A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots$	$\Omega \in {\mathcal {F}}$	$\varnothing \in {\mathcal {F}}$	F.I.P.
$π$ -system
Semiring										Never
Semialgebra (Semifield)										Never
Monotone class						only if $A_{i}\searrow$	only if $A_{i}\nearrow$
𝜆-system (Dynkin System)				only if $A\subseteq B$			only if $A_{i}\nearrow$ or they are disjoint			Never
Ring (Order theory)
Ring (Measure theory)										Never
δ-Ring										Never
𝜎-Ring										Never
Algebra (Field)										Never
𝜎-Algebra (𝜎-Field)										Never
Dual ideal
Filter				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Prefilter (Filter base)				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Filter subbase				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Open Topology							(even arbitrary $\cup$ )			Never
Closed Topology						(even arbitrary $\cap$ )				Never
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	directed downward	finite intersections	finite unions	relative complements	complements in $\Omega$	countable intersections	countable unions	contains $\Omega$	contains $\varnothing$	Finite Intersection Property
Additionally, a *semiring* is a $π$ -system where every complement $B\setminus A$ is equal to a finite disjoint union of sets in ${\mathcal {F}}.$ A *semialgebra* is a semiring where every complement $\Omega \setminus A$ is equal to a finite disjoint union of sets in ${\mathcal {F}}.$ $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ are arbitrary elements of ${\mathcal {F}}$ and it is assumed that ${\mathcal {F}}\neq \varnothing .$

Ниже приводится список недвижимости, которую семья ${\mathcal {B}}$ наборов могут обладать и формируют определяющие свойства фильтров, предфильтров и подбаз фильтров. Всякий раз, когда это необходимо, следует исходить из того, что ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X).$

Семейство наборов ${\mathcal {B}}$ является:
Правильный или невырожденный, если $\varnothing \not \in {\mathcal {B}}.$ В противном случае, если $\varnothing \in {\mathcal {B}},$ тогда это называется неправильным ^[17] или деградировать .
Направлен вниз ^[15] если когда-нибудь $A,B\in {\mathcal {B}}$ тогда существует некоторый $C\in {\mathcal {B}}$ такой, что $C\subseteq A\cap B.$
Это свойство можно охарактеризовать с точки зрения направленности , что объясняет слово «направленный»: Бинарное отношение $\,\preceq \,$ на ${\mathcal {B}}$ называется направленным (вверх), если для любых двух $A{\text{ and }}B,$ есть некоторые $C$ удовлетворяющий $A\preceq C{\text{ and }}B\preceq C.$ С использованием $\,\supseteq \,$ вместо $\,\preceq \,$ дает определение направленности вниз, тогда как использование $\,\subseteq \,$ вместо этого дает определение направленного вверх . Явно, ${\mathcal {B}}$ направлен вниз (соответственно направлен вверх ) тогда и только тогда, когда для всех $A,B\in {\mathcal {B}},$ существует нечто «большее» $C\in {\mathcal {B}}$ такой, что $A\supseteq C{\text{ and }}B\supseteq C$ (соответственно такой, что $A\subseteq C{\text{ and }}B\subseteq C$ ) — где «большой» элемент всегда находится справа, ^{[примечание 1]} − который можно переписать как $A\cap B\supseteq C$ (соответственно как $A\cup B\subseteq C$ ).
Если семья ${\mathcal {B}}$ имеет наибольший элемент по отношению к $\,\supseteq \,$ (например, если $\varnothing \in {\mathcal {B}}$ ) то оно обязательно направлено вниз.
Замкнуто относительно конечных пересечений (соответственно объединений ), если пересечение (соответственно объединение) любых двух элементов ${\mathcal {B}}$ является элементом ${\mathcal {B}}.$
Если ${\mathcal {B}}$ замкнуто относительно конечных пересечений, то ${\mathcal {B}}$ обязательно направлен вниз. Обратное утверждение обычно неверно.
Закрыто вверх или Isotone в $X$ ^[5] если ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X){\text{ and }}{\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{\uparrow X},$ или, что то же самое, если всякий раз, когда $B\in {\mathcal {B}}$ и некоторый набор $C$ удовлетворяет $B\subseteq C\subseteq X,{\text{ then }}C\in {\mathcal {B}}.$ Сходным образом, ${\mathcal {B}}$ закрыто вниз, если ${\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{\downarrow }.$ Закрытый сет вверх (соответственно вниз) также называется верхним сетом или сетом (соответственно нижний сет или даун сет ).
Семья ${\mathcal {B}}^{\uparrow X},$ что представляет собой закрытие вверх ${\mathcal {B}}{\text{ in }}X,$ является единственным наименьшим (по отношению к $\,\subseteq$ ) изотонное семейство множеств над $X$ имея ${\mathcal {B}}$ как подмножество.

Многие свойства ${\mathcal {B}}$ определенные выше и ниже, такие как «собственный» и «направленный вниз», не зависят от $X,$ так что упомянув набор $X$ не является обязательным при использовании таких терминов. Определения, включающие «закрытие вверх в $X,$ ", например, "фильтровать по $X,$ "зависят от $X$ итак, набор $X$ следует упомянуть, если это не ясно из контекста.

${\textrm {Filters}}(X)\quad =\quad {\textrm {DualIdeals}}(X)\,\setminus \,\{\wp (X)\}\quad \subseteq \quad {\textrm {Prefilters}}(X)\quad \subseteq \quad {\textrm {FilterSubbases}}(X).$

Семья ${\mathcal {B}}$ есть/есть a(n):
Идеально ^[17]^[18] если ${\mathcal {B}}\neq \varnothing$ замкнуто вниз и замкнуто относительно конечных объединений.
Двойной идеал на $X$ ^[19] если ${\mathcal {B}}\neq \varnothing$ закрыто вверх $X$ а также замкнуто относительно конечных пересечений. Эквивалентно, ${\mathcal {B}}\neq \varnothing$ является двойственным идеалом, если для всех $R,S\subseteq X,$ $R\cap S\in {\mathcal {B}}\;{\text{ if and only if }}\;R,S\in {\mathcal {B}}.$ ^[9]
Объяснение слова «двойной»: Семья. ${\mathcal {B}}$ является двойственным идеалом (соответственно идеалом) на $X$ тогда и только тогда, когда двойственное ${\mathcal {B}}{\text{ in }}X,$ что такое семья $X\setminus {\mathcal {B}}:=\{X\setminus B~:~B\in {\mathcal {B}}\},$ является идеалом (соответственно двойственным идеалом) на $X.$ Другими словами, дуальный идеал означает « двойственный идеалу » . Семья $X\setminus {\mathcal {B}}$ не следует путать с $\wp (X)\setminus {\mathcal {B}}=\{S\subseteq X~:~S\notin {\mathcal {B}}\}$ потому что эти два множества вообще не равны; например, $X\setminus {\mathcal {B}}=\wp (X){\text{ if and only if }}{\mathcal {B}}=\wp (X).$ Двойственное двойственному – это первоначальная семья, т.е. $X\setminus (X\setminus {\mathcal {B}})={\mathcal {B}}.$ Набор $X$ принадлежит к двойственному ${\mathcal {B}}$ тогда и только тогда, когда $\varnothing \in {\mathcal {B}}.$ ^[17]
Фильтровать $X$ ^[19]^[7] если ${\mathcal {B}}$ является собственным дуальным идеалом на $X.$ То есть фильтр на $X$ является непустым подмножеством $\wp (X)\setminus \{\varnothing \}$ замкнутое относительно конечных пересечений и замкнутое вверх в $X.$ Аналогично, это предварительный фильтр, который закрывается вверх. $X.$ Другими словами, фильтр на $X$ это семейство множеств над $X$ что (1) не пусто (или, что то же самое, оно содержит $X$ ), (2) замкнуто относительно конечных пересечений, (3) замкнуто вверх в $X,$ и (4) не имеет пустого множества в качестве элемента.
Предупреждение : некоторые авторы, особенно алгебраисты, используют слово «фильтр» для обозначения двойственного идеала; другие, особенно топологи, используют «фильтр» для обозначения правильного / невырожденного двойственного идеала. ^[20] Читателям рекомендуется всегда проверять, как определяется «фильтр» при чтении математической литературы. Однако определения «ультрафильтра», «предфильтра» и «подбазы фильтра» всегда требуют невырожденности . В этой статье используется Анри Картаном . оригинальное определение «фильтра», данное ^[3]^[4] что требовало невырожденности.
Двойной фильтр включен $X$ это семья ${\mathcal {B}}$ чей двойной $X\setminus {\mathcal {B}}$ это фильтр на $X.$ Аналогично, это идеал на $X$ который не содержит $X$ как элемент.
Набор мощности $\wp (X)$ является единственным двойственным идеалом $X$ это тоже не фильтр. Исключая $\wp (X)$ из определения «фильтра» в топологии имеет то же преимущество, что и исключение $1$ из определения « простого числа »: оно избавляет от необходимости указывать «невырожденное» (аналог «неединичного » или «невырожденного» $1$ ") во многих важных результатах, тем самым делая их утверждения менее неуклюжими.
Предварительный фильтр или основа фильтра ^[7]^[21] если ${\mathcal {B}}\neq \varnothing$ правильная и направлена вниз. Эквивалентно, ${\mathcal {B}}$ называется предфильтром, если его закрытие вверх ${\mathcal {B}}^{\uparrow X}$ является фильтром. Его также можно определить как любое семейство, эквивалентное (относительно $\leq$ ) к некоторому фильтру. ^[8] Правильная семья ${\mathcal {B}}\neq \varnothing$ является предфильтром тогда и только тогда, когда ${\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}.$ ^[8] Семейство является предфильтром тогда и только тогда, когда то же самое верно и для его восходящего замыкания.
Если ${\mathcal {B}}$ это предфильтр, то его закрытие вверх ${\mathcal {B}}^{\uparrow X}$ является уникальным наименьшим (относительно $\subseteq$ ) фильтровать $X$ содержащий ${\mathcal {B}}$ и он называется фильтром, сгенерированным ${\mathcal {B}}.$ Фильтр ${\mathcal {F}}$ Говорят, что он генерируется предварительным фильтром ${\mathcal {B}}$ если ${\mathcal {F}}={\mathcal {B}}^{\uparrow X},$ в котором ${\mathcal {B}}$ называется базой фильтра для ${\mathcal {F}}.$
В отличие от фильтра, предварительный фильтр не обязательно замкнут при конечных пересечениях.
$π$ –система, если ${\mathcal {B}}\neq \varnothing$ замкнуто относительно конечных пересечений. Каждая непустая семья ${\mathcal {B}}$ содержится в единственной наименьшей $π$ –системе, называемой π $-системой ,$ порожденной ${\mathcal {B}},$ который иногда обозначают $\pi ({\mathcal {B}}).$ Она равна пересечению всех $π$ –систем, содержащих ${\mathcal {B}}$ а также множеству всех возможных конечных пересечений множеств из ${\mathcal {B}}$ : $\pi ({\mathcal {B}})=\left\{B_{1}\cap \cdots \cap B_{n}~:~n\geq 1{\text{ and }}B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}\right\}.$
π $.$ –система является префильтром тогда и только тогда, когда она собственная Каждый фильтр является собственной $π$ -системой, а каждая правильная $π$ -система является префильтром, но обратное, вообще говоря, неверно.
Предварительный фильтр эквивалентен (по отношению к $\leq$ ) к $порожденной ею π$ –системе, и оба этих семейства порождают один и тот же фильтр на $X.$
Основание фильтра ^[7]^[22] и по центру ^[8] если ${\mathcal {B}}\neq \varnothing$ и ${\mathcal {B}}$ удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
${\mathcal {B}}$ обладает свойством конечного пересечения , что означает, что пересечение любого конечного семейства (одного или нескольких) множеств в ${\mathcal {B}}$ не пуст; явно, это означает, что всякий раз, когда $n\geq 1{\text{ and }}B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}$ затем $\varnothing \neq B_{1}\cap \cdots \cap B_{n}.$
π $-система ,$ порожденная ${\mathcal {B}}$ является правильным; то есть, $\varnothing \not \in \pi ({\mathcal {B}}).$
π $-система ,$ порожденная ${\mathcal {B}}$ является предфильтром.
${\mathcal {B}}$ является подмножеством некоторого префильтра.
${\mathcal {B}}$ является подмножеством некоторого фильтра.
Предположим, что ${\mathcal {B}}$ это подоснова фильтра. Тогда существует единственный наименьший (относительно $\subseteq$ ) фильтр ${\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}{\text{ on }}X$ содержащий ${\mathcal {B}}$ назвал фильтр, созданный ${\mathcal {B}}$ , и ${\mathcal {B}}$ Говорят, что это подоснова фильтра для этого фильтра. Этот фильтр равен пересечению всех фильтров на $X$ это суперсеты ${\mathcal {B}}.$ π $-система ,$ порожденная ${\mathcal {B}},$ обозначается $\pi ({\mathcal {B}}),$ будет префильтром и подмножеством ${\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}.$ Более того, фильтр, созданный ${\mathcal {B}}$ равно закрытию вверх $\pi ({\mathcal {B}}),$ значение $\pi ({\mathcal {B}})^{\uparrow X}={\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}.$ ^[8] Однако, ${\mathcal {B}}^{\uparrow X}={\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {B}}$ это предварительный фильтр (хотя ${\mathcal {B}}^{\uparrow X}$ всегда является закрытым вверх основанием фильтра для ${\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}$ ).
А $\subseteq$ – наименьший (то есть наименьший по отношению к $\subseteq$ ) предварительный фильтр, содержащий подбазу фильтра ${\mathcal {B}}$ будет существовать только при определенных обстоятельствах. Оно существует, например, если подоснова фильтра ${\mathcal {B}}$ бывает еще и предфильтр. Оно также существует, если фильтр (или, что то же самое, $π$ –система), порожденный ${\mathcal {B}}$ является основным , и в этом случае ${\mathcal {B}}\cup \{\ker {\mathcal {B}}\}$ это уникальный наименьший префильтр, содержащий ${\mathcal {B}}.$ В противном случае, в общем, $\subseteq$ – наименьший предварительный фильтр, содержащий ${\mathcal {B}}$ может не существовать. По этой причине некоторые авторы могут ссылаться на $π$ –систему, порожденную ${\mathcal {B}}$ как предварительный фильтр, созданный ${\mathcal {B}}.$ Однако, если $\subseteq$ – наименьший префильтр существует (скажем, он обозначается $\operatorname {minPre} {\mathcal {B}}$ ) то, вопреки обычным ожиданиям, он не обязательно равен " префильтру, сгенерированному ${\mathcal {B}}$ " (то есть, $\operatorname {minPre} {\mathcal {B}}\neq \pi ({\mathcal {B}})$ возможно). А если подоснова фильтра ${\mathcal {B}}$ случается, что это также предварительный фильтр, но не $π$ -система, тогда, к сожалению, « префильтр, порожденный этим предварительным фильтром » (имеется в виду $\pi ({\mathcal {B}})$ ) не будет ${\mathcal {B}}=\operatorname {minPre} {\mathcal {B}}$ (то есть, $\pi ({\mathcal {B}})\neq {\mathcal {B}}$ возможно, даже когда ${\mathcal {B}}$ является префильтром), поэтому в данной статье будет отдана предпочтение точной и однозначной терминологии « $π$ –система, порожденная ${\mathcal {B}}$ ".
Субфильтр фильтра ${\mathcal {F}}$ и это ${\mathcal {F}}$ это суперфильтр ${\mathcal {B}}$ ^[17]^[23] если ${\mathcal {B}}$ это фильтр и ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}}$ где фильтры, ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}}{\text{ if and only if }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}.$
Важно отметить, что выражение «является суперфильтром » для фильтров является аналогом «является подпоследовательностью » . Таким образом, несмотря на общий префикс «подфильтр», «является подфильтром » на самом деле является противоположностью «является подпоследовательностью ». Однако, ${\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}$ также можно написать ${\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {B}}$ что описывается словами « ${\mathcal {F}}$ находится в подчинении ${\mathcal {B}}.$ В этой терминологии « подчиняется » становится для фильтров (а также для префильтров) аналогом «является подпоследовательностью » ^[24] что делает эту ситуацию, когда использование термина «подчиненный» и символа $\,\vdash \,$ может быть полезно.

Префильтров нет $X=\varnothing$ (и нет никаких сетей, оцененных в $\varnothing$ ), поэтому в этой статье, как и большинство авторов, автоматически и без комментариев предполагается, что $X\neq \varnothing$ всякий раз, когда это предположение необходимо.

Основные примеры

Именованные примеры

Набор синглтонов ${\mathcal {B}}=\{X\}$ называется недискретным или тривиальный фильтр включен $X.$ ^[25]^[10] Это уникальный минимальный фильтр на $X$ потому что это подмножество каждого фильтра на $X$ ; однако он не обязательно должен быть подмножеством каждого префильтра на $X.$
Двойной идеал $\wp (X)$ также называется вырожденным фильтром на $X$ ^[9] (несмотря на то, что на самом деле это не фильтр). Это единственный двойственный идеал на $X$ это не фильтр $X.$
Если $(X,\tau )$ является топологическим пространством и $x\in X,$ затем фильтр соседства ${\mathcal {N}}(x)$ в $x$ это фильтр на $X.$ По определению семья ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)$ называется базисом окрестности (соответственно подбазой окрестности ) в точке $x{\text{ for }}(X,\tau )$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {B}}$ является предфильтром (соответственно. ${\mathcal {B}}$ является подставкой фильтра) и фильтр на $X$ что ${\mathcal {B}}$ генерируется равно фильтру соседства ${\mathcal {N}}(x).$ Подсемейство $\tau (x)\subseteq {\mathcal {N}}(x)$ открытых кварталов является базой фильтра для ${\mathcal {N}}(x).$ Оба предфильтра ${\mathcal {N}}(x){\text{ and }}\tau (x)$ также образуют основу для топологий на $X,$ с созданной топологией $\tau (x)$ быть грубее, чем $\tau .$ Этот пример немедленно обобщается с окрестностей точек на окрестности непустых подмножеств. $S\subseteq X.$
${\mathcal {B}}$ это элементарный предварительный фильтр ^[26] если ${\mathcal {B}}=\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)$ для некоторой последовательности $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }{\text{ in }}X.$
${\mathcal {B}}$ это элементарный фильтр или последовательный фильтр включен $X$ ^[27] если ${\mathcal {B}}$ это фильтр на $X$ генерируется каким-то элементарным префильтром. Фильтр хвостов, порожденный последовательностью, которая в конечном итоге не является постоянной, не обязательно является ультрафильтром. ^[28] Каждый главный фильтр на счетном множестве является последовательным, как и любой коконечный фильтр на счетном множестве. ^[9] Пересечение конечного числа последовательных фильтров снова является последовательным. ^[9]
Набор ${\mathcal {F}}$ всех коконечных подмножеств $X$ (имеются в виду те множества, дополнение к которым в $X$ конечно) является собственным тогда и только тогда, когда ${\mathcal {F}}$ бесконечно (или, что то же самое, $X$ бесконечно), и в этом случае ${\mathcal {F}}$ это фильтр на $X$ известный как фильтр Фреше или кофинитный фильтр включен $X.$ ^[10]^[25] Если $X$ конечно тогда ${\mathcal {F}}$ равен двойственному идеалу $\wp (X),$ что не является фильтром. Если $X$ бесконечно, то семья $\{X\setminus \{x\}~:~x\in X\}$ дополнений одноэлементных наборов — это подбаза фильтра, которая генерирует фильтр Фреше на $X.$ Как и в любом семействе наборов $X$ который содержит $\{X\setminus \{x\}~:~x\in X\},$ ядро фильтра Фреше на $X$ пустое множество: $\ker {\mathcal {F}}=\varnothing .$
Пересечение всех элементов любого непустого семейства. $\mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filters} (X)$ $\mathbb {F} \subseteq \operatorname {Фильтры} (X)$ сам по себе является фильтром $X$ $X$ называется нижней границей или наибольшей нижней границей $\mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X),$ $\mathbb {F} {\text{in }}\operatorname {Фильтры} (X),$ поэтому его можно обозначить $\bigwedge _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}.$ $\bigwedge _ {{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} {\mathcal {F}}.$ Сказал по-другому, $\ker \mathbb {F} =\bigcap _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X).$ $\ker \mathbb {F} =\bigcap _ {{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X).$ Поскольку каждый включенный фильтр $X$ $X$ имеет $\{X\}$ $\{X\}$ как подмножество, это пересечение никогда не бывает пустым. По определению, нижняя грань является самой тонкой/самой большой (относительно $\,\subseteq \,{\text{ and }}\,\leq \,$ $\,\subseteq \, {\text{ и }}\,\leq \,$ ) фильтр, содержащийся как подмножество каждого члена $\mathbb {F} .$ $\mathbb {F}.$ ^[10]
- Если ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}$ являются фильтрами, то их нижняя грань $\operatorname {Filters} (X)$ это фильтр ${\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}.$ ^[8] Если ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}$ тогда это предфильтры ${\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}$ это более грубый предварительный фильтр (по отношению к $\,\leq$ ), чем оба ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}$ (то есть, ${\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {F}}$ ); действительно, это один из лучших префильтров такого рода , а это означает, что если ${\mathcal {S}}$ является предфильтром таким, что ${\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {F}}$ тогда обязательно ${\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}.$ ^[8] В более общем смысле, если ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}$ являются непустыми семействами, и если $\mathbb {S} :=\{{\mathcal {S}}\subseteq \wp (X)~:~{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {F}}\}$ затем ${\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\in \mathbb {S}$ и ${\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}$ является величайшим элементом (по отношению к $\leq$ ) из $\mathbb {S} .$ ^[8]
Позволять $\varnothing \neq \mathbb {F} \subseteq \operatorname {DualIdeals} (X)$ и пусть $\cup \mathbb {F} =\bigcup _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}.$ Верхняя граница или наименьшая верхняя граница $\mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {DualIdeals} (X),$ обозначается $\bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}},$ является наименьшим (относительно $\subseteq$ ) двойной идеал на $X$ содержащий каждый элемент $\mathbb {F}$ как подмножество; то есть оно является наименьшим (относительно $\subseteq$ ) двойной идеал на $X$ содержащий $\cup \mathbb {F}$ как подмножество. Этот двойной идеал $\bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X},$ где $\pi \left(\cup \mathbb {F} \right):=\left\{F_{1}\cap \cdots \cap F_{n}~:~n\in \mathbb {N} {\text{ and every }}F_{i}{\text{ belongs to some }}{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} \right\}$ – $π$ –система, порожденная $\cup \mathbb {F} .$ Как и в случае с любым непустым семейством множеств, $\cup \mathbb {F}$ содержится в некотором фильтре на $X$ тогда и только тогда, когда это подбаза фильтра или, что то же самое, тогда и только тогда, когда $\bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}$ это фильтр на $X,$ в этом случае это семейство является наименьшим (относительно $\subseteq$ ) фильтровать $X$ содержащий каждый элемент $\mathbb {F}$ как подмножество и обязательно $\mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filters} (X).$
Позволять $\varnothing \neq \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filters} (X)$ $\varnothing \neq \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Фильтры} (X)$ и пусть $\cup \mathbb {F} =\bigcup _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}.$ $\cup \mathbb {F} =\bigcup _ {{\mathcal {F}} \in \mathbb {F} {\mathcal {F}}.$ Верхняя граница или наименьшая верхняя граница $\mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X),$ $\mathbb {F} {\text{in }}\operatorname {Фильтры} (X),$ обозначается $\bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}$ $\bigvee _ {{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} {\mathcal {F}}$ если он существует, то по определению является наименьшим (относительно $\subseteq$ $\subseteq$ ) фильтровать $X$ $X$ содержащий каждый элемент $\mathbb {F}$ $\mathbb {F}$ как подмножество. Если он существует, то обязательно $\bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}$ $\bigvee _ {{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X }$ ^[10] (как определено выше) и $\bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}$ $\bigvee _ {{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} {\mathcal {F}}$ также будет равно пересечению всех фильтров на $X$ $X$ содержащий $\cup \mathbb {F} .$ $\чашка \mathbb {F}.$ Этот супремум $\mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X)$ $\mathbb {F} {\text{in }}\operatorname {Фильтры} (X)$ существует тогда и только тогда, когда двойственный идеал $\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}$ $\pi \left (\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}$ это фильтр на $X.$ $X.$ Наименьшая верхняя граница семейства фильтров $\mathbb {F}$ $\mathbb {F}$ может не быть фильтром. ^[10] Действительно, если $X$ $X$ содержит как минимум 2 различных элемента, то существуют фильтры ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}{\text{ on }}X$ ${\mathcal {B}}{\text{ и }}{\mathcal {C}}{\text{ on }}X$ для которого не существует фильтра ${\mathcal {F}}{\text{ on }}X$ ${\mathcal {F}}{\text{ on }}X$ который содержит оба ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}.$ ${\mathcal {B}}{\text{ и }}{\mathcal {C}}.$ Если $\cup \mathbb {F}$ $\чашка \mathbb {F}$ не является подбазой фильтра, тогда верхняя грань $\mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X)$ $\mathbb {F} {\text{in }}\operatorname {Фильтры} (X)$ не существует, и то же самое относится и к его супремуму в $\operatorname {Prefilters} (X)$ $\operatorname {Предварительные фильтры} (X)$ но их супремум в множестве всех двойственных идеалов на $X$ $X$ будет существовать (это вырожденный фильтр $\wp (X)$ $\wp (X)$ ). ^[9]
- Если ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}$ являются префильтрами (соответственно фильтрами на $X$ ) затем ${\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {F}}$ является префильтром (соответственно фильтром) тогда и только тогда, когда он невырожден (или, другими словами, тогда и только тогда, когда ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}$ сетка), и в этом случае это один из самых грубых предфильтров (соответственно самый грубый фильтр) на $X$ (по отношению к $\,\leq$ ), что тоньше (относительно $\,\leq$ ), чем оба ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}};$ это означает, что если ${\mathcal {S}}$ — это любой предварительный фильтр (соответственно любой фильтр), такой что ${\mathcal {B}}\leq {\mathcal {S}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {S}}$ тогда обязательно ${\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {S}},$ ^[8] в этом случае он обозначается ${\mathcal {B}}\vee {\mathcal {F}}.$ ^[9]
Позволять $I{\text{ and }}X$ — непустые множества и для каждого $i\in I$ позволять ${\mathcal {D}}_{i}$ быть двойным идеалом $X.$ Если ${\mathcal {I}}$ является ли какой-либо двойной идеал на $I$ затем $\bigcup _{\Xi \in {\mathcal {I}}}\;\;\bigcap _{i\in \Xi }\;{\mathcal {D}}_{i}$ представляет собой двойной идеал $X$ называемый двойственным идеалом Ковальского или фильтром Ковальского . ^[17]
Клубный фильтр обычного содержащих несчетного кардинала — это фильтр всех множеств, клубное подмножество $\kappa .$ Это $\kappa$ -полный фильтр закрыт при диагональном пересечении .

Другие примеры

Позволять $X=\{p,1,2,3\}$ и пусть ${\mathcal {B}}=\{\{p\},\{p,1,2\},\{p,1,3\}\},$ что делает ${\mathcal {B}}$ префильтр и подбаза фильтра, не замкнутая при конечных пересечениях. Потому что ${\mathcal {B}}$ это предварительный фильтр, самый маленький предварительный фильтр, содержащий ${\mathcal {B}}$ является ${\mathcal {B}}.$ π $-система ,$ порожденная ${\mathcal {B}}$ является $\{\{p,1\}\}\cup {\mathcal {B}}.$ В частности, наименьший префильтр, содержащий фильтрующую подставку. ${\mathcal {B}}$ не равно множеству всех конечных пересечений множеств в ${\mathcal {B}}.$ Фильтр включен $X$ созданный ${\mathcal {B}}$ является ${\mathcal {B}}^{\uparrow X}=\{S\subseteq X:p\in S\}=\{\{p\}\cup T~:~T\subseteq \{1,2,3\}\}.$ Все трое из ${\mathcal {B}},$ π $$ –система ${\mathcal {B}}$ генерирует, и ${\mathcal {B}}^{\uparrow X}$ являются примерами фиксированных, главных и ультра префильтров, которые являются главными в данной точке $p;{\mathcal {B}}^{\uparrow X}$ также является ультрафильтром на $X.$
Позволять $(X,\tau )$ быть топологическим пространством, ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X),$ и определить ${\overline {\mathcal {B}}}:=\left\{\operatorname {cl} _{X}B~:~B\in {\mathcal {B}}\right\},$ где ${\mathcal {B}}$ обязательно тоньше, чем ${\overline {\mathcal {B}}}.$ ^[29] Если ${\mathcal {B}}$ непусто (соответственно невырождено, подбаза фильтра, предфильтр, замкнутый относительно конечных объединений), то то же самое верно для ${\overline {\mathcal {B}}}.$ Если ${\mathcal {B}}$ это фильтр на $X$ затем ${\overline {\mathcal {B}}}$ это предварительный фильтр, но не обязательно фильтр на $X$ хотя $\left({\overline {\mathcal {B}}}\right)^{\uparrow X}$ это фильтр на $X$ эквивалентно ${\overline {\mathcal {B}}}.$
Набор ${\mathcal {B}}$ всех плотных открытых подмножеств (непустого) топологического пространства $X$ является собственной $π$ –системой и, следовательно, также является префильтром. Если пространство является пространством Бэра , то множество всех счетных пересечений плотных открытых подмножеств представляет собой $π$ –систему и префильтр, который тоньше, чем ${\mathcal {B}}.$ Если $X=\mathbb {R} ^{n}$ (с $1\leq n\in \mathbb {N}$ ) то множество ${\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }$ из всех $B\in {\mathcal {B}}$ такой, что $B$ имеет конечную меру Лебега, является собственной $π$ –системой и свободным префильтром, который также является собственным подмножеством ${\mathcal {B}}.$ Предварительные фильтры ${\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }$ и ${\mathcal {B}}$ эквивалентны и поэтому генерируют один и тот же фильтр для $X.$ Предварительный фильтр ${\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }$ правильно содержится в предварительном фильтре, состоящем из всех плотных подмножеств $\mathbb {R} .$ С $X$ — пространство Бэра , каждое счетное пересечение множеств в ${\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }$ плотный в $X$ (а также сходное и нетощее), поэтому множество всех счетных пересечений элементов ${\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }$ – предфильтр и $π$ –система; это также тоньше, чем, и не эквивалентно, ${\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }.$
Фильтрующая плита без $\,\subseteq -$ наименьший префильтр, содержащий его : Обычно, если подбаза фильтра ${\mathcal {S}}$ не является $π$ –системой, то является пересечением $S_{1}\cap \cdots \cap S_{n}$ из $n$ наборы из ${\mathcal {S}}$ обычно требует описания, включающего $n$ переменные, которые нельзя свести только к двум (рассмотрим, например, $\pi ({\mathcal {S}})$ когда ${\mathcal {S}}=\{(-\infty ,r)\cup (r,\infty )~:~r\in \mathbb {R} \}$ ). Этот пример иллюстрирует нетипичный класс подбаз фильтров. ${\mathcal {S}}_{R}$ где все наборы в обоих ${\mathcal {S}}_{R}$ и ее порожденная $π$ –система может быть описана как множества вида $B_{r,s},$ так что, в частности, не более двух переменных (в частности, $r{\text{ and }}s$ ) нужны для описания порождаемой $π$ –системы.Для всех $r,s\in \mathbb {R} ,$ позволять $B_{r,s}=(r,0)\cup (s,\infty ),$ где $B_{r,s}=B_{\min(r,s),s}$ всегда выполняется, поэтому общность не теряется при добавлении предположения $r\leq s.$ Для всего настоящего $r\leq s{\text{ and }}u\leq v,$ если $s{\text{ or }}v$ неотрицательен, то $B_{-r,s}\cap B_{-u,v}=B_{-\min(r,u),\max(s,v)}.$ ^{[примечание 2]}Для каждого набора $R$ положительных реалий, пусть ^{[примечание 3]} ${\mathcal {S}}_{R}:=\left\{B_{-r,r}:r\in R\right\}=\{(-r,0)\cup (r,\infty ):r\in R\}\quad {\text{ and }}\quad {\mathcal {B}}_{R}:=\left\{B_{-r,s}:r\leq s{\text{ with }}r,s\in R\right\}=\{(-r,0)\cup (s,\infty ):r\leq s{\text{ in }}R\}.$ Позволять $X=\mathbb {R}$ и предположим $\varnothing \neq R\subseteq (0,\infty )$ не является одноэлементным набором. Затем ${\mathcal {S}}_{R}$ является подставкой фильтра, но не предварительным фильтром и ${\mathcal {B}}_{R}=\pi \left({\mathcal {S}}_{R}\right)$ является $π$ -системой, которую она порождает, так что ${\mathcal {B}}_{R}^{\uparrow X}$ это уникальный самый маленький фильтр в $X=\mathbb {R}$ содержащий ${\mathcal {S}}_{R}.$ Однако, ${\mathcal {S}}_{R}^{\uparrow X}$ это не фильтр $X$ (и это не фильтр предварительной очистки, поскольку он не направлен вниз, хотя и является подставкой фильтра) и ${\mathcal {S}}_{R}^{\uparrow X}$ является правильным подмножеством фильтра ${\mathcal {B}}_{R}^{\uparrow X}.$ Если $R,S\subseteq (0,\infty )$ являются непустыми интервалами, то подбазы фильтров ${\mathcal {S}}_{R}{\text{ and }}{\mathcal {S}}_{S}$ сгенерировать тот же фильтр на $X$ тогда и только тогда, когда $R=S.$ Если ${\mathcal {C}}$ является предфильтром, удовлетворяющим ${\mathcal {S}}_{(0,\infty )}\subseteq {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}}_{(0,\infty )}$ ^{[примечание 4]} тогда для любого $C\in {\mathcal {C}}\setminus {\mathcal {S}}_{(0,\infty )},$ семья ${\mathcal {C}}\setminus \{C\}$ также является предварительным фильтром, удовлетворяющим ${\mathcal {S}}_{(0,\infty )}\subseteq {\mathcal {C}}\setminus \{C\}\subseteq {\mathcal {B}}_{(0,\infty )}.$ Это показывает, что не может существовать минимального / наименьшего (по отношению к $\subseteq$ ) префильтр, который содержит оба ${\mathcal {S}}_{(0,\infty )}$ и является подмножеством $π$ –системы, порожденной ${\mathcal {S}}_{(0,\infty )}.$ Это остается верным, даже если требование, чтобы предварительный фильтр был подмножеством ${\mathcal {B}}_{(0,\infty )}=\pi \left({\mathcal {S}}_{(0,\infty )}\right)$ удаляется; то есть (в отличие от фильтров) не существует минимального/наименьшего (по отношению к $\subseteq$ ) предварительный фильтр, содержащий подбазу фильтра ${\mathcal {S}}_{(0,\infty )}.$

Ультрафильтры

Существует множество других характеристик «ультрафильтра» и «ультрапредфильтра», которые перечислены в статье об ультрафильтрах . В этой статье также описаны важные свойства ультрафильтров.

${\begin{alignedat}{8}{\textrm {Ultrafilters}}(X)\;&=\;{\textrm {Filters}}(X)\,\cap \,{\textrm {UltraPrefilters}}(X)\\&\subseteq \;{\textrm {UltraPrefilters}}(X)={\textrm {UltraFilterSubbases}}(X)\\&\subseteq \;{\textrm {Prefilters}}(X)\\\end{alignedat}}$

Непустая семья ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)$ наборов представляет собой:
Ультра ^[7]^[30] если $\varnothing \not \in {\mathcal {B}}$ и любое из следующих эквивалентных условий удовлетворено:
Для каждого набора $S\subseteq X$ существует некоторый набор $B\in {\mathcal {B}}$ такой, что $B\subseteq S{\text{ or }}B\subseteq X\setminus S$ (или, что то же самое, такое, что $B\cap S{\text{ equals }}B{\text{ or }}\varnothing$ ).
Для каждого набора $S\subseteq \bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}B$ существует некоторый набор $B\in {\mathcal {B}}$ такой, что $B\cap S{\text{ equals }}B{\text{ or }}\varnothing .$
Эта характеристика « ${\mathcal {B}}$ ультра» не зависит от набора $X,$ так что упомянув набор $X$ не является обязательным при использовании термина «ультра».
Для каждого набора $S$ (не обязательно даже подмножество $X$ ) существует некоторое множество $B\in {\mathcal {B}}$ такой, что $B\cap S{\text{ equals }}B{\text{ or }}\varnothing .$
Если ${\mathcal {B}}$ удовлетворяет этому условию, то и каждый суперсет удовлетворяет этому условию. ${\mathcal {F}}\supseteq {\mathcal {B}}.$ Например, если $T$ есть ли какой-нибудь одноэлементный набор тогда $\{T\}$ является ультра и, следовательно, любое невырожденное надмножество $\{T\}$ (например, закрытие вверх) также является ультра.
Ультра префильтр ^[7]^[30] если это префильтр то тоже ультра. По сути, это ультрафильтрационная подставка. Предварительный фильтр ${\mathcal {B}}$ является ультра тогда и только тогда, когда он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
${\mathcal {B}}$ является максимальным в $\operatorname {Prefilters} (X)$ относительно $\,\leq ,\,$ это означает, что ${\text{For all }}{\mathcal {C}}\in \operatorname {Prefilters} (X),\;{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}\;{\text{ implies }}\;{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}.$
${\text{For all }}{\mathcal {C}}\in \operatorname {Filters} (X),\;{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}\;{\text{ implies }}\;{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}.$
Хотя это утверждение идентично приведенному ниже для ультрафильтров, здесь ${\mathcal {B}}$ просто предполагается, что это предварительный фильтр; это не обязательно должен быть фильтр.
${\mathcal {B}}^{\uparrow X}$ является ультра (и, следовательно, ультрафильтром).
${\mathcal {B}}$ эквивалентно (относительно $\leq$ ) в какой-нибудь ультрафильтр.
Фильтрующая подставка ультра обязательно является предварительным фильтром. Подбаза фильтра является ультра тогда и только тогда, когда она является максимальной подбазой фильтра относительно $\,\leq \,$ (как указано выше). ^[17]
Ультрафильтр включен $X$ ^[7]^[30] если это фильтр $X$ это ультра. Аналогично, ультрафильтр на $X$ это фильтр ${\mathcal {B}}{\text{ on }}X$ который удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
${\mathcal {B}}$ генерируется ультрапрефильтром.
Для любого $S\subseteq X,S\in {\mathcal {B}}{\text{ or }}X\setminus S\in {\mathcal {B}}.$ ^[17]
${\mathcal {B}}\cup (X\setminus {\mathcal {B}})=\wp (X).$ Это условие можно переформулировать так: $\wp (X)$ разделен на ${\mathcal {B}}$ и его двойственность $X\setminus {\mathcal {B}}.$
Наборы ${\mathcal {B}}{\text{ and }}X\setminus {\mathcal {B}}$ непересекающиеся всякий раз, когда ${\mathcal {B}}$ является предфильтром.
$\wp (X)\setminus {\mathcal {B}}=\{S\in \wp (X):S\not \in {\mathcal {B}}\}$ является идеалом. ^[17]
Для любого $R,S\subseteq X,$ если $R\cup S=X$ затем $R\in {\mathcal {B}}{\text{ or }}S\in {\mathcal {B}}.$
Для любого $R,S\subseteq X,$ если $R\cup S\in {\mathcal {B}}$ затем $R\in {\mathcal {B}}{\text{ or }}S\in {\mathcal {B}}$ (фильтр с таким свойством называется фильтром простых чисел ).
Это свойство распространяется на любое конечное объединение двух или более множеств.
Для любого $R,S\subseteq X,$ если $R\cup S\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}R\cap S=\varnothing$ тогда либо $R\in {\mathcal {B}}{\text{ or }}S\in {\mathcal {B}}.$
${\mathcal {B}}$ является максимальным фильтром на $X$ ; это означает, что если ${\mathcal {C}}$ это фильтр на $X$ такой, что ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}$ тогда обязательно ${\mathcal {C}}={\mathcal {B}}$ (это равенство можно заменить на ${\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}}{\text{ or by }}{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}$ ).
Если ${\mathcal {C}}$ закрыто вверх, тогда ${\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}{\text{ if and only if }}{\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}.$ Таким образом, характеристику ультрафильтров как максимальных фильтров можно переформулировать как: ${\text{For all }}{\mathcal {C}}\in \operatorname {Filters} (X),\;{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}\;{\text{ implies }}\;{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}.$
Потому что подчинение $\,\geq \,$ для фильтров является аналогом фразы «является подсетью/подпоследовательностью» (в частности, «подсеть» должна означать « AA-подсеть », определение которой приведено ниже), такая характеристика ультрафильтра как «максимально подчиненного фильтра» предполагает, что Ультрафильтр можно интерпретировать как аналог своего рода «максимально глубокой сети» (что может, например, означать, что «если смотреть только с точки зрения $X$ «в некотором смысле она неотличима от своих подсетей, как, например, в случае с любой сетью, оцениваемой в одноэлементном наборе), ^{[примечание 5]} Эта идея фактически стала строгой благодаря ультрасетям . Лемма об ультрафильтре тогда представляет собой утверждение, что каждый фильтр («сеть») имеет некоторый подчиненный фильтр («подсеть»), который является «максимально подчиненным» («максимально глубоким»).

Любое невырожденное семейство, содержащее одноэлементный набор в качестве элемента, является ультра, и в этом случае оно будет ультрапрефильтром тогда и только тогда, когда оно также обладает свойством конечного пересечения. Тривиальный фильтр $\{X\}{\text{ on }}X$ является ультра тогда и только тогда, когда $X$ представляет собой одноэлементный набор.

Лемма об ультрафильтре

Следующая важная теорема принадлежит Альфреду Тарскому (1930). ^[31]

Лемма/глава/теорема об ультрафильтре ^[10] ( Тарский ) — Каждый фильтр на наборе $X$ является подмножеством некоторого ультрафильтра на $X.$

Следствием леммы об ультрафильтре является то, что каждый фильтр равен пересечению всех содержащих его ультрафильтров. ^[10]^{[доказательство 1]} Если принять аксиомы Цермело-Френкеля (ZF) , лемма об ультрафильтре следует из выбранной аксиомы (в частности, из леммы Цорна ), но является строго более слабой, чем она. Лемма об ультрафильтре подразумевает аксиому выбора для конечных множеств. Если иметь дело только с хаусдорфовыми пространствами, то большинство основных результатов (которые встречаются на вводных курсах) в топологии (таких как теорема Тихонова для компактных хаусдорфовых пространств и теорема Александера о суббазисах ) и функциональном анализе (такие как теорема Хана-Банаха ) могут быть доказано с использованием только леммы об ультрафильтре; полная сила аксиомы выбора может и не потребоваться.

Ядра

Ядро полезно для классификации свойств префильтров и других семейств множеств.

Ядро ^[5] из семейства наборов ${\mathcal {B}}$ является пересечением всех множеств, являющихся элементами ${\mathcal {B}}:$ $\ker {\mathcal {B}}=\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}B$

Если ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)$ тогда для любой точки $x,x\not \in \ker {\mathcal {B}}{\text{ if and only if }}X\setminus \{x\}\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}.$

Свойства ядер

Если ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)$ затем $\ker \left({\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right)=\ker {\mathcal {B}}$ и это множество также равно ядру $π$ –системы, порождённой ${\mathcal {B}}.$ В частности, если ${\mathcal {B}}$ является подбазой фильтра, то ядра всех следующих наборов равны:

(1)

{\mathcal {B}},

(2)

π

–система, порожденная

{\mathcal {B}},

и (3) фильтр, созданный

{\mathcal {B}}.

Если $f$ тогда это карта $f(\ker {\mathcal {B}})\subseteq \ker f({\mathcal {B}})$ и $f^{-1}(\ker {\mathcal {B}})=\ker f^{-1}({\mathcal {B}}).$ Если ${\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}$ затем $\ker {\mathcal {C}}\subseteq \ker {\mathcal {B}}$ в то время как если ${\mathcal {B}}$ и ${\mathcal {C}}$ эквивалентны, то $\ker {\mathcal {B}}=\ker {\mathcal {C}}.$ Эквивалентные семейства имеют равные ядра. Два главных семейства эквивалентны тогда и только тогда, когда их ядра равны; то есть, если ${\mathcal {B}}$ и ${\mathcal {C}}$ являются главными, то они эквивалентны тогда и только тогда, когда $\ker {\mathcal {B}}=\ker {\mathcal {C}}.$

Классификация семейств по их ядрам

Семья ${\mathcal {B}}$ наборов составляет:
Бесплатно ^[6] если $\ker {\mathcal {B}}=\varnothing ,$ или эквивалентно, если $\{X\setminus \{x\}~:~x\in X\}\subseteq {\mathcal {B}}^{\uparrow X};$ это можно переформулировать как $\{X\setminus \{x\}~:~x\in X\}\leq {\mathcal {B}}.$
Фильтр ${\mathcal {F}}$ на $X$ бесплатно тогда и только тогда, когда $X$ бесконечен и ${\mathcal {F}}$ содержит фильтр Фреше на $X$ как подмножество.
Исправлено, если $\ker {\mathcal {B}}\neq \varnothing$ в этом случае, ${\mathcal {B}}$ говорят, что он зафиксирован в любой точке $x\in \ker {\mathcal {B}}.$
Любое фиксированное семейство обязательно является подбазой фильтра.
Главный ^[6] если $\ker {\mathcal {B}}\in {\mathcal {B}}.$
Правильное главное семейство множеств обязательно является предфильтром.
Дискретный или главный в $x\in X$ ^[25] если $\{x\}=\ker {\mathcal {B}}\in {\mathcal {B}},$ в этом случае $x$ называется его главный элемент .
Основной фильтр в $x$ на $X$ это фильтр $\{x\}^{\uparrow X}.$ Фильтр ${\mathcal {F}}$ является главным в $x$ тогда и только тогда, когда ${\mathcal {F}}=\{x\}^{\uparrow X}.$
Счетно глубоко, если когда угодно ${\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}$ является счетным подмножеством, тогда $\ker {\mathcal {C}}\in {\mathcal {B}}.$ ^[9]

Если ${\mathcal {B}}$ является основным фильтром $X$ затем $\varnothing \neq \ker {\mathcal {B}}\in {\mathcal {B}}$ и ${\mathcal {B}}=\{\ker {\mathcal {B}}\}^{\uparrow X}=\{S\cup \ker {\mathcal {B}}:S\subseteq X\setminus \ker {\mathcal {B}}\}=\wp (X\setminus \ker {\mathcal {B}})\,(\cup )\,\{\ker {\mathcal {B}}\}$ где $\{\ker {\mathcal {B}}\}$ также является самым маленьким префильтром, который генерирует ${\mathcal {B}}.$

Семейство примеров: Для любого непустого $C\subseteq \mathbb {R} ,$ семья ${\mathcal {B}}_{C}=\{\mathbb {R} \setminus (r+C)~:~r\in \mathbb {R} \}$ свободен, но является подбазой фильтра тогда и только тогда, когда не существует конечного объединения вида $\left(r_{1}+C\right)\cup \cdots \cup \left(r_{n}+C\right)$ обложки $\mathbb {R} ,$ в этом случае создаваемый им фильтр также будет бесплатным. В частности, ${\mathcal {B}}_{C}$ является подбазой фильтра, если $C$ счетно (например, $C=\mathbb {Q} ,\mathbb {Z} ,$ простые числа), скудный набор в $\mathbb {R} ,$ множество конечной меры или ограниченное подмножество $\mathbb {R} .$ Если $C$ тогда это одноэлементный набор ${\mathcal {B}}_{C}$ является основой для фильтра Фреше на $\mathbb {R} .$

Для каждого фильтра ${\mathcal {F}}{\text{ on }}X$ существует единственная пара двойственных идеалов ${\mathcal {F}}^{*}{\text{ and }}{\mathcal {F}}^{\bullet }{\text{ on }}X$ такой, что ${\mathcal {F}}^{*}$ бесплатно, ${\mathcal {F}}^{\bullet }$ является главным, и ${\mathcal {F}}^{*}\wedge {\mathcal {F}}^{\bullet }={\mathcal {F}},$ и ${\mathcal {F}}^{*}{\text{ and }}{\mathcal {F}}^{\bullet }$ не мешать (т.е. ${\mathcal {F}}^{*}\vee {\mathcal {F}}^{\bullet }=\wp (X)$ ). Двойной идеал ${\mathcal {F}}^{*}$ называется свободной частью ${\mathcal {F}}$ пока ${\mathcal {F}}^{\bullet }$ называется главной частью ^[9] где хотя бы один из этих двойственных идеалов является фильтром. Если ${\mathcal {F}}$ является основным тогда ${\mathcal {F}}^{\bullet }:={\mathcal {F}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}^{*}:=\wp (X);$ в противном случае, ${\mathcal {F}}^{\bullet }:=\{\ker {\mathcal {F}}\}^{\uparrow X}$ и ${\mathcal {F}}^{*}:={\mathcal {F}}\vee \{X\setminus \left(\ker {\mathcal {F}}\right)\}^{\uparrow X}$ – свободный (невырожденный) фильтр. ^[9]

Конечные префильтры и конечные множества

Если основание фильтра ${\mathcal {B}}$ конечно, то оно фиксировано (т. е. несвободно); это потому что $\ker {\mathcal {B}}=\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}B$ — конечное пересечение и подбаза фильтра ${\mathcal {B}}$ обладает свойством конечного пересечения. Конечный предварительный фильтр обязательно является главным, хотя он не обязательно должен быть замкнутым при конечных пересечениях.

Если $X$ конечно, то все сделанные выше выводы справедливы для любого ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X).$ В частности, на конечном множестве $X,$ не существует свободных подбаз фильтров (и, следовательно, нет бесплатных префильтров), все префильтры являются основными, и все фильтры на $X$ являются основными фильтрами, порожденными их (непустыми) ядрами.

Тривиальный фильтр $\{X\}$ всегда является конечным фильтром на $X$ и если $X$ бесконечен, то это единственный конечный фильтр, поскольку нетривиальный конечный фильтр на множестве $X$ возможно тогда и только тогда, когда $X$ конечно. Однако на любом бесконечном множестве существуют нетривиальные подбазисы фильтров и префильтры, которые конечны (хотя они не могут быть фильтрами). Если $X$ является одноэлементным множеством, то тривиальный фильтр $\{X\}$ является единственным правильным подмножеством $\wp (X)$ и более того, этот набор $\{X\}$ — это основной ультрапрефильтр и любой надмножество ${\mathcal {F}}\supseteq {\mathcal {B}}$ (где ${\mathcal {F}}\subseteq \wp (Y){\text{ and }}X\subseteq Y$ ) со свойством конечного пересечения также будет основным ультрапрефильтром (даже если $Y$ бесконечен).

Характеристика фиксированных ультрапрефильтров

Если семейство множеств ${\mathcal {B}}$ является фиксированным (т. $\ker {\mathcal {B}}\neq \varnothing$ ) затем ${\mathcal {B}}$ является ультра тогда и только тогда, когда некоторый элемент ${\mathcal {B}}$ является одноэлементным набором, и в этом случае ${\mathcal {B}}$ обязательно будет предфильтр. Каждый основной префильтр фиксирован, поэтому основной префильтр ${\mathcal {B}}$ является ультра тогда и только тогда, когда $\ker {\mathcal {B}}$ представляет собой одноэлементный набор.

Каждый фильтр включен $X$ то есть главным в одной точке является ультрафильтр, а если к тому же $X$ конечно, то на $X$ кроме этих. ^[6]

Следующая теорема показывает, что каждый ультрафильтр попадает в одну из двух категорий: либо он свободен, либо является главным фильтром, порожденным одной точкой.

Предложение — Если ${\mathcal {F}}$ это ультрафильтр на $X$ то следующие условия эквивалентны:

${\mathcal {F}}$ является фиксированным или, что то же самое, несвободным, что означает $\ker {\mathcal {F}}\neq \varnothing .$
${\mathcal {F}}$ является главным, то есть $\ker {\mathcal {F}}\in {\mathcal {F}}.$
Какой-то элемент ${\mathcal {F}}$ является конечным множеством.
Какой-то элемент ${\mathcal {F}}$ представляет собой одноэлементный набор.
${\mathcal {F}}$ является главным в какой-то момент $X,$ что означает $\ker {\mathcal {F}}=\{x\}\in {\mathcal {F}}$ для некоторых $x\in X.$
${\mathcal {F}}$ не содержит фильтра Фреше на $X.$
${\mathcal {F}}$ является последовательным. ^[9]

Более мелкое/грубое, подчинение и сетка

Предзаказ $\,\leq \,$ то, что определено ниже, имеет фундаментальное значение для использования предварительных фильтров (и фильтров) в топологии. Например, этот предварительный порядок используется для определения префильтра, эквивалентного «подпоследовательности», ^[24] где " ${\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}}$ «можно интерпретировать как» ${\mathcal {F}}$ является подпоследовательностью ${\mathcal {C}}$ » (поэтому «подчиненный» является эквивалентом префильтра «подпоследовательности»). Он также используется для определения сходимости префильтра в топологическом пространстве. Определение ${\mathcal {B}}$ соединяется с ${\mathcal {C}},$ что тесно связано с предзаказом $\,\leq ,$ используется в топологии для определения точек кластера .

Два семейства наборов ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}$ сетка ^[7] и совместимы , обозначаются записью ${\mathcal {B}}\#{\mathcal {C}},$ если $B\cap C\neq \varnothing {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}.$ Если ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}$ не сцепляйтесь, тогда они диссоциируются . Если $S\subseteq X{\text{ and }}{\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)$ затем ${\mathcal {B}}{\text{ and }}S$ говорят, что они сцеплены, если ${\mathcal {B}}{\text{ and }}\{S\}$ сетка или эквивалентно, если след ${\mathcal {B}}{\text{ on }}S,$ что такое семья ${\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}=\{B\cap S~:~B\in {\mathcal {B}}\},$ не содержит пустого множества, где трасса также называется ограничение ${\mathcal {B}}{\text{ to }}S.$

Заявите, что ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},{\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}},{\text{ and }}{\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {C}},$ заявлено как ${\mathcal {C}}$ грубее , чем ${\mathcal {F}}$ и ${\mathcal {F}}$ тоньше ( или подчиняется ) ${\mathcal {C}},$ ^[10]^[11]^[12]^[8]^[9] если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:
Определение: Каждый $C\in {\mathcal {C}}$ содержит некоторые $F\in {\mathcal {F}}.$ В явном виде это означает, что для каждого $C\in {\mathcal {C}},$ есть некоторые $F\in {\mathcal {F}}$ такой, что $F\subseteq C.$
Короче говоря, на простом английском языке: ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}$ если каждый набор ${\mathcal {C}}$ больше , чем некоторые установленные в ${\mathcal {F}}.$ Здесь «большой набор» означает суперсет.
$\{C\}\leq {\mathcal {F}}{\text{ for every }}C\in {\mathcal {C}}.$
Другими словами, $\{C\}\leq {\mathcal {F}}$ утверждает именно это $C$ больше, чем некоторые установленные в ${\mathcal {F}}.$ Эквивалентность (a) и (b) вытекает сразу.
Из этой характеристики следует, что если $\left({\mathcal {C}}_{i}\right)_{i\in I}$ являются семействами множеств, то $\bigcup _{i\in I}{\mathcal {C}}_{i}\leq {\mathcal {F}}{\text{ if and only if }}{\mathcal {C}}_{i}\leq {\mathcal {F}}{\text{ for all }}i\in I.$
${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}^{\uparrow X},$ что эквивалентно ${\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}^{\uparrow X}$ ;
${\mathcal {C}}^{\uparrow X}\leq {\mathcal {F}}$ ;
${\mathcal {C}}^{\uparrow X}\leq {\mathcal {F}}^{\uparrow X},$ что эквивалентно ${\mathcal {C}}^{\uparrow X}\subseteq {\mathcal {F}}^{\uparrow X}$ ;
и если вдобавок ${\mathcal {F}}$ закрыто вверх, а это означает, что ${\mathcal {F}}={\mathcal {F}}^{\uparrow X},$ то этот список можно расширить, включив в него:
${\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}.$ ^[5]
Итак, в данном случае это определение " ${\mathcal {F}}$ тоньше , чем ${\mathcal {C}}$ «было бы идентично топологическому определению понятия «более тонкое», если бы ${\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}$ были топологии на $X.$
Если восходящая закрытая семья ${\mathcal {F}}$ тоньше, чем ${\mathcal {C}}$ (то есть, ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}$ ) но ${\mathcal {C}}\neq {\mathcal {F}}$ затем ${\mathcal {F}}$ говорят, что он строго тоньше, чем ${\mathcal {C}}$ и ${\mathcal {C}}$ , строго грубее чем ${\mathcal {F}}.$
Два семейства сравнимы, если одно из этих множеств тоньше другого. ^[10]

Пример : Если $x_{i_{\bullet }}=\left(x_{i_{n}}\right)_{n=1}^{\infty }$ является подпоследовательностью $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ затем $\operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right)$ находится в подчинении $\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right);$ в символах: $\operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right)\vdash \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)$ а также $\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right).$ Говоря простым языком, префильтр хвостов подпоследовательности всегда подчинен фильтру исходной последовательности. Чтобы увидеть это, позвольте $C:=x_{\geq i}\in \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)$ быть произвольным (или, что то же самое, пусть $i\in \mathbb {N}$ быть произвольным) и осталось показать, что это множество содержит некоторые $F:=x_{i_{\geq n}}\in \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right).$ Для набора $x_{\geq i}=\left\{x_{i},x_{i+1},\ldots \right\}$ содержать $x_{i_{\geq n}}=\left\{x_{i_{n}},x_{i_{n+1}},\ldots \right\},$ достаточно иметь $i\leq i_{n}.$ С $i_{1}<i_{2}<\cdots$ являются строго возрастающими целыми числами, существует $n\in \mathbb {N}$ такой, что $i_{n}\geq i,$ и так $x_{\geq i}\supseteq x_{i_{\geq n}}$ держится по желанию. Следовательно, $\operatorname {TailsFilter} \left(x_{\bullet }\right)\subseteq \operatorname {TailsFilter} \left(x_{i_{\bullet }}\right).$ Левая часть будет строгим/правильным подмножеством правой части, если (например) каждая точка $x_{\bullet }$ уникальна (то есть, когда $x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X$ инъективен) и $x_{i_{\bullet }}$ это четно-индексированная подпоследовательность $\left(x_{2},x_{4},x_{6},\ldots \right)$ потому что в этих условиях каждый хвост $x_{i_{\geq n}}=\left\{x_{2n},x_{2n+2},x_{2n+4},\ldots \right\}$ (для каждого $n\in \mathbb {N}$ ) подпоследовательности будет принадлежать правому фильтру, но не левому фильтру.

Другой пример, если ${\mathcal {B}}$ есть ли тогда семья? $\varnothing \leq {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}\leq \{\varnothing \}$ всегда держится и, кроме того, $\{\varnothing \}\leq {\mathcal {B}}{\text{ if and only if }}\varnothing \in {\mathcal {B}}.$

Предположим, что ${\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}$ представляют собой семейства множеств, которые удовлетворяют ${\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}.$ Затем $\ker {\mathcal {F}}\subseteq \ker {\mathcal {C}},$ и ${\mathcal {C}}\neq \varnothing {\text{ implies }}{\mathcal {F}}\neq \varnothing ,$ а также $\varnothing \in {\mathcal {C}}{\text{ implies }}\varnothing \in {\mathcal {F}}.$ Если в дополнение к ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},{\mathcal {F}}$ фильтра представляет собой подставку и ${\mathcal {C}}\neq \varnothing ,$ затем ${\mathcal {C}}$ это подоснова фильтра ^[8] а также ${\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}$ сетка. ^[19]^{[доказательство 2]} В более общем случае, если оба $\varnothing \neq {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}{\text{ and }}\varnothing \neq {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}$ и если пересечение любых двух элементов ${\mathcal {F}}$ непусто, то ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}$ сетка. ^{[доказательство 2]} Каждая подбаза фильтра является более грубой, чем $π$ -система, которую она генерирует, и фильтр, который она генерирует. ^[8]

Если ${\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}$ такие семьи, что ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},$ семья ${\mathcal {C}}$ это ультра, и $\varnothing \not \in {\mathcal {F}},$ затем ${\mathcal {F}}$ обязательно ультра. Отсюда следует, что любая семья, эквивалентная ультрасемье, обязательно будет ультрасемейством . В частности, если ${\mathcal {C}}$ является предварительным фильтром, то либо оба ${\mathcal {C}}$ и фильтр ${\mathcal {C}}^{\uparrow X}$ он генерирует либо ультра, либо ни один из них не является ультра. Если подбаза фильтра ультра, то это обязательно предфильтр, и в этом случае фильтр, который он генерирует, также будет ультра. Подоснова фильтра ${\mathcal {B}}$ то, что не является префильтром, не может быть ультра; но, тем не менее, это все еще возможно для предварительного фильтра и фильтра, созданных ${\mathcal {B}}$ быть ультра. Если $S\subseteq X{\text{ and }}{\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)$ закрыто вверх $X$ затем $S\not \in {\mathcal {B}}{\text{ if and only if }}(X\setminus S)\#{\mathcal {B}}.$ ^[9]

Реляционные свойства подчинения

Отношение $\,\leq \,$ является рефлексивным и транзитивным , что превращает его в предварительный заказ на $\wp (\wp (X)).$ ^[32] Отношение $\,\leq \,{\text{ on }}\operatorname {Filters} (X)$ антисимметричен , но если $X$ имеет более одной точки, то несимметричен он .

Симметрия : Для любого ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X),{\mathcal {B}}\leq \{X\}{\text{ if and only if }}\{X\}={\mathcal {B}}.$ Итак, набор $X$ имеет более одной точки тогда и только тогда, когда соотношение $\,\leq \,{\text{ on }}\operatorname {Filters} (X)$ является не симметричным .

Антисимметрия : Если ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}{\text{ then }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}$ но хотя обратное в общем случае и не имеет места, оно имеет место, если ${\mathcal {C}}$ закрыто вверх (например, если ${\mathcal {C}}$ это фильтр). Два фильтра эквивалентны тогда и только тогда, когда они равны, что накладывает ограничение на $\,\leq \,$ к $\operatorname {Filters} (X)$ антисимметричный . Но в целом, $\,\leq \,$ является не антисимметричным по $\operatorname {Prefilters} (X)$ ни на $\wp (\wp (X))$ ; то есть, ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}$ не обязательно подразумевает ${\mathcal {B}}={\mathcal {C}}$ ; даже если оба ${\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}$ являются префильтрами. ^[12] Например, если ${\mathcal {B}}$ тогда это предфильтр, но не фильтр ${\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}^{\uparrow X}{\text{ and }}{\mathcal {B}}^{\uparrow X}\leq {\mathcal {B}}{\text{ but }}{\mathcal {B}}\neq {\mathcal {B}}^{\uparrow X}.$

Эквивалентные семейства множеств

Предзаказ $\,\leq \,$ индуцирует свое каноническое отношение эквивалентности на $\wp (\wp (X)),$ где для всех ${\mathcal {B}},{\mathcal {C}}\in \wp (\wp (X)),$ ${\mathcal {B}}$ эквивалентно ${\mathcal {C}}$ если выполняется любое из следующих эквивалентных условий: ^[8]^[5]

${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}.$
Закрытие вверх ${\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}$ равны.

Два закрытых вверх (в $X$ ) подмножества $\wp (X)$ эквивалентны тогда и только тогда, когда они равны. ^[8] Если ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)$ тогда обязательно $\varnothing \leq {\mathcal {B}}\leq \wp (X)$ и ${\mathcal {B}}$ эквивалентно ${\mathcal {B}}^{\uparrow X}.$ Каждый класс эквивалентности, кроме $\{\varnothing \}$ содержит единственный представитель (т.е. элемент класса эквивалентности), замкнутый вверх в $X.$ ^[8]

Свойства, сохраненные между эквивалентными семьями

Позволять ${\mathcal {B}},{\mathcal {C}}\in \wp (\wp (X))$ быть произвольным и пусть ${\mathcal {F}}$ быть любым семейством множеств. Если ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}$ эквивалентны (что означает, что $\ker {\mathcal {B}}=\ker {\mathcal {C}}$ ), то для каждого из утверждений/свойств, перечисленных ниже, либо оно верно для обоих ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}$ или же это неверно для обоих ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}$ : ^[32]

Не пустой
Надлежащее (т. $\varnothing$ $\varnothing$ это не элемент)
- Более того, любые два вырожденных семейства обязательно эквивалентны.
Основание фильтра
Предварительный фильтр
- В этом случае ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}$ сгенерировать тот же фильтр на $X$ (то есть их закрытия вверх в $X$ равны).
Бесплатно
Главный
Ультра
Равен тривиальному фильтру $\{X\}$ $\{X\}$
- На словах это означает, что единственное подмножество $\wp (X)$ который эквивалентен тривиальному фильтру, является тривиальным фильтром. В общем, этот вывод о равенстве не распространяется на нетривиальные фильтры (единственное исключение — когда оба семейства являются фильтрами).
Сетки с ${\mathcal {F}}$
Тоньше, чем ${\mathcal {F}}$
Является грубее, чем ${\mathcal {F}}$
Эквивалентно ${\mathcal {F}}$

В приведенном выше списке отсутствует слово «фильтр», поскольку это свойство не сохраняется эквивалентностью. Однако, если ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}$ включены ли фильтры $X,$ тогда они эквивалентны тогда и только тогда, когда они равны; эта характеристика не распространяется на предварительные фильтры.

Эквивалентность фильтров предварительной очистки и фильтрующих оснований

Если ${\mathcal {B}}$ это предварительный фильтр на $X$ то следующие семейства всегда эквивалентны друг другу:

${\mathcal {B}}$ ;
π $-система ,$ порожденная ${\mathcal {B}}$ ;
фильтр включен $X$ созданный ${\mathcal {B}}$ ;

и более того, все эти три семейства генерируют один и тот же фильтр на $X$ (то есть закрытия вверх в $X$ этих семей равны).

В частности, каждый префильтр эквивалентен фильтру, который он генерирует. По транзитивности два префильтра эквивалентны тогда и только тогда, когда они генерируют один и тот же фильтр. ^[8]^{[доказательство 3]} Каждый префильтр эквивалентен ровно одному фильтру на $X,$ который представляет собой фильтр, который он генерирует (то есть закрытие префильтра вверх). Иными словами, каждый класс эквивалентности предфильтров содержит ровно одного представителя, который является фильтром. Таким образом, фильтры можно рассматривать как просто выделенные элементы этих классов эквивалентности префильтров. ^[8]

Подбаза фильтра, которая не является также префильтром, не может быть эквивалентна префильтру (или фильтру), который она генерирует. Напротив, каждый префильтр эквивалентен фильтру, который он генерирует. Вот почему префильтры, по большому счету, могут использоваться взаимозаменяемо с фильтрами, которые они генерируют, в то время как подбазы фильтров не могут быть использованы. Каждый фильтр является одновременно $π$ -системой и кольцом множеств .

Примеры определения эквивалентности/неэквивалентности

Примеры: Пусть $X=\mathbb {R}$ и пусть $E$ быть набором $\mathbb {Z}$ целых чисел (или множества $\mathbb {N}$ ). Определите наборы ${\mathcal {B}}=\{[e,\infty )~:~e\in E\}\qquad {\text{ and }}\qquad {\mathcal {C}}_{\operatorname {open} }=\{(-\infty ,e)\cup (1+e,\infty )~:~e\in E\}\qquad {\text{ and }}\qquad {\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} }=\{(-\infty ,e]\cup [1+e,\infty )~:~e\in E\}.$

Все три набора являются подосновами фильтров, но ни один из них не является фильтром. $X$ и только ${\mathcal {B}}$ является префильтром (фактически, ${\mathcal {B}}$ даже свободен и замкнут при конечных пересечениях). Набор ${\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} }$ фиксировано, пока ${\mathcal {C}}_{\operatorname {open} }$ бесплатно (если только $E=\mathbb {N}$ ). Они удовлетворяют ${\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} }\leq {\mathcal {C}}_{\operatorname {open} }\leq {\mathcal {B}},$ но никакие две из этих семей не эквивалентны; более того, никакие два фильтра, сгенерированные этими тремя подбазами фильтров, не являются эквивалентными/равными. К такому выводу можно прийти, показав, что $порождаемые ими π$ –системы неэквивалентны. В отличие от ${\mathcal {C}}_{\operatorname {open} },$ каждое множество в $π$ –системе, порожденное ${\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} }$ содержит $\mathbb {Z}$ как подмножество, ^{[примечание 6]} именно это не позволяет их сгенерированным $π$ –системам (и, следовательно, их сгенерированным фильтрам) быть эквивалентными. Если $E$ вместо этого был $\mathbb {Q} {\text{ or }}\mathbb {R}$ тогда все три семьи были бы свободны и хотя наборы ${\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} }{\text{ and }}{\mathcal {C}}_{\operatorname {open} }$ оставались бы неэквивалентными друг другу, их порожденные $π$ –системы были бы эквивалентны и, следовательно, они порождали бы один и тот же фильтр на $X$ ; однако этот общий фильтр все равно будет строго грубее, чем фильтр, созданный ${\mathcal {B}}.$

Теоретико-множественные свойства и конструкции

Трассировка и создание сетки

Если ${\mathcal {B}}$ является префильтром (соответственно фильтром) на $X{\text{ and }}S\subseteq X$ затем след ${\mathcal {B}}{\text{ on }}S,$ что такое семья ${\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}:={\mathcal {B}}(\cap )\{S\},$ является предварительным фильтром (соответственно фильтром) тогда и только тогда, когда ${\mathcal {B}}{\text{ and }}S$ сетка (т. $\varnothing \not \in {\mathcal {B}}(\cap )\{S\}$ ^[10]), и в этом случае след ${\mathcal {B}}{\text{ on }}S$ Говорят, что это вызвано $S$ . Если ${\mathcal {B}}$ это ультра и если ${\mathcal {B}}{\text{ and }}S$ сетка, затем след ${\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}$ это ультра. Если ${\mathcal {B}}$ это ультрафильтр на $X$ затем след ${\mathcal {B}}{\text{ on }}S$ это фильтр на $S$ тогда и только тогда, когда $S\in {\mathcal {B}}.$

Например, предположим, что ${\mathcal {B}}$ это фильтр на $X{\text{ and }}S\subseteq X$ таков, что $S\neq X{\text{ and }}X\setminus S\not \in {\mathcal {B}}.$ Затем ${\mathcal {B}}{\text{ and }}S$ сетка и ${\mathcal {B}}\cup \{S\}$ генерирует фильтр на $X$ это строго лучше, чем ${\mathcal {B}}.$ ^[10]

Когда фильтры предварительной очистки сцепляются

Учитывая непустые семьи ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}},$ семья ${\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}:=\{B\cap C~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}\}$ удовлетворяет ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}$ и ${\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}.$ Если ${\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}$ является правильным (соответственно префильтром или подбазой фильтра), то это также верно для обоих ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}.$ Чтобы сделать какие-либо значимые выводы о ${\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}$ от ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}},{\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}$ должно быть правильным (т. $\varnothing \not \in {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}},$ что является мотивацией для определения «сетки». В этом случае, ${\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}$ является префильтром (соответственно подбазой фильтра) тогда и только тогда, когда это верно для обоих ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}.$ Говоря иначе, если ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}$ являются предфильтрами, то они сцепляются тогда и только тогда, когда ${\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}$ является предфильтром. Обобщение дает известную характеристику «сетки» целиком с точки зрения подчинения (т. е. $\,\leq \,$ ):

Два предфильтра (соответственно подоснования фильтров) ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}$ сетка тогда и только тогда, когда существует предварительный фильтр (соответственно подбаза фильтра) ${\mathcal {F}}$ такой, что ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}$ и ${\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}.$

Если наименьшая верхняя граница двух фильтров ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}$ существует в $\operatorname {Filters} (X)$ то эта наименьшая верхняя граница равна ${\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}.$ ^[28]

Изображения и прообразы по функциям

Через, $f:X\to Y{\text{ and }}g:Y\to Z$ будут отображениями между непустыми множествами.

Изображения префильтров

Позволять ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y).$ Многие из свойств, которые ${\mathcal {B}}$ возможно, сохранились под изображениями карт; К заметным исключениям относятся закрытие вверх, закрытие при конечных пересечениях и фильтр, которые не обязательно сохраняются.

Явно, если одно из следующих свойств истинно для ${\mathcal {B}}{\text{ on }}Y,$ тогда это обязательно будет верно и для $g({\mathcal {B}}){\text{ on }}g(Y)$ (хотя, возможно, не в кодомене $Z$ пока не $g$ является сюръективным): ^[10]^[13]^[33]^[34]^[35]^[31]

Свойства фильтра: ультра, ультрафильтр, фильтр, префильтр, подоснова фильтра, двойной идеал, закрытый вверх, собственный/невырожденный.
Идеальные свойства: идеальные, замкнутые при конечных объединениях, замкнутые вниз, направленные вверх.

Более того, если ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y)$ это предварительный фильтр, то и оба $g({\mathcal {B}}){\text{ and }}g^{-1}(g({\mathcal {B}})).$ ^[10] Изображение под картой $f:X\to Y$ из ультра-набора ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)$ снова ультра, и если ${\mathcal {B}}$ это ультра префильтр, то и так $f({\mathcal {B}}).$

Если ${\mathcal {B}}$ тогда это фильтр $g({\mathcal {B}})$ это фильтр по диапазону $g(Y),$ но это фильтр в кодомене $Z$ тогда и только тогда, когда $g$ является сюръективным. ^[33] В противном случае это просто предварительный фильтр. $Z$ и его закрытие вверх должно быть принято в $Z$ чтобы получить фильтр. Закрытие вверх $g({\mathcal {B}}){\text{ in }}Z$ является $g({\mathcal {B}})^{\uparrow Z}=\left\{S\subseteq Z~:~B\subseteq g^{-1}(S){\text{ for some }}B\in {\mathcal {B}}\right\}$ где если ${\mathcal {B}}$ закрыто вверх $Y$ (то есть фильтр), то это упрощается до: $g({\mathcal {B}})^{\uparrow Z}=\left\{S\subseteq Z~:~g^{-1}(S)\in {\mathcal {B}}\right\}.$

Если $X\subseteq Y$ затем принимая $g$ быть картой включения $X\to Y$ показывает, что любой предварительный фильтр (соответственно ультрапрефильтр, подоснова фильтра) на $X$ также является предварительным фильтром (соответственно ультрапрефильтром, фильтрующим основанием) на $Y.$ ^[10]

Прообразы префильтров

Позволять ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y).$ В предположении, что $f:X\to Y$ является сюръективным :

$f^{-1}({\mathcal {B}})$ является префильтром (соответственно подбазой фильтра, $π$ –системой, замкнутой относительно конечных объединений, собственно) тогда и только тогда, когда это верно для ${\mathcal {B}}.$

Однако, если ${\mathcal {B}}$ это ультрафильтр на $Y$ тогда, даже если $f$ является сюръективным (что сделало бы $f^{-1}({\mathcal {B}})$ префильтр), тем не менее, для префильтра все еще возможно $f^{-1}({\mathcal {B}})$ быть ни ультра, ни фильтром $X$ ^[34] (см. это ^{[примечание 7]} сноску к примеру).

Если $f:X\to Y$ не сюръективен, то обозначим след ${\mathcal {B}}{\text{ on }}f(X)$ к ${\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)},$ где в этом конкретном случае трасса удовлетворяет: ${\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}=f\left(f^{-1}({\mathcal {B}})\right)$ и, следовательно, также: $f^{-1}({\mathcal {B}})=f^{-1}\left({\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}\right).$

Это последнее равенство и тот факт, что след ${\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}$ это семейство множеств над $f(X)$ означает, что делать выводы о $f^{-1}({\mathcal {B}}),$ след ${\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}$ можно использовать вместо ${\mathcal {B}}$ и сюръективность $f:X\to f(X)$ можно использовать вместо $f:X\to Y.$ Например: ^[13]^[10]^[35]

$f^{-1}({\mathcal {B}})$ является префильтром (соответственно подбазой фильтра, $собственно π$ -системой) тогда и только тогда, когда это верно для ${\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}.$

Таким образом, случай, когда $f$ не является (обязательно) сюръективным, можно свести к случаю сюръективной функции (это случай, описанный в начале этого подраздела).

Даже если ${\mathcal {B}}$ это ультрафильтр на $Y,$ если $f$ не сюръективен, то, тем не менее, возможно, что $\varnothing \in {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)},$ что сделало бы $f^{-1}({\mathcal {B}})$ тоже деградировать. Следующая характеристика показывает, что единственным препятствием является вырождение. Если ${\mathcal {B}}$ является предварительным фильтром, то следующие условия эквивалентны: ^[13]^[10]^[35]

$f^{-1}({\mathcal {B}})$ является предфильтром;
${\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}$ является предфильтром;
$\varnothing \not \in {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}$ ;
${\mathcal {B}}$ соединяется с $f(X)$

и более того, если $f^{-1}({\mathcal {B}})$ это предфильтр, то и так $f\left(f^{-1}({\mathcal {B}})\right).$ ^[13]^[10]

Если $S\subseteq Y$ и если $\operatorname {In} :S\to Y$ обозначает карту включения, то след ${\mathcal {B}}{\text{ on }}S$ равно $\operatorname {In} ^{-1}({\mathcal {B}}).$ ^[10] Это наблюдение позволяет применить результаты данного подраздела к исследованию следа на множестве.

Биекции, инъекции и сюръекции

Все свойства, связанные с фильтрами, сохраняются при биекциях. Это означает, что если ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y){\text{ and }}g:Y\to Z$ является биекцией, то ${\mathcal {B}}$ является префильтром (соответственно ультра, ультра префильтр, фильтр на $X,$ ультрафильтр включен $X,$ подбаза фильтра, $π$ –система, идеальна на $X,$ и т. д.) тогда и только тогда, когда то же самое верно и для $g({\mathcal {B}}){\text{ on }}Z.$ ^[34]

Карта $g:Y\to Z$ является инъективным тогда и только тогда, когда для всех предфильтров ${\mathcal {B}}{\text{ on }}Y,{\mathcal {B}}$ эквивалентно $g^{-1}(g({\mathcal {B}})).$ ^[28] Имидж ультра-семейства наборов под инжектор снова ультра.

Карта $f:X\to Y$ является сюръективной тогда и только тогда, когда всякий раз, когда ${\mathcal {B}}$ это предварительный фильтр на $Y$ то то же самое верно и для $f^{-1}({\mathcal {B}}){\text{ on }}X$ (этот результат не требует леммы об ультрафильтре).

Подчинение сохраняется образами и прообразами.

Отношение $\,\leq \,$ сохраняется как под изображениями, так и под прообразами семейств множеств. ^[10] Это означает, что для любой семьи ${\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}},$ ^[35] ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}\quad {\text{ implies }}\quad g({\mathcal {C}})\leq g({\mathcal {F}})\quad {\text{ and }}\quad f^{-1}({\mathcal {C}})\leq f^{-1}({\mathcal {F}}).$

всегда выполняются следующие соотношения: Более того, для любого семейства множеств ${\mathcal {C}}$ : ^[35] ${\mathcal {C}}\leq f\left(f^{-1}({\mathcal {C}})\right)$ где равенство будет иметь место, если $f$ является сюръективным. ^[35] Более того, $f^{-1}({\mathcal {C}})=f^{-1}\left(f\left(f^{-1}({\mathcal {C}})\right)\right)\quad {\text{ and }}\quad g({\mathcal {C}})=g\left(g^{-1}(g({\mathcal {C}}))\right).$

Если ${\mathcal {B}}\subseteq \wp (X){\text{ and }}{\mathcal {C}}\subseteq \wp (Y)$ затем ^[9] $f({\mathcal {B}})\leq {\mathcal {C}}\quad {\text{ if and only if }}\quad {\mathcal {B}}\leq f^{-1}({\mathcal {C}})$ и $g^{-1}(g({\mathcal {C}}))\leq {\mathcal {C}}$ ^[35] где равенство будет иметь место, если $g$ является инъективным. ^[35]

Продукция префильтров

Предполагать $X_{\bullet }=\left(X_{i}\right)_{i\in I}$ — семейство одного или нескольких непустых множеств, произведение которого будем обозначать через $\prod X_{\bullet }:=\prod _{i\in I}X_{i},$ и для каждого индекса $i\in I,$ позволять $\Pr {}_{X_{i}}:\prod X_{\bullet }\to X_{i}$ обозначим каноническую проекцию. Позволять ${\mathcal {B}}_{\bullet }:=\left({\mathcal {B}}_{i}\right)_{i\in I}$ быть непустыми семействами, также индексируемыми $I,$ такой, что ${\mathcal {B}}_{i}\subseteq \wp \left(X_{i}\right)$ для каждого $i\in I.$ Продукт семей ${\mathcal {B}}_{\bullet }$ ^[10] определяется идентично тому, как базовые открытые подмножества топологии продукта (если бы все эти определяются ${\mathcal {B}}_{i}$ были топологии). То есть оба обозначения $\prod _{}{\mathcal {B}}_{\bullet }=\prod _{i\in I}{\mathcal {B}}_{i}$ обозначим семейство всех подмножеств цилиндров $\prod _{i\in I}S_{i}\subseteq \prod _{}X_{\bullet }$ такой, что $S_{i}=X_{i}$ для всех, кроме конечного числа $i\in I$ и где $S_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}$ для любого из этих конечного числа исключений (т. е. для любого $i$ такой, что $S_{i}\neq X_{i},$ обязательно $S_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}$ ). Когда каждый ${\mathcal {B}}_{i}$ это подоснова фильтра, то семейство $\bigcup _{i\in I}\Pr {}_{X_{i}}^{-1}\left({\mathcal {B}}_{i}\right)$ представляет собой фильтрующую подставку для фильтра на $\prod X_{\bullet }$ созданный ${\mathcal {B}}_{\bullet }.$ ^[10] Если $\prod {\mathcal {B}}_{\bullet }$ является основанием фильтра, тогда фильтр на $\prod X_{\bullet }$ который он генерирует, называется фильтром, сгенерированным ${\mathcal {B}}_{\bullet }$ . ^[10] Если каждый ${\mathcal {B}}_{i}$ это предварительный фильтр на $X_{i}$ затем $\prod {\mathcal {B}}_{\bullet }$ будет предварительный фильтр $\prod X_{\bullet }$ и более того, этот префильтр равен самому грубому префильтру ${\mathcal {F}}{\text{ on }}\prod X_{\bullet }$ такой, что $\Pr {}_{X_{i}}({\mathcal {F}})={\mathcal {B}}_{i}$ для каждого $i\in I.$ ^[10] Однако, $\prod {\mathcal {B}}_{\bullet }$ может не быть фильтром $\prod X_{\bullet }$ даже если каждый ${\mathcal {B}}_{i}$ это фильтр на $X_{i}.$ ^[10]

Установить вычитание и некоторые примеры

Установить вычитание подмножества ядра

Если ${\mathcal {B}}$ это предварительный фильтр на $X,S\subseteq \ker {\mathcal {B}},{\text{ and }}S\not \in {\mathcal {B}}$ затем $\{B\setminus S~:~B\in {\mathcal {B}}\}$ является префильтром, причем этот последний набор является фильтром тогда и только тогда, когда ${\mathcal {B}}$ это фильтр и $S=\varnothing .$ В частности, если ${\mathcal {B}}$ является базисом окрестности в точке $x$ в топологическом пространстве $X$ имея хотя бы 2 очка, то $\{B\setminus \{x\}~:~B\in {\mathcal {B}}\}$ это предварительный фильтр на $X.$ Эта конструкция используется для определения $\lim _{\stackrel {x\to x_{0}}{x\neq x_{0}}}f(x)\to y$ с точки зрения сходимости префильтра.

Использование двойственности между идеалами и двойственных идеалов

Существует двойственное отношение ${\mathcal {B}}\vartriangleleft {\mathcal {C}}$ или ${\mathcal {C}}\vartriangleright {\mathcal {B}},$ что означает, что каждый $B\in {\mathcal {B}}$ содержится в каком-то $C\in {\mathcal {C}}.$ В явном виде это означает, что для каждого $B\in {\mathcal {B}}$ , есть некоторые $C\in {\mathcal {C}}$ такой, что $B\subseteq C.$ Это отношение двойственно $\,\leq \,$ в том смысле, что ${\mathcal {B}}\vartriangleleft {\mathcal {C}}$ тогда и только тогда, когда $(X\setminus {\mathcal {B}})\leq (X\setminus {\mathcal {C}}).$ ^[5] Отношение ${\mathcal {B}}\vartriangleleft {\mathcal {C}}$ тесно связано с нисходящим замыканием семьи, подобно тому, как $\,\leq \,$ относится к семейству восходящих замыканий.

В качестве примера, использующего эту двойственность, предположим, $f:X\to Y$ это карта и $\Xi \subseteq \wp (Y).$ Определять $\Xi _{f}:=\{I\subseteq X~:~f(I)\in \Xi \}$ который содержит пустое множество тогда и только тогда, когда $\Xi$ делает. Это возможно для $\Xi$ быть ультрафильтром и для $\Xi _{f}$ быть пустым или незамкнутым при конечных пересечениях (см., например, сноску). ^{[примечание 8]} Хотя $\Xi _{f}$ не очень хорошо сохраняет свойства фильтров, если $\Xi$ закрыто вниз (соответственно замкнуто относительно конечных объединений, идеала), то это будет верно и для $\Xi _{f}.$ Использование двойственности идеалов и двойственных идеалов позволяет построить следующий фильтр.

Предполагать ${\mathcal {B}}$ это фильтр на $Y$ и пусть $\Xi :=Y\setminus {\mathcal {B}}$ быть его двойником $Y.$ Если $X\not \in \Xi _{f}$ затем $\Xi _{f}$ двойной $X\setminus \Xi _{f}$ будет фильтр.

Другие примеры

Пример: набор ${\mathcal {B}}$ всех плотных открытых подмножеств топологического пространства является собственной $π$ –системой и префильтром. Если пространство является пространством Бэра , то множество всех счетных пересечений плотных открытых подмножеств представляет собой $π$ –систему и префильтр, который тоньше, чем ${\mathcal {B}}.$

Пример: Семья ${\mathcal {B}}_{\operatorname {Open} }$ всех плотных открытых множеств $X=\mathbb {R}$ имеющая конечную меру Лебега, является собственной $π$ –системой и свободным префильтром. Предварительный фильтр ${\mathcal {B}}_{\operatorname {Open} }$ правильно содержится в предварительном фильтре, состоящем из всех плотных открытых подмножеств, и не эквивалентен ему. $\mathbb {R} .$ С $X$ — пространство Бэра , каждое счетное пересечение множеств в ${\mathcal {B}}_{\operatorname {Open} }$ плотный в $X$ (а также сходное и нетощее), поэтому множество всех счетных пересечений элементов ${\mathcal {B}}_{\operatorname {Open} }$ – предфильтр и $π$ –система; это также тоньше, чем, и не эквивалентно, ${\mathcal {B}}_{\operatorname {Open} }.$

Фильтры и сети

В этом разделе будут очень подробно описаны взаимоотношения между префильтрами и сетями, поскольку эти детали важны для применения фильтров к топологии , особенно при переключении от использования сетей к использованию фильтров и наоборот, а также потому, что это позволяет позже понять, почему используются подсети. (с их наиболее часто используемыми определениями) обычно не эквивалентны «субпрефильтрам».

Сети к префильтрам

сеть $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}{\text{ in }}X$ канонически связан со своим префильтром хвостов $\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right).$ Если $f:X\to Y$ это карта и $x_{\bullet }$ это сеть в $X$ затем $\operatorname {Tails} \left(f\left(x_{\bullet }\right)\right)=f\left(\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\right).$ ^[36]

Префильтры к сетям

– Остроконечное множество это пара $(S,s)$ состоящий из непустого множества $S$ и элемент $s\in S.$ Для любой семьи ${\mathcal {B}},$ позволять $\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}):=\left\{(B,b)~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}b\in B\right\}.$

Определить канонический предварительный заказ $\,\leq \,$ на указанных множествах, объявив $(R,r)\leq (S,s)\quad {\text{ if and only if }}\quad R\supseteq S.$

Если $s_{0},s_{1}\in S{\text{ then }}\left(S,s_{0}\right)\leq \left(S,s_{1}\right){\text{ and }}\left(S,s_{1}\right)\leq \left(S,s_{0}\right)$ даже если $s_{0}\neq s_{1},$ поэтому этот предварительный порядок не является антисимметричным и для любого семейства множеств ${\mathcal {B}},$ $(\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}),\leq )$ тогда частично упорядочен и только тогда, когда ${\mathcal {B}}\neq \varnothing$ состоит полностью из одноэлементных наборов. Если $\{x\}\in {\mathcal {B}}{\text{ then }}(\{x\},x)$ является максимальным элементом $\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})$ ; более того, все максимальные элементы имеют такой вид. Если $\left(B,b_{0}\right)\in \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}){\text{ then }}\left(B,b_{0}\right)$ является величайшим элементом тогда и только тогда, когда $B=\ker {\mathcal {B}},$ в этом случае $\{(B,b)~:~b\in B\}$ представляет собой совокупность всех величайших элементов. Однако величайший элемент $(B,b)$ является максимальным элементом тогда и только тогда, когда $B=\{b\}=\ker {\mathcal {B}},$ поэтому существует не более одного элемента, который является одновременно максимальным и наибольшим. Есть каноническая карта $\operatorname {Point} _{\mathcal {B}}~:~\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})\to X$ определяется $(B,b)\mapsto b.$

Если $i_{0}=\left(B_{0},b_{0}\right)\in \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})$ затем конец задания $\operatorname {Point} _{\mathcal {B}}$ начиная с $i_{0}$ является $\left\{c~:~(C,c)\in \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}){\text{ and }}\left(B_{0},b_{0}\right)\leq (C,c)\right\}=B_{0}.$

Хотя $(\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}),\leq )$ вообще говоря, не является частично упорядоченным множеством, оно является направленным множеством, если (и только если) ${\mathcal {B}}$ является предфильтром. Итак, самый непосредственный выбор для определения «сети в $X$ вызванный предварительным фильтром ${\mathcal {B}}$ " это задание $(B,b)\mapsto b$ от $\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})$ в $X.$

Если ${\mathcal {B}}$ это предварительный фильтр на $X$ тогда сеть, связанная с ${\mathcal {B}}$ это карта
${\begin{alignedat}{4}\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}:\;&&(\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}),\leq )&&\,\to \;&X\\&&(B,b)&&\,\mapsto \;&b\\\end{alignedat}}$
то есть, $\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}(B,b):=b.$

Если ${\mathcal {B}}$ это предварительный фильтр на $X{\text{ then }}\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}$ это сеть в $X$ и предварительный фильтр, связанный с $\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}$ является ${\mathcal {B}}$ ; то есть: ^{[примечание 9]} $\operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right)={\mathcal {B}}.$

Это не обязательно было бы правдой, если бы $\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}$ были определены на правильном подмножестве $\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}).$ Например, предположим $X$ имеет как минимум два различных элемента, ${\mathcal {B}}:=\{X\}$ – недискретный фильтр, а $x\in X$ является произвольным. Имел $\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}$ вместо этого был определен в одноэлементном наборе $D:=\{(X,x)\},$ где ограничение $\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}$ к $D$ временно будет обозначаться $\operatorname {Net} _{D}:D\to X,$ затем предварительный фильтр хвостов, связанных с $\operatorname {Net} _{D}:D\to X$ будет основным префильтром $\{\,\{x\}\,\}$ вместо родного фильтра ${\mathcal {B}}=\{X\}$ ; это означает, что равенство $\operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{D}\right)={\mathcal {B}}$ ложь , так непохожа $\operatorname {Net} _{\mathcal {B}},$ предварительный фильтр ${\mathcal {B}}$ невозможно восстановить из $\operatorname {Net} _{D}.$ Еще хуже, пока ${\mathcal {B}}$ это уникальный минимальный фильтр на $X,$ предварительный фильтр $\operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{D}\right)=\{\{x\}\}$ вместо этого генерирует максимальный фильтр (то есть ультрафильтр) на $X.$

Однако, если $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ это сеть в $X$ тогда это не верно вообще $\operatorname {Net} _{\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ равно $x_{\bullet }$ потому что, например, область $x_{\bullet }$ может иметь совершенно другую мощность, чем у $\operatorname {Net} _{\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ (поскольку в отличие от области $\operatorname {Net} _{\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)},$ область определения произвольной сети в $X$ может иметь любую мощность).

Ультрасети и ультрапрефильтры

сеть $x_{\bullet }{\text{ in }}X$ называется ультрасетью или универсальной сетью в $X$ если для каждого подмножества $S\subseteq X,x_{\bullet }$ в конце концов в $S$ или это в конце концов в $X\setminus S$ ; это произойдет тогда и только тогда, когда $\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)$ это ультрапрефильтр. Предварительный фильтр ${\mathcal {B}}{\text{ on }}X$ является ультрапрефильтром тогда и только тогда, когда $\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}$ это ультранет в $X.$

Частично заказанная сеть

Область канонической сети $\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}$ вообще не является частично упорядоченным. Однако в 1955 году Брунс и Шмидт обнаружили ^[37] конструкция, позволяющая канонической сети иметь частично упорядоченную и направленную область; это было независимо переоткрыто Альбертом Вилански в 1970 году. ^[36] Он начинается с построения строгого частичного порядка (имеется в виду транзитивное и иррефлексивное отношение ). $\,<\,$ на подмножестве ${\mathcal {B}}\times \mathbb {N} \times X$ что аналогично лексикографическому порядку ${\mathcal {B}}\times \mathbb {N}$ строгих частичных заказов $({\mathcal {B}},\supsetneq ){\text{ and }}(\mathbb {N} ,<).$ Для любого $i=(B,m,b){\text{ and }}j=(C,n,c)$ в ${\mathcal {B}}\times \mathbb {N} \times X,$ заявить, что $i<j$ тогда и только тогда, когда $B\supseteq C{\text{ and either: }}{\text{(1) }}B\neq C{\text{ or else (2) }}B=C{\text{ and }}m<n,$ или, что то же самое, тогда и только тогда, когда ${\text{(1) }}B\supseteq C,{\text{ and (2) if }}B=C{\text{ then }}m<n.$

Нестрогий частичный порядок, связанный с $\,<,$ обозначается $\,\leq ,$ определяется, заявляя, что $i\leq j\,{\text{ if and only if }}i<j{\text{ or }}i=j.$ Раскрывая эти определения, мы получаем следующую характеристику:

$i\leq j$ тогда и только тогда, когда ${\text{(1) }}B\supseteq C,{\text{ and (2) if }}B=C{\text{ then }}m\leq n,$ а также ${\text{(3) if }}B=C{\text{ and }}m=n{\text{ then }}b=c,$

что показывает, что $\,\leq \,$ это просто лексикографический порядок ${\mathcal {B}}\times \mathbb {N} \times X$ вызванный $({\mathcal {B}},\supseteq ),\,(\mathbb {N} ,\leq ),{\text{ and }}(X,=),$ где $X$ частично упорядочен по равенству $\,=.\,$ ^{[примечание 10]} Оба $\,<{\text{ and }}\leq \,$ являются последовательными и не имеют ни наибольшего , ни максимального элемента ; это остается верным, если каждый из них ограничен подмножеством ${\mathcal {B}}\times \mathbb {N} \times X$ определяется ${\begin{alignedat}{4}\operatorname {Poset} _{\mathcal {B}}\;&:=\;\{\,(B,m,b)\;\in \;{\mathcal {B}}\times \mathbb {N} \times X~:~b\in B\,\},\\\end{alignedat}}$ где впредь предполагается, что они находятся. Обозначим задание $i=(B,m,b)\mapsto b$ из этого подмножества: ${\begin{alignedat}{4}\operatorname {PosetNet} _{\mathcal {B}}\ :\ &&\ \operatorname {Poset} _{\mathcal {B}}\ &&\,\to \;&X\\[0.5ex]&&\ (B,m,b)\ &&\,\mapsto \;&b\\[0.5ex]\end{alignedat}}$ Если $i_{0}=\left(B_{0},m_{0},b_{0}\right)\in \operatorname {Poset} _{\mathcal {B}}$ тогда так же, как и с $\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}$ раньше, хвост $\operatorname {PosetNet} _{\mathcal {B}}$ начиная с $i_{0}$ равно $B_{0}.$ Если ${\mathcal {B}}$ это предварительный фильтр на $X$ затем $\operatorname {PosetNet} _{\mathcal {B}}$ это сеть в $X$ чей домен $\operatorname {Poset} _{\mathcal {B}}$ является частично упорядоченным множеством, причем $\operatorname {Tails} \left(\operatorname {PosetNet} _{\mathcal {B}}\right)={\mathcal {B}}.$ ^[36] Потому что хвосты $\operatorname {PosetNet} _{\mathcal {B}}{\text{ and }}\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}$ идентичны (поскольку оба равны префильтру ${\mathcal {B}}$ ), обычно ничего не теряется, если предположить, что область цепи, связанная с предварительным фильтром, одновременно направлена и частично упорядочена. ^[36] Если набор $\mathbb {N}$ заменяется положительными рациональными числами, тогда строгий частичный порядок $<$ также будет плотный порядок .

Подчиненные фильтры и подсети

Понятие « ${\mathcal {B}}$ находится в подчинении ${\mathcal {C}}$ "(написано ${\mathcal {B}}\vdash {\mathcal {C}}$ ) для фильтров и предфильтров что " $x_{n_{\bullet }}=\left(x_{n_{i}}\right)_{i=1}^{\infty }$ является подпоследовательностью $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ " предназначен для последовательностей. ^[24] Например, если $\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)=\left\{x_{\geq i}:i\in \mathbb {N} \right\}$ обозначает множество хвостов $x_{\bullet }$ и если $\operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)=\left\{x_{n_{\geq i}}:i\in \mathbb {N} \right\}$ обозначает множество хвостов подпоследовательности $x_{n_{\bullet }}$ (где $x_{n_{\geq i}}:=\left\{x_{n_{i}}~:~i\in \mathbb {N} \right\}$ ) затем $\operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)~\vdash ~\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)$ (то есть, $\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)$ ) верно, но $\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)~\vdash ~\operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)$ вообще неверно.

Неэквивалентность подсетей и подчиненных фильтров

Подмножество $R\subseteq I$ места заранее заказанного $(I,\leq )$ является частые или конинальные в $I$ если для каждого $i\in I$ существует какой-то $r\in R{\text{ such that }}i\leq r.$ Если $R\subseteq I$ содержит хвост $I$ затем $R$ Говорят, что это возможное или в конце концов в $I$ ; явно это означает, что существует некоторый $i\in I{\text{ such that }}I_{\geq i}\subseteq R$ (то есть, $j\in R{\text{ for all }}j\in I{\text{ satisfying }}i\leq j$ ). Конечный набор обязательно не пуст. Подмножество является возможным тогда и только тогда, когда его дополнение не является частым (что называется нечасто ). ^[38] Карта $h:A\to I$ между двумя предварительно заказанными наборами порядок – сохранение, если когда угодно $a,b\in A{\text{ satisfy }}a\leq b,{\text{ then }}h(a)\leq h(b).$

Подсети в смысле Уилларда и подсети в смысле Келли — наиболее часто используемые определения « подсети ». ^[38] Первое определение подсети было введено Джоном Л. Келли в 1955 году. ^[38]Стивен Уиллард представил свой собственный вариант определения подсети, данного Келли, в 1970 году. ^[38] Подсети AA были независимо представлены Смайли (1957), Аарнесом и Анденаесом (1972) и Мурдешваром (1983); AA-подсети были очень подробно изучены Аарнесом и Анденаесом, но они не часто используются. ^[38]

Позволять $S=S_{\bullet }~:~(A,\leq )\to X{\text{ and }}N=N_{\bullet }~:~(I,\leq )\to X$ быть сетями. Затем ^[38]
$S_{\bullet }$ это Уиллард – подсеть $N_{\bullet }$ или подсеть в смысле Уилларда, если существует сохраняющее порядок отображение $h:A\to I$ такой, что $S=N\circ h{\text{ and }}h(A)$ является конфинальным в $I.$
$S_{\bullet }$ это Келли – подсеть $N_{\bullet }$ или подсеть в смысле Келли, если существует карта $h~:~A\to I{\text{ such that }}S=N\circ h$ и всякий раз, когда $E\subseteq I$ в конце концов в $I$ затем $h^{-1}(E)$ в конце концов в $A.$
$S_{\bullet }$ это AA – подсеть $N_{\bullet }$ или подсеть в смысле Аарнеса и Анденаеса, если выполнено любое из следующих эквивалентных условий:
$\operatorname {Tails} \left(N_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(S_{\bullet }\right).$
$\operatorname {TailsFilter} \left(N_{\bullet }\right)\subseteq \operatorname {TailsFilter} \left(S_{\bullet }\right).$
Если $J$ в конце концов в $I{\text{ then }}S^{-1}(N(J))$ в конце концов в $A.$
Для любого подмножества $R\subseteq X,{\text{ if }}\operatorname {Tails} \left(S_{\bullet }\right){\text{ and }}\{R\}$ сетка, то так и делай $\operatorname {Tails} \left(N_{\bullet }\right){\text{ and }}\{R\}.$
Для любого подмножества $R\subseteq X,{\text{ if }}\operatorname {Tails} \left(S_{\bullet }\right)\leq \{R\}{\text{ then }}\operatorname {Tails} \left(N_{\bullet }\right)\leq \{R\}.$

Келли не потребовалась карта $h$ сохранять порядок, в то время как определение подсети AA полностью устраняет любое сопоставление между доменами двух сетей и вместо этого полностью фокусируется на $X$ − общий кодомен сетей. Каждая подсеть Уилларда является подсетью Келли, и обе являются подсетями AA. ^[38] В частности, если $y_{\bullet }=\left(y_{a}\right)_{a\in A}$ является подсетью Уилларда или подсетью Келли $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ затем $\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(y_{\bullet }\right).$

Пример: Пусть $I=\mathbb {N}$ и пусть $x_{\bullet }$ быть постоянной последовательностью, скажем $x_{\bullet }=\left(0\right)_{i\in \mathbb {N} }.$ Позволять $s_{1}=0$ и $A=\{1\}$ так что $s_{\bullet }=\left(s_{a}\right)_{a\in A}=\left(s_{1}\right)$ есть сеть на $A.$ Затем $s_{\bullet }$ это AA-подсеть $x_{\bullet }$ потому что $\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)=\{\{0\}\}=\operatorname {Tails} \left(s_{\bullet }\right).$ Но $s_{\bullet }$ не является подсетью Willard $x_{\bullet }$ потому что не существует никакой карты $h:A\to I$ чей образ является конфинальным подмножеством $I=\mathbb {N} .$ И это не $s_{\bullet }$ подсеть Келли $x_{\bullet }$ потому что если $h:A\to I$ тогда есть какая-нибудь карта $E:=I\setminus \{h(1)\}$ является конфинальным подмножеством $I=\mathbb {N}$ но $h^{-1}(E)=\varnothing$ в конце концов не в $A.$

Подсети AA имеют определяющую характеристику, которая сразу показывает, что они полностью взаимозаменяемы с под(ординатными) фильтрами. ^[38]^[39] Явно имеется в виду, что для AA-подсетей справедливо следующее утверждение:

Если ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}$ тогда это предфильтры ${\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}{\text{ if and only if }}\operatorname {Net} _{\mathcal {F}}$ представляет собой AA-подсеть $\;\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.$

Если «AA–подсеть» заменить на «Willard–subnet» или «Kelley–subnet», то приведенное выше утверждение становится ложным . В частности, проблема в том, что следующее утверждение вообще неверно:

Ложное утверждение: Если ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}$ являются предфильтрами такими, что ${\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}{\text{ then }}\operatorname {Net} _{\mathcal {F}}$ является подсетью Келли $\;\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.$

Поскольку каждая подсеть Уилларда является подсетью Келли, это утверждение остается ложным, если слово «подсеть Келли» заменить на «подсеть Уилларда».

Контрпример : Для всех $n\in \mathbb {N} ,$ позволять $B_{n}=\{1\}\cup \mathbb {N} _{\geq n}.$ Позволять ${\mathcal {B}}=\{B_{n}~:~n\in \mathbb {N} \},$ которая является собственной $π$ –системой, и пусть ${\mathcal {F}}=\{\{1\}\}\cup {\mathcal {B}},$ где оба семейства являются предварительными фильтрами натуральных чисел $X:=\mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}.$ Потому что ${\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}},{\mathcal {F}}$ это ${\mathcal {B}}$ как подпоследовательность по отношению к последовательности. Итак, в идеале $S=\operatorname {Net} _{\mathcal {F}}$ должна быть подсетью $B=\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.$ Позволять $I:=\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})$ быть областью $\operatorname {Net} _{\mathcal {B}},$ так $I$ содержит конфинальное подмножество, порядково изоморфное $\mathbb {N}$ и, следовательно, не содержит ни максимального, ни наибольшего элемента. Позволять $A:=\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {F}})=\{M\}\cup I,{\text{ where }}M:=(1,\{1\})$ является одновременно максимальным и наибольшим элементом $A.$ Режиссерский набор $A$ также содержит подмножество, по порядку изоморфное $\mathbb {N}$ (поскольку он содержит $I,$ которое содержит такое подмножество), но ни одно такое подмножество не может быть конфинальным в $A$ из-за максимального элемента $M.$ Следовательно, любое сохраняющее порядок отображение $h:A\to I$ должно быть в конечном итоге постоянным (со значением $h(M)$ ) где $h(M)$ тогда это наибольший элемент диапазона $h(A).$ Из-за этого не может быть карты, сохраняющей порядок. $h:A\to I$ удовлетворяющий условиям, необходимым для $\operatorname {Net} _{\mathcal {F}}$ быть подсетью Уилларда $\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}$ (потому что диапазон такой карты $h$ не может быть конфинальным в $I$ ). Предположим, ради противоречия, что существует отображение $h:A\to I$ такой, что $h^{-1}\left(I_{\geq i}\right)$ в конце концов в $A$ для всех $i\in I.$ Потому что $h(M)\in I,$ существуют $n,n_{0}\in \mathbb {N}$ такой, что $h(M)=\left(n_{0},B_{n}\right){\text{ with }}n_{0}\in B_{n}.$ Для каждого $i\in I,$ потому что $h^{-1}\left(I_{\geq i}\right)$ в конце концов в $A,$ необходимо, чтобы $h(M)\in I_{\geq i}.$ В частности, если $i:=\left(n+2,B_{n+2}\right)$ затем $h(M)\geq i=\left(n+2,B_{n+2}\right),$ что по определению эквивалентно $B_{n}\subseteq B_{n+2},$ что неверно. Следовательно, $\operatorname {Net} _{\mathcal {F}}$ не является подсетью Келли $\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.$ ^[39]

Если «подсеть» определяется как означающая Уилларда-подсеть или Келли-подсеть, тогда сети и фильтры не являются полностью взаимозаменяемыми, поскольку существуют отношения фильтр-под(ордината)фильтра, которые не могут быть выражены через отношения сеть-подсеть между ними. индуцированные сети. В частности, проблема в том, что подсети Келли и подсети Уилларда не полностью взаимозаменяемы с подчиненными фильтрами. Если понятие «подсеть» не используется или если «подсеть» определяется как AA-подсеть, то это перестает быть проблемой, и поэтому становится правильным сказать, что сети и фильтры взаимозаменяемы. Несмотря на то, что подсети AA не имеют таких проблем, как подсети Уилларда и Келли, они широко не используются и о них не известно. ^[38]^[39]

См. также

Характеристики категории топологических пространств.
Пространство сходимости - обобщение понятия сходимости, которое встречается в общей топологии.
Фильтр (математика) – в математике особое подмножество частично упорядоченного множества.
Квантор фильтра
Фильтры в топологии . Использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
Фильтрация (математика)
Фильтрация (теория вероятностей) - Модель информации, доступной в данной точке случайного процесса.
Фильтрация (абстрактная алгебра)
Фильтр Фреше – фильтр Фреше.
Общий фильтр - в теории множеств, учитывая набор плотных открытых подмножеств частичного множества, фильтр, который удовлетворяет всем наборам в этой коллекции.
Идеал (теория множеств) - непустое семейство множеств, замкнутое относительно конечных объединений и подмножеств.
Компактификация Стоуна-Чеха # Конструкция с использованием ультрафильтров - универсальное отображение топологического пространства X в компактное хаусдорфово пространство βX, такое, что любое отображение из X в компактное хаусдорфово пространство факторизуется через βX однозначно; если X — Тихонов, то X — плотное подпространство
Фундаментальная теорема ультрапродуктов . Математическая конструкция.
Ультрафильтр – Максимально правильный фильтр
Ультрафильтр (теория множеств) – страницы максимально правильного фильтра,

Примечания

^ Действительно, в обоих случаях $\,\supseteq {\text{ and }}\subseteq ,$ появление справа - это именно то, что делает $C$ «больше», ибо если $A{\text{ and }}B$ связаны некоторым бинарным соотношением $\,\preceq \,$ (имеется в виду, что $A\preceq B{\text{ or }}B\preceq A$ ) тогда в зависимости от того, какой из $A{\text{ and }}B$ Говорят, что появляется справа, больше или равно тому, что появляется слева по отношению к $\,\preceq \,$ (или менее многословно, " $\,\preceq$ – больше или равно»).
^ В более общем смысле, для любых действительных чисел, удовлетворяющих $r\leq s{\text{ and }}u\leq v,B_{r,s}\cap B_{u,v}=B_{m,\max(s,v)}$ где $m:=\min(s,v,\max(r,u)).$
^ Если $R,S\subseteq \mathbb {R} {\text{ then }}{\mathcal {B}}_{R}\cap {\mathcal {B}}_{S}={\mathcal {B}}_{R\cap S}.$ Это свойство и тот факт, что ${\mathcal {B}}_{R}$ непусто и правильно тогда и только тогда, когда $R\neq \varnothing$ на самом деле позволяет построить еще больше примеров префильтров, потому что, если ${\mathcal {S}}\subseteq \wp (\mathbb {R} )$ это любой предварительный фильтр (соответственно подбаза фильтра, $π$ –система), то таков $\left\{{\mathcal {B}}_{S}:S\in {\mathcal {S}}\right\}.$
^ Можно показать, что если ${\mathcal {C}}$ есть ли такая семья, что ${\mathcal {S}}_{(0,\infty )}\subseteq {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}}_{(0,\infty )}$ затем ${\mathcal {C}}$ является префильтром тогда и только тогда, когда для всех действительных $0<r\leq s$ существуют реальные $0<u\leq v$ такой, что $u\leq r\leq s\leq v{\text{ and }}B_{-u,v}\in {\mathcal {C}}.$
^ Например, в одном смысле сеть $u_{\bullet }{\text{ in }}X$ можно было бы интерпретировать как «максимально глубокое», если бы все важные свойства, относящиеся к $X$ (например, конвергенция) любой подсети полностью определяется $u_{\bullet }$ во всех топологиях на $X.$ В этом случае $u_{\bullet }$ и ее подсеть становятся фактически неотличимыми (по крайней мере, топологически), если информация о них ограничивается только той, которая может быть описана исключительно в терминах $X$ и непосредственно связанные множества (например, его подмножества).
^ π $-система ,$ порожденная ${\mathcal {C}}_{\operatorname {open} }$ (соответственно ${\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} }$ ) — префильтр, элементы которого представляют собой конечные объединения открытых (соответственно закрытых) интервалов, имеющих концы в $E\cup \{-\infty ,\infty \}$ причем два из этих интервалов имеют вид $(-\infty ,e_{1}){\text{ and }}(e_{2},\infty )$ (соответственно $(-\infty ,e_{1}]{\text{ and }}[e_{2},\infty )$ ) где $e_{1}\leq 1+e_{2}$ ; в случае ${\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} },$ возможно, что один или несколько из этих замкнутых интервалов будут одноэлементными множествами (то есть вырожденными замкнутыми интервалами).
^ В качестве примера того, как может произойти этот сбой, рассмотрим случай, когда существует некоторый $B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}y\in Y\setminus B$ такой, что оба $f^{-1}(y)$ и его дополнение в $X$ содержит не менее двух различных точек.
^ Предположим $X$ имеет более одной точки, $f:X\to Y$ является постоянным отображением, и $\Xi =\{f(X)\}$ затем $\Xi _{f}$ будет состоять из всех непустых подмножеств $Y.$
^ Установленное равенство $\operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right)={\mathcal {B}}$ в более общем смысле: если семейство множеств ${\mathcal {B}}\neq \varnothing {\text{ satisfies }}\varnothing \not \in {\mathcal {B}}$ тогда семья решки карты $\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})\to X$ (определено $(B,b)\mapsto b$ ) равно ${\mathcal {B}}.$
^ Явно, частичный порядок на $X$ вызванное равенством $\,=\,$ относится к диагонали $\Delta :=\{(x,x):x\in X\},$ что является однородным отношением на $X$ это делает $(X,\Delta )$ в частично упорядоченное множество . Если этот частичный порядок $\Delta$ обозначается более знакомым символом $\,\leq \,$ (то есть определить $\leq \;:=\;\Delta$ ) тогда для любого $b,c\in X,$ $\;b\leq c\,{\text{ if and only if }}\,b=c,$ что показывает, что $\,\leq \,$ (и, следовательно, также $\Delta$ ) — не что иное, как новый символ равенства на $X;$ то есть, $(X,\Delta )\ =\ (X,=).$ Обозначения $(X,=)$ используется потому, что позволяет избежать ненужного введения нового символа диагонали.

Доказательства

^ Пусть ${\mathcal {F}}$ быть фильтром для $X$ это не ультрафильтр. Если $S\subseteq X$ таков, что $S\not \in {\mathcal {F}}{\text{ then }}\{X\setminus S\}\cup {\mathcal {F}}$ обладает свойством конечного пересечения (потому что если $F\in {\mathcal {F}}{\text{ then }}F\cap (X\setminus S)=\varnothing {\text{ if and only if }}F\subseteq S$ ) так что по лемме об ультрафильтре существует некоторый ультрафильтр ${\mathcal {U}}_{S}{\text{ on }}X$ такой, что $\{X\setminus S\}\cup {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {U}}_{S}$ (так, в частности, $S\not \in {\mathcal {U}}_{S}$ ). Пересекая все такое ${\mathcal {U}}_{S}$ доказывает, что ${\mathcal {F}}=\bigcap _{S\subseteq X,S\not \in {\mathcal {F}}}{\mathcal {U}}_{S}.\blacksquare$
^ Перейти обратно: ^а ^б Чтобы доказать это ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}$ сетка, пусть $B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}.$ Потому что ${\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}$ (соответственно потому что ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}$ ), существует некоторое $F,G\in {\mathcal {F}}{\text{ such that }}F\subseteq B{\text{ and }}G\subseteq C$ где по предположению $F\cap G\neq \varnothing$ так $\varnothing \neq G\cap F\subseteq B\cap C.\blacksquare$ Если ${\mathcal {F}}$ является подбазой фильтра, и если $\varnothing \neq {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},$ затем принимая ${\mathcal {B}}:={\mathcal {F}}$ подразумевает, что ${\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}{\text{ mesh. }}\blacksquare$ Если $C_{1},\ldots ,C_{n}\in {\mathcal {C}}$ тогда есть $F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}$ такой, что $F_{i}\subseteq C_{i}$ и сейчас $\varnothing \neq F_{1}\cap \cdots F_{n}\subseteq C_{1}\cap \cdots C_{n}.$ Это показывает, что ${\mathcal {C}}$ это подоснова фильтра. $\blacksquare$
^ Это потому, что если ${\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}$ включены ли предварительные фильтры $X$ затем ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}{\text{ if and only if }}{\mathcal {C}}^{\uparrow X}\subseteq {\mathcal {F}}^{\uparrow X}.$

Цитаты

^ Джех 2006 , стр. 73.
^ Коутрас и др. 2021 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Картман 1937а .
^ Перейти обратно: ^а ^б Картман 1937б .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Долецки и Минард, 2016 , стр. 27–29.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Долецки и Минард, 2016 , стр. 33–35.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 2–7.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р Часар 1978 , стр. 53–65.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н Долецки и Минард, 2016 , стр. 27–54.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v ^В ^х ^и Бурбаки 1987 , стр. 57–68.
^ Перейти обратно: ^а ^б Шуберт 1968 , стр. 48–71.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 3–4.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Дугунджи 1966 , стр. 215–221.
^ Дугунджи 1966 , стр. 215.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Виланский 2013 , с. 5.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Долецки и Минард 2016 , с. 10.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Шехтер 1996 , стр. 100–130.
^ Часар 1978 , стр. 82–91.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Дугунджи 1966 , стр. 211–213.
^ Шехтер 1996 , с. 100.
^ Часар 1978 , стр. 53–65, 82–91.
^ Arkhangel'skii & Ponomarev 1984 , pp. 7–8.
^ Джоши 1983 , с. 244.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Дугунджи 1966 , стр. 212.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Виланский, 2013 , стр. 44–46.
^ Кастильо, Хесус М.Ф.; Монтальво, Франциско (январь 1990 г.), «Контрпример в полуметрических пространствах» (PDF) , Mathematical Abstracts , 5 (1): 38–40
^ Шефер и Вольф 1999 , стр. 1–11.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Бурбаки 1987 , стр. 129–133.
^ Виланский 2008 , стр. 32–35.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Дугунджи 1966 , стр. 219–221.
^ Перейти обратно: ^а ^б Джех 2006 , стр. 73–89.
^ Перейти обратно: ^а ^б Часар 1978 , стр. 53–65, 82–91, 102–120.
^ Перейти обратно: ^а ^б Долецки и Минард, 2016 , стр. 37–39.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Arkhangel'skii & Ponomarev 1984 , pp. 20–22.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Часар 1978 , стр. 102–120.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Шехтер 1996 , стр. 155–171.
^ Брунс Г., Шмидт Дж., Об эквивалентности последовательностей и фильтров Мура-Смита, Nachr. 13 (1955), 169-186.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Шехтер 1996 , стр. 157–168.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Кларк, Пит Л. (18 октября 2016 г.). «Конвергенция» (PDF) . math.uga.edu/ . Проверено 18 августа 2020 г.

Ссылки

Адамс, Колин ; Францоза, Роберт (2009). Введение в топологию: чистую и прикладную . Нью-Дели: Pearson Education. ISBN 978-81-317-2692-1 . OCLC 789880519 .
Архангельский Александр Владимирович ; Пономарев, В.И. (1984). Основы общей топологии: задачи и упражнения . Математика и ее приложения. Том. 13. Дордрехт Бостон: Д. Рейдель . ISBN 978-90-277-1355-1 . OCLC 9944489 .
Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Тексты для аспирантов по математике. Том. 15. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-90081-0 . ОСЛК 878109401 .
Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1 . OCLC 18588129 .
Бурбаки, Николя (1989) [1967]. Общая топология 2: Главы 5–10 [ Общая топология ]. Элементы математики . Полет. 4. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4 . ОСЛК 246032063 .
Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4 . OCLC 17499190 .
Беррис, Стэнли ; Санкаппанавар, Ханамантагуда П. (2012). Курс универсальной алгебры (PDF) . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-9880552-0-9 . Архивировано из оригинала 1 апреля 2022 года.
Картан, Анри (1937a). «Теория фильтров» . Еженедельные отчеты о сессиях Академии наук . 205 : 595–598.
Картан, Анри (1937b). «Фильтры и ультрафильтры» . Еженедельные отчеты о сессиях Академии наук . 205 : 777–779.
Комфорт, Уильям Вистар; Негрепонтис, Стилианос (1974). Теория ультрафильтров . Том. 211. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-06604-2 . ОСЛК 1205452 .
Часар, Акош (1978). Общая топология . Перевод Часара, Клары. Adam Hilger Ltd. Бристоль, Англия: ISBN 0-85274-275-4 . ОСЛК 4146011 .
Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для бакалавриата по математике. Перевод Berberian, SK New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1 . ОСЛК 10277303 .
Долецкий, Шимон ; Минард, Фредерик (2016). Основы конвергенции топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-4571-52-4 . OCLC 945169917 .
Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7 . OCLC 395340485 .
Данфорд, Нельсон ; Шварц, Джейкоб Т. (1988). Линейные операторы . Чистая и прикладная математика. Том. 1. Нью-Йорк: Wiley-Interscience . ISBN 978-0-471-60848-6 . OCLC 18412261 .
Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6 . ОСЛК 30593138 .
Хоуз, Норман Р. (23 июня 1995 г.). Современный анализ и топология . Тексты для аспирантов по математике . Нью-Йорк: Springer-Verlag Science & Business Media. ISBN 978-0-387-97986-1 . OCLC 31969970 . ОЛ 1272666М .
Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4 . OCLC 8210342 .
Джех, Томас (2006). Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-44085-7 . OCLC 50422939 .
Джоши, К.Д. (1983). Введение в общую топологию . Нью-Йорк: ISBN John Wiley and Sons Ltd. 978-0-85226-444-7 . OCLC 9218750 .
Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Тексты для аспирантов по математике . Том. 27. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1 . ОСЛК 338047 .
Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I. Основные принципы математических наук. Том 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2 . МР 0248498 . OCLC 840293704 .
Кутрас, Костас Д.; Мойзес, Христос; Номикос, Христос; Цапроунис, Константинос; Зикос, Йоргос (20 октября 2021 г.). «О слабых фильтрах и ультрафильтрах: теория множеств из (и для) представления знаний». Логический журнал IGPL . дои : 10.1093/jigpal/jzab030 .
Макивер Р., Дэвид (1 июля 2004 г.). «Фильтры в анализе и топологии» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 9 октября 2007 г. (Содержит вводный обзор фильтров в топологии и метрических пространствах.)
Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-29882-7 . OCLC 589250 .
Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4 . OCLC 175294365 .
Шуберт, Хорст (1968). Топология . Лондон: ISBN Macdonald & Co. 978-0-356-02077-8 . OCLC 463753 .
Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .
Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4 . OCLC 849801114 .
Вилански, Альберт (17 октября 2008 г.) [1970]. Топология для анализа . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-46903-4 . OCLC 227923899 .
Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7 . OCLC 115240 .

[18] Действительно, в обоих случаях $\,\supseteq {\text{ and }}\subseteq ,$ появление справа - это именно то, что делает $C$ «больше», ибо если $A{\text{ and }}B$ связаны некоторым бинарным соотношением $\,\preceq \,$ (имеется в виду, что $A\preceq B{\text{ or }}B\preceq A$ ) тогда в зависимости от того, какой из $A{\text{ and }}B$ Говорят, что появляется справа, больше или равно тому, что появляется слева по отношению к $\,\preceq \,$ (или менее многословно, " $\,\preceq$ – больше или равно»).

[31] В более общем смысле, для любых действительных чисел, удовлетворяющих $r\leq s{\text{ and }}u\leq v,B_{r,s}\cap B_{u,v}=B_{m,\max(s,v)}$ где $m:=\min(s,v,\max(r,u)).$

[32] Если $R,S\subseteq \mathbb {R} {\text{ then }}{\mathcal {B}}_{R}\cap {\mathcal {B}}_{S}={\mathcal {B}}_{R\cap S}.$ Это свойство и тот факт, что ${\mathcal {B}}_{R}$ непусто и правильно тогда и только тогда, когда $R\neq \varnothing$ на самом деле позволяет построить еще больше примеров префильтров, потому что, если ${\mathcal {S}}\subseteq \wp (\mathbb {R} )$ это любой предварительный фильтр (соответственно подбаза фильтра, $π$ –система), то таков $\left\{{\mathcal {B}}_{S}:S\in {\mathcal {S}}\right\}.$

[33] Можно показать, что если ${\mathcal {C}}$ есть ли такая семья, что ${\mathcal {S}}_{(0,\infty )}\subseteq {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}}_{(0,\infty )}$ затем ${\mathcal {C}}$ является префильтром тогда и только тогда, когда для всех действительных $0<r\leq s$ существуют реальные $0<u\leq v$ такой, что $u\leq r\leq s\leq v{\text{ and }}B_{-u,v}\in {\mathcal {C}}.$

[35] Например, в одном смысле сеть $u_{\bullet }{\text{ in }}X$ можно было бы интерпретировать как «максимально глубокое», если бы все важные свойства, относящиеся к $X$ (например, конвергенция) любой подсети полностью определяется $u_{\bullet }$ во всех топологиях на $X.$ В этом случае $u_{\bullet }$ и ее подсеть становятся фактически неотличимыми (по крайней мере, топологически), если информация о них ограничивается только той, которая может быть описана исключительно в терминах $X$ и непосредственно связанные множества (например, его подмножества).

[41] π $-система ,$ порожденная ${\mathcal {C}}_{\operatorname {open} }$ (соответственно ${\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} }$ ) — префильтр, элементы которого представляют собой конечные объединения открытых (соответственно закрытых) интервалов, имеющих концы в $E\cup \{-\infty ,\infty \}$ причем два из этих интервалов имеют вид $(-\infty ,e_{1}){\text{ and }}(e_{2},\infty )$ (соответственно $(-\infty ,e_{1}]{\text{ and }}[e_{2},\infty )$ ) где $e_{1}\leq 1+e_{2}$ ; в случае ${\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} },$ возможно, что один или несколько из этих замкнутых интервалов будут одноэлементными множествами (то есть вырожденными замкнутыми интервалами).

[45] В качестве примера того, как может произойти этот сбой, рассмотрим случай, когда существует некоторый $B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}y\in Y\setminus B$ такой, что оба $f^{-1}(y)$ и его дополнение в $X$ содержит не менее двух различных точек.

[46] Предположим $X$ имеет более одной точки, $f:X\to Y$ является постоянным отображением, и $\Xi =\{f(X)\}$ затем $\Xi _{f}$ будет состоять из всех непустых подмножеств $Y.$

[48] Установленное равенство $\operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right)={\mathcal {B}}$ в более общем смысле: если семейство множеств ${\mathcal {B}}\neq \varnothing {\text{ satisfies }}\varnothing \not \in {\mathcal {B}}$ тогда семья решки карты $\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})\to X$ (определено $(B,b)\mapsto b$ ) равно ${\mathcal {B}}.$

[50] Явно, частичный порядок на $X$ вызванное равенством $\,=\,$ относится к диагонали $\Delta :=\{(x,x):x\in X\},$ что является однородным отношением на $X$ это делает $(X,\Delta )$ в частично упорядоченное множество . Если этот частичный порядок $\Delta$ обозначается более знакомым символом $\,\leq \,$ (то есть определить $\leq \;:=\;\Delta$ ) тогда для любого $b,c\in X,$ $\;b\leq c\,{\text{ if and only if }}\,b=c,$ что показывает, что $\,\leq \,$ (и, следовательно, также $\Delta$ ) — не что иное, как новый символ равенства на $X;$ то есть, $(X,\Delta )\ =\ (X,=).$ Обозначения $(X,=)$ используется потому, что позволяет избежать ненужного введения нового символа диагонали.

[37] Пусть ${\mathcal {F}}$ быть фильтром для $X$ это не ультрафильтр. Если $S\subseteq X$ таков, что $S\not \in {\mathcal {F}}{\text{ then }}\{X\setminus S\}\cup {\mathcal {F}}$ обладает свойством конечного пересечения (потому что если $F\in {\mathcal {F}}{\text{ then }}F\cap (X\setminus S)=\varnothing {\text{ if and only if }}F\subseteq S$ ) так что по лемме об ультрафильтре существует некоторый ультрафильтр ${\mathcal {U}}_{S}{\text{ on }}X$ такой, что $\{X\setminus S\}\cup {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {U}}_{S}$ (так, в частности, $S\not \in {\mathcal {U}}_{S}$ ). Пересекая все такое ${\mathcal {U}}_{S}$ доказывает, что ${\mathcal {F}}=\bigcap _{S\subseteq X,S\not \in {\mathcal {F}}}{\mathcal {U}}_{S}.\blacksquare$

[proof_of_meshing_and_filter_subbase-38] Перейти обратно: ^а ^б Чтобы доказать это ${\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}$ сетка, пусть $B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}.$ Потому что ${\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}$ (соответственно потому что ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}$ ), существует некоторое $F,G\in {\mathcal {F}}{\text{ such that }}F\subseteq B{\text{ and }}G\subseteq C$ где по предположению $F\cap G\neq \varnothing$ так $\varnothing \neq G\cap F\subseteq B\cap C.\blacksquare$ Если ${\mathcal {F}}$ является подбазой фильтра, и если $\varnothing \neq {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},$ затем принимая ${\mathcal {B}}:={\mathcal {F}}$ подразумевает, что ${\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}{\text{ mesh. }}\blacksquare$ Если $C_{1},\ldots ,C_{n}\in {\mathcal {C}}$ тогда есть $F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}$ такой, что $F_{i}\subseteq C_{i}$ и сейчас $\varnothing \neq F_{1}\cap \cdots F_{n}\subseteq C_{1}\cap \cdots C_{n}.$ Это показывает, что ${\mathcal {C}}$ это подоснова фильтра. $\blacksquare$

[40] Это потому, что если ${\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}$ включены ли предварительные фильтры $X$ затем ${\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}{\text{ if and only if }}{\mathcal {C}}^{\uparrow X}\subseteq {\mathcal {F}}^{\uparrow X}.$

[FOOTNOTEJech200673-1] Джех 2006 , стр. 73.

[FOOTNOTEKoutrasMoyzesNomikosTsaprounis2021-2] Коутрас и др. 2021 .

[FOOTNOTECartan1937a-3] Перейти обратно: ^а ^б Картман 1937а .

[FOOTNOTECartan1937b-4] Перейти обратно: ^а ^б Картман 1937б .

[FOOTNOTEDoleckiMynard201627–29-5] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Долецки и Минард, 2016 , стр. 27–29.

[FOOTNOTEDoleckiMynard201633–35-6] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Долецки и Минард, 2016 , стр. 33–35.

[FOOTNOTENariciBeckenstein20112–7-7] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 2–7.

[FOOTNOTECsászár197853–65-8] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р Часар 1978 , стр. 53–65.

[FOOTNOTEDoleckiMynard201627–54-9] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н Долецки и Минард, 2016 , стр. 27–54.

[FOOTNOTEBourbaki198757–68-10] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v ^В ^х ^и Бурбаки 1987 , стр. 57–68.

[FOOTNOTESchubert196848–71-11] Перейти обратно: ^а ^б Шуберт 1968 , стр. 48–71.

[FOOTNOTENariciBeckenstein20113–4-12] Перейти обратно: ^а ^б ^с Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 3–4.

[FOOTNOTEDugundji1966215–221-13] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Дугунджи 1966 , стр. 215–221.

[FOOTNOTEDugundji1966215-14] Дугунджи 1966 , стр. 215.

[FOOTNOTEWilansky20135-15] Перейти обратно: ^а ^б ^с Виланский 2013 , с. 5.

[FOOTNOTEDoleckiMynard201610-16] Перейти обратно: ^а ^б ^с Долецки и Минард 2016 , с. 10.

[FOOTNOTESchechter1996100–130-17] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Шехтер 1996 , стр. 100–130.

[FOOTNOTECsászár197882–91-19] Часар 1978 , стр. 82–91.

[FOOTNOTEDugundji1966211–213-20] Перейти обратно: ^а ^б ^с Дугунджи 1966 , стр. 211–213.

[FOOTNOTESchechter1996100-21] Шехтер 1996 , с. 100.

[FOOTNOTECsászár197853–65,_82–91-22] Часар 1978 , стр. 53–65, 82–91.

[FOOTNOTEArkhangel'skiiPonomarev19847–8-23] Arkhangel'skii & Ponomarev 1984 , pp. 7–8.

[FOOTNOTEJoshi1983244-24] Джоши 1983 , с. 244.

[FOOTNOTEDugundji1966212-25] Перейти обратно: ^а ^б ^с Дугунджи 1966 , стр. 212.

[FOOTNOTEWilansky201344–46-26] Перейти обратно: ^а ^б ^с Виланский, 2013 , стр. 44–46.

[Castillo1990-27] Кастильо, Хесус М.Ф.; Монтальво, Франциско (январь 1990 г.), «Контрпример в полуметрических пространствах» (PDF) , Mathematical Abstracts , 5 (1): 38–40

[FOOTNOTESchaeferWolff19991–11-28] Шефер и Вольф 1999 , стр. 1–11.

[FOOTNOTEBourbaki1987129–133-29] Перейти обратно: ^а ^б ^с Бурбаки 1987 , стр. 129–133.

[FOOTNOTEWilansky200832–35-30] Виланский 2008 , стр. 32–35.

[FOOTNOTEDugundji1966219–221-34] Перейти обратно: ^а ^б ^с Дугунджи 1966 , стр. 219–221.

[FOOTNOTEJech200673–89-36] Перейти обратно: ^а ^б Джех 2006 , стр. 73–89.

[FOOTNOTECsászár197853–65,_82–91,_102–120-39] Перейти обратно: ^а ^б Часар 1978 , стр. 53–65, 82–91, 102–120.

[FOOTNOTEDoleckiMynard201637–39-42] Перейти обратно: ^а ^б Долецки и Минард, 2016 , стр. 37–39.

[FOOTNOTEArkhangel'skiiPonomarev198420–22-43] Перейти обратно: ^а ^б ^с Arkhangel'skii & Ponomarev 1984 , pp. 20–22.

[FOOTNOTECsászár1978102–120-44] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Часар 1978 , стр. 102–120.

[FOOTNOTESchechter1996155–171-47] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Шехтер 1996 , стр. 155–171.

[49] Брунс Г., Шмидт Дж., Об эквивалентности последовательностей и фильтров Мура-Смита, Nachr. 13 (1955), 169-186.

[FOOTNOTESchechter1996157–168-51] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Шехтер 1996 , стр. 157–168.

[Clark_Convergence_2016-52] Перейти обратно: ^а ^б ^с Кларк, Пит Л. (18 октября 2016 г.). «Конвергенция» (PDF) . math.uga.edu/ . Проверено 18 августа 2020 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[примечание 1]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[примечание 2]

[примечание 3]

[примечание 4]

[30]

[примечание 5]

[31]

[доказательство 1]

[доказательство 2]

[32]

[доказательство 3]

[примечание 6]

[33]

[34]

[35]

[примечание 7]

[примечание 8]

[36]

[примечание 9]

[37]

[примечание 10]

[38]

[39]

v т и Теория множеств
Overview	Set (mathematics)
Axioms	Adjunction Choice countable dependent global Constructibility (V=L) Determinacy Extensionality Infinity Limitation of size Pairing Power set Regularity Union Martin's axiom Axiom schema replacement specification
Operations	Cartesian product Complement (i.e. set difference) De Morgan's laws Disjoint union Identities Intersection Power set Symmetric difference Union
Concepts Methods	Almost Cardinality Cardinal number (large) Class Constructible universe Continuum hypothesis Diagonal argument Element ordered pair tuple Family Forcing One-to-one correspondence Ordinal number Set-builder notation Transfinite induction Venn diagram
Set types	Amorphous Countable Empty Finite (hereditarily) Filter base subbase Ultrafilter Fuzzy Infinite (Dedekind-infinite) Recursive Singleton Subset · Superset Transitive Uncountable Universal
Theories	Alternative Axiomatic Naive Cantor's theorem Zermelo General Principia Mathematica New Foundations Zermelo–Fraenkel von Neumann–Bernays–Gödel Morse–Kelley Kripke–Platek Tarski–Grothendieck
Paradoxes Problems	Russell's paradox Suslin's problem Burali-Forti paradox
Set theorists	Paul Bernays Georg Cantor Paul Cohen Richard Dedekind Abraham Fraenkel Kurt Gödel Thomas Jech John von Neumann Willard Quine Bertrand Russell Thoralf Skolem Ernst Zermelo